雙曲線的性質(zhì)A知識(shí)講解

1、雙曲線的性質(zhì)編稿：希勇審稿：霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解雙曲線的對(duì)稱性、圍、定點(diǎn)、離心率、漸近線等簡單性質(zhì)2. 能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程3. 能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識(shí)要點(diǎn)二】要點(diǎn)一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)2 2X y雙曲線一2y21 (a> 0, b> 0)的簡單幾何性質(zhì)a b圍21 X21即 X2a2ax a或 xa雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線 足 xw -a 或 x>a.對(duì)稱性x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿2x對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 一2a2 y b2(a>0

2、, b > 0),把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線2X2 a2y21 (a>0, b>0)是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以b原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心。 頂點(diǎn) 雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。2 2雙曲線：2A （-a，0），A2 （ a，0)，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。1 (a>0, b> 0)與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段AA叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)Bi (0, -b ), B2 (0, b)為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段

3、叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長度分別為|AiA2|=2a, |BiEb|=2b。 a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作e2c c2a a因?yàn)閏>a> 0，所以雙曲線的離心率 e C 1 oa由 c2=a2+b2，可得a2 2c a2a(c)2 i . e2 i，所以b決定雙曲線的開口大小,aab越大，e也a越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大

4、小程度。等軸雙曲線a b，所以離心率e漸近線經(jīng)過點(diǎn)A Ai作y軸的平行線x=± a，圖)，矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是經(jīng)過點(diǎn)Bi、B2作x軸的平行線y=± b,四條直線圍成一個(gè)矩形(如bX oa我們把直線| MN |x叫做雙曲線的漸近線;a鄉(xiāng)雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。aox x2 a2【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識(shí)要點(diǎn)一、3】要點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x y 2r 1 (a 0,b0)a b22yx21 (a 0,b 0)ab圖形yi/bA21 i-r fi0x性質(zhì)焦占八 '、八、R( c,0) , F2(c,

5、0)R(0, c) , F2(0,c)焦距|F,F2 | 2c(c Ja2 b2)| F1F21 2c (c Ja2 b2)圍x xa或x a, y Ry ya或y a , x R對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0)(0, a)軸實(shí)軸長=2a，虛軸長=2b離心率e (e 1) a漸近線方程by- xaay - x b要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù),如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。對(duì)于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。要

6、點(diǎn)三、雙曲線的漸近線(1)已知雙曲線方程求漸近線方程:2 22 2若雙曲線方程為X2打一1，則其漸近線方程為X?打0a ba b已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“ 0”，然后因式分解即得漸近線方程。(2)已知漸近線方程求雙曲線方程:，根據(jù)已知條件，求出即若雙曲線漸近線方程為 mx ny 0,則可設(shè)雙曲線方程為 m2x2 n2y2 可。2 2(3 )與雙曲線X2- y2-1有公共漸近線的雙曲線a b2與雙曲線x_a2 y b21有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為2；2 (0)(0，焦點(diǎn)在x軸上,0，焦點(diǎn)在y軸上)(4)等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y x，因此等軸雙

7、曲線可設(shè)為x2y2(0).要點(diǎn)四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c> b>0, c>a>0，且2.2 2c =b +a。2 2雙曲線x2 y21 (a 0,b0)，如圖：a b(1)實(shí)軸長IAAJ 2a，虛軸長2b,焦距IRF2I 2c,(2 )離心率:|PR| IPF2I lARI|PMj IPM2I 兩|I A2F2 |人&|(3)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離:lAFIAF2I c a,

8、 IAF2I IafJ a c ；PF1F2中結(jié)合定義PF1PF22a與余弦定理，將有關(guān)線段|pfJ、PF2、RF2I和角結(jié)合(5)與焦點(diǎn)三角形 PF1F2有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理(或勾股定理)三角形面積公式s pFlF22PF|PF2SinF,PF相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段PFi、PF?|、|FiF2|， 有關(guān)角 RPF2結(jié)合起來，建立|PF2| |pf2|> |pfJ|pf2|之間的關(guān)系.【典型例題】類型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749例1】例1.求雙曲線16x2 9y2 144的實(shí)軸長和虛軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸

9、近線方程與離心率【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2161 ,由此可知實(shí)半軸長 a 3 ,虛半軸長b 4 , ca2 b2 5雙曲線的實(shí)軸長2a 6，虛軸長2b8，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0, 3), (0,3)，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0, 5) , (0,5),c 5離心率e，漸近線方程為ya 3【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意3_x4a和2a, b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點(diǎn)所在軸的不同,幾何量也有不同的表示舉一反三：【變式1】雙曲線mX+ y2= 1的虛軸長是實(shí)軸長的A.14【答案】A2倍，則m等于()B.C. 41D.4【變式2】已知雙曲線2 28kx ky =2的一個(gè)焦點(diǎn)為(0, |)，貝U k的值等于()A

