北科大信息工程學院自動化

1、北科大 信息工程學院 自動化12022-3-7采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)（Sampled-Data Control Systems）Linear Discrete-Time Control Systems北科大 信息工程學院 自動化22022-3-7北科大 信息工程學院 自動化32022-3-7n自動控制系統(tǒng)按信號形式劃分可分為以自動控制系統(tǒng)按信號形式劃分可分為以下三種類型：下三種類型：連續(xù)控制系統(tǒng)，見圖（連續(xù)控制系統(tǒng)，見圖（a a）采樣控制系統(tǒng)，見圖（采樣控制系統(tǒng)，見圖（b b）數字控制系統(tǒng)，見圖（數字控制系統(tǒng)，見圖（c c）圖（圖（a a）北科大 信息工程學院 自動化42022-3-7圖（圖

2、（c c）圖（圖（b b）北科大 信息工程學院 自動化52022-3-7n采樣系統(tǒng)的特點采樣系統(tǒng)的特點在連續(xù)系統(tǒng)中的一處或幾處設置采樣開關，在連續(xù)系統(tǒng)中的一處或幾處設置采樣開關，對被控對象進行斷續(xù)控制；對被控對象進行斷續(xù)控制；通常采樣周期遠小于被控對象的時間常；通常采樣周期遠小于被控對象的時間常；采樣開關合上的時間遠小于斷開的時間；采樣開關合上的時間遠小于斷開的時間； 采樣周期通常是相同的。采樣周期通常是相同的。北科大 信息工程學院 自動化62022-3-78 8.1 .1 采樣控制采樣控制一個典型的采樣控制系統(tǒng)如圖：e是連續(xù)的誤差信號，經采樣開關后，變成一組脈沖序列脈沖序列 ，脈沖控制器對

3、進行某種運算，產生控制信號脈沖序列 ，保持器將采樣信號 變成模擬信號 u ，作用于被控對象 。e*e*u*u*)(SG圖圖8-1 采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)北科大 信息工程學院 自動化72022-3-7模擬信號模擬信號在時間上連續(xù)，且在幅值上連續(xù)（導數連續(xù)）的在時間上連續(xù)，且在幅值上連續(xù)（導數連續(xù)）的信號。信號。采樣信號采樣信號又稱離散信號，按一定的時間間隔對模擬信號進又稱離散信號，按一定的時間間隔對模擬信號進行采樣得到的在時間上離散的一系列脈沖。行采樣得到的在時間上離散的一系列脈沖。采樣控制系統(tǒng)和連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別：采樣控制系統(tǒng)和連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別：在連續(xù)系統(tǒng)中，各處的在連續(xù)系統(tǒng)中，各處的信號

4、都是模擬信號；在采樣系統(tǒng)中，一處或數處的信號是采樣信號都是模擬信號；在采樣系統(tǒng)中，一處或數處的信號是采樣信號。信號。采樣系統(tǒng)的特性采樣系統(tǒng)的特性采樣過程和采樣信號保持采樣過程和采樣信號保持采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的共性采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的共性（1 1）閉環(huán)控制；（）閉環(huán)控制；（2 2）需分析）需分析穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；（穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；（3 3）需進行校正。）需進行校正。北科大 信息工程學院 自動化82022-3-78 8.2 .2 采樣過程和采樣定理采樣過程和采樣定理一、采樣過程一、采樣過程二、采樣過程的數學表達式二、采樣過程的數學表達式北科大 信息工程學院 自動化92022-

5、3-7一、采樣過程一、采樣過程 按一定的時間間隔對連續(xù)信號采樣，將連續(xù)信號轉換為脈按一定的時間間隔對連續(xù)信號采樣，將連續(xù)信號轉換為脈沖序列的過程，稱為采樣過程。采樣開關是用來實現采樣過程沖序列的過程，稱為采樣過程。采樣開關是用來實現采樣過程的裝置。的裝置。 采樣開關按周期采樣開關按周期T閉合，閉合，T稱為采樣周期。每次閉合時間稱為采樣周期。每次閉合時間為為 ，由于在實際中總有，由于在實際中總有 ，且，且 遠小于遠小于 中的中的時間常數，可近似認為時間常數，可近似認為 。)(SGT0北科大 信息工程學院 自動化102022-3-7采樣過程可用圖表示采樣過程可用圖表示采樣信號采樣信號 是是 和和

6、的乘積，其中載波的乘積，其中載波信號信號 決定采樣時刻，決定采樣時刻，它是周期為它是周期為T T的單位脈沖序列，的單位脈沖序列，采樣信號在采樣信號在nT(n=0,1,2nT(n=0,1,2) )時時刻的值由刻的值由 決定。決定。)(te)(*te)(t)(t)(te載波器載波器脈沖調制器脈沖調制器 te* te t 載波信號載波信號 te* teT圖圖2-2 采樣過程示意圖采樣過程示意圖北科大 信息工程學院 自動化112022-3-7 經采樣得到的離散信號 有可能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號的條件是單位脈沖序列采樣信號為采樣信號的拉氏變換二、采樣過程的數學表達式二、采樣過程的數學表達式三、采樣

7、定理三、采樣定理0)(nnTtt）（00*)()()()()()(nnnTtnTenTttettete）（0*)()()(nnTS*enTeteLsE）（ tx*其中采樣定理給出了選擇采樣定理給出了選擇采樣周期采樣周期T的依據。的依據。max2sTss2:采樣角頻率，頻譜的上限頻率。連續(xù)信號)(:maxtx北科大 信息工程學院 自動化122022-3-7因為因為 是周期函數，因此，可將其展開成是周期函數，因此，可將其展開成傅里葉級數。傅里葉級數。0()ktkTkktjkkseCkTt)(式中式中 稱為系統(tǒng)的采樣頻率。稱為系統(tǒng)的采樣頻率。 2sTdtetTCTTtjkks22)(1001)(1T

8、dttT北科大 信息工程學院 自動化132022-3-7將上述式子代入式將上述式子代入式 有有: : ktjkseteTte)(1)(*對上式取拉氏變換，運用拉氏變換的復位移定理，對上式取拉氏變換，運用拉氏變換的復位移定理，我們得到我們得到 E E* *(s):(s): ksjksETsE)(1*上式在描述采樣過程的復頻域特征是極其重要的。上式在描述采樣過程的復頻域特征是極其重要的。一般連續(xù)信號一般連續(xù)信號e e（t t）的頻譜是單一的連續(xù)頻譜，如）的頻譜是單一的連續(xù)頻譜，如圖圖2-32-3所示。所示。 *( ) ()kete ttkT北科大 信息工程學院 自動化142022-3-7 圖圖8

9、8-3(a)-3(a) 連續(xù)信號連續(xù)信號e e（t t）的頻譜）的頻譜maxmax2s2sss*()Ej1T0maxmaxE j0圖圖8 8-3(b)-3(b)離散信號離散信號 的頻譜的頻譜 max2s te*北科大 信息工程學院 自動化152022-3-7 為了使信號得到很好的復現，采樣頻率應大為了使信號得到很好的復現，采樣頻率應大于等于原始信號最大頻率的二倍，即于等于原始信號最大頻率的二倍，即max2sn香農（香農（Shannon）采樣定理）采樣定理北科大 信息工程學院 自動化162022-3-7設設e(t)=1(t)e(t)=1(t)，試求，試求e e* *(t)(t)的拉氏變換。的拉氏

10、變換。解：解：由由 *0()nTskEse nt e *211,11TSTSTSTSEseeee例例8-1得得北科大 信息工程學院 自動化172022-3-7C. Shannon(1916-2001)C. Shannon(1916-2001)，畢業(yè)于，畢業(yè)于麻省理工學院數學系，貝爾實驗室麻省理工學院數學系，貝爾實驗室研究員及麻省理工學院電機系教授。研究員及麻省理工學院電機系教授。早市曾跟隨早市曾跟隨 V. Bush V. Bush 參與模擬計參與模擬計算機的研究并提出續(xù)電器路邏輯自算機的研究并提出續(xù)電器路邏輯自動化理動化理(1938)(1938)。二戰(zhàn)期間在參加。二戰(zhàn)期間在參加Bode Bod

11、e 領導的火炮控制系統(tǒng)研究過領導的火炮控制系統(tǒng)研究過程中發(fā)表了著名程中發(fā)表了著名通信的數字理通信的數字理論論，從而奠定了信息的基礎，從而奠定了信息的基礎(1948)(1948)，被譽為信息論之父。，被譽為信息論之父。19561956年回到年回到MITMIT任職電子工程系教授。任職電子工程系教授。北科大 信息工程學院 自動化182022-3-7理想濾波器的濾波特性為理想濾波器的濾波特性為 ：)(jG102/s2/s其頻率特性如圖其頻率特性如圖8 8-4-4()G j2s2s 圖圖8 8-4 -4 理想濾波器的頻率特性理想濾波器的頻率特性北科大 信息工程學院 自動化192022-3-7從時域性能指

12、標來看，隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可近從時域性能指標來看，隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為似取為: : c10s由于由于 ，所以采樣周期可按下式選?。?，所以采樣周期可按下式選?。?2sT cT15采樣周期采樣周期T T可通過單位接躍響應的上升時間可通過單位接躍響應的上升時間t tr r或調節(jié)或調節(jié)時間時間t ts s按下列經驗公式選?。喊聪铝薪涷灩竭x?。簉tT101或者或者stT401北科大 信息工程學院 自動化202022-3-78 8.3 .3 采樣信號保持器采樣信號保持器一、零階保持器一、零階保持器二、一階保持器二、一階保持器北科大 信息工程學院 自動化212022-3-7一、零階保持器一、零

13、階保持器, 2 , 1 , 0) 1()()(nTntnTnTXtXn，圖圖8 8-5 -5 零階保持器作用示意零階保持器作用示意采樣開關采樣開關 保持器保持器 sGhktXhtX* tX tXh tX tXtXht 零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器，是一種最零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器，是一種最常用的保持器。它把采樣時刻的采樣值恒定不變地保持常用的保持器。它把采樣時刻的采樣值恒定不變地保持（或外推）到下一采樣時刻（或外推）到下一采樣時刻: :1）零階保持器）零階保持器北科大 信息工程學院 自動化222022-3-72）零階保持器的傳遞函數）零階保持器的傳遞函數根據零階保持器的單位

14、脈沖響應，推出其傳遞函數。根據零階保持器的單位脈沖響應，推出其傳遞函數。零階保持器的單位脈沖響應是一個矩形，零階保持器的單位脈沖響應是一個矩形，寬度為寬度為T T，高為，高為1 1，它可表示成以下二個，它可表示成以下二個單位階躍信號的迭加。單位階躍信號的迭加。)( 1)( 1)(Ttttg單位脈沖響應的拉氏變換就是零階保持單位脈沖響應的拉氏變換就是零階保持器的傳遞函數。器的傳遞函數。seesstgLsGTsTSh111)()(圖圖8 8-6 -6 零階保持信號分解零階保持信號分解北科大 信息工程學院 自動化232022-3-73）零階保持器的頻譜分析）零階保持器的頻譜分析零階保持器的傳遞函數為

15、：零階保持器的傳遞函數為： 1( )TsheGss零階保持器的頻率特性為零階保持器的頻率特性為 ：2222sin12()222TTjjTTj TjjhTeTeeGjeTeTTjj北科大 信息工程學院 自動化242022-3-7其幅頻特性和相頻特性如圖其幅頻特性和相頻特性如圖8 8-7-7所示所示 圖圖8 8-7 -7 零階保持器的頻率特性零階保持器的頻率特性)(jGhSS2S323)(jGhT北科大 信息工程學院 自動化252022-3-7 一階保持器以兩個采樣時刻的值為基礎實行外推，它的外一階保持器以兩個采樣時刻的值為基礎實行外推，它的外推輸出式如圖推輸出式如圖8 8-8-8所示。所示。 (

16、)(1) ()()x kTx kTx kTtx kTtT)(txh)(tx)( tx)(txh0TT2T3t圖圖8 8-8 -8 應用一階保持器恢復信號應用一階保持器恢復信號二、一階保持器二、一階保持器1）一階保持器）一階保持器北科大 信息工程學院 自動化262022-3-7一階保持器的脈沖響應函數應該如圖一階保持器的脈沖響應函數應該如圖8 8-9-9所示。所示。 th110tTT2T2單位階躍單位階躍 單位斜坡單位斜坡 2單位階躍單位階躍 2單位階躍單位階躍單位階躍單位階躍單位斜坡單位斜坡 12TT212 tht圖圖8 8-9 -9 一階保持器的脈沖響應函數一階保持器的脈沖響應函數2 2）一

17、階保持器的傳遞函數）一階保持器的傳遞函數北科大 信息工程學院 自動化272022-3-7根據一階保持器脈沖響應函數的分解，可得其傳遞函數：根據一階保持器脈沖響應函數的分解，可得其傳遞函數： 3）一階保持器的頻譜分析）一階保持器的頻譜分析實線是一階保持器幅頻特性；虛線為零階保持器頻率特性實線是一階保持器幅頻特性；虛線為零階保持器頻率特性 。SS20180)(jGhS30280jGhS