10、.- 2 B . 1 C【答案】C類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。2(1) X92y6 1 ；(2)2y16【解析】(1)雙曲線2 2x y1的漸近線方程為:2 2x- -y- 0916(2)雙曲線2 2x y 1的漸近線方程為:9162L 0164 _x3【總結(jié)升華】雙曲線2x2a2y21 (a 0,b0)的漸近線方程為b雙曲線2y2a2xb2線方程為x-y，即 a-x ;若雙曲線的方程為b2x2m2y2nm、o,0，焦點(diǎn)在1的漸近x軸上，0,焦點(diǎn)在y軸上)，則其漸近線方程為2x2m2y2n舉一反三:【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程2(1 ) x162y36(

11、2)x2 2y2(3)2x272【答案】(1)3 -x2(2)y(3)2x【變式2】中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為55的圓錐曲線的焦點(diǎn)在3y軸上，則它的漸近線方程為()A. y【答案】5-x B4D例3.根據(jù)下列條件,求雙曲線方程。x2(1)與雙曲線92y1有共同的漸近線，且過點(diǎn)16(3,2 .3)(2)漸近線方程為3x 2y 0,且雙曲線過點(diǎn)M (8,6 . 3)【解析】(1)解法一:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為2x2a2 y b2由題意，得aL2a433)2(2_3)2b2，解得a2b24所以雙曲線的方程為4x22當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為y x a2 b2由題意，得17去舍綜上所

12、得，雙曲線的方程為 4x9解法二：設(shè)所求雙曲線方程為2y160),將點(diǎn)(3,2.3)代入得x2所以雙曲線方程為92y164x29(2)依題意知雙曲線兩漸近線的方程是0.x2故設(shè)雙曲線方程為一4點(diǎn)M (8,6 .3)在雙曲線上,，解得所求雙曲線方程為2y16 361.【總結(jié)升華】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求ax by 0 ,可設(shè)雙曲線方程為在解題過程中應(yīng)熟悉各元素( a、b、c、e及準(zhǔn)線)之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程a2x2 b2y2(0).舉一反三：2【變式1】中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在(0,3), 一條漸近線為yx的雙曲線方程是()3A. 5x25y21B.5x25y2

13、136543654J3x213y21D.13x213y2181368136【答案】D【變式2】過點(diǎn)(2 ,2-2）且與雙曲線x2y1有公共漸近線的雙曲線是（）2222 2A yx1B.x y1a. y2442222 2C. yx1D.x y14224【答案】A0）的漸近線方程為3x 2y 0，則a的值為D. 1A. 4B.3C.2【答案】C22222 2【變式3】設(shè)雙曲線x2 y i（aa 9【變式4】雙曲線X2y21與X2y2a b a b（0）有相同的（）D.以上都不對(duì)A.實(shí)軸 B .焦點(diǎn) C.漸近線【答案】C類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值圍2x例4.已知h,F2是雙曲線 2a2

14、y b21(ab 0）的左、右焦點(diǎn)，過R且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，若 ABF2是正三角形，求雙曲線的離心率?！窘馕觥縯 |卩店2 | 2c , ABF2是正三角形,-1 AR |2ctan30 2%,3| AF2 | 2c tan302c4*3ccos30 3-I AF2 |2-32.3 小c c 2a ,求雙曲線離心率的關(guān)鍵是由條件尋求【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù),a、c滿足的關(guān)系式，從而求出e舉一反三:【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749 例 2】【變式1】2 2(1)已知雙曲線x2y2a b1(a 0,b0)的離心率 e23 ,3過點(diǎn)A(

15、0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)間的距離為3，求雙曲線的方程.2(2)求過點(diǎn)(-1,3)，且和雙曲線2 2X y1有共同漸近線的雙曲線方程492【答案】(1) x_32 2(2) 4y- X- 1 273【變式2】等軸雙曲線的離心率為【答案】.2y2 1【變式3】已知a、b、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2 + bx+ c = 0 無實(shí)根,則雙曲線離心率的取值圍是 ()A. 1<e< 5 2 B . 1<e<2C. 1<e<3 D . 1<e<2+ . 5【答案】D類型五：雙曲線的焦點(diǎn)三角形例5 .已知雙曲線實(shí)軸長6,過左焦點(diǎn)F1的弦交左半支于 A、B兩點(diǎn)，且|AB| 8，設(shè)右焦點(diǎn)F2，求 ABF2 的周長【解析】由雙曲線的定義有:| AF21 | AF1 | 6, |BF2| |BF1 | 6 ,- (|AF2| |BF2|) (| AF1 | | BF1 |) 12.即(|AF2| |BF2|) |AB| 12二 | AF2 | |BF2| 12 | AB| 20.故 ABF2 的周長 L |AF2| |BF2 | | AB| 28.【總結(jié)升華】雙曲線的焦點(diǎn)三角形中涉及了雙曲線的特征幾何量，在雙曲線的焦點(diǎn)三角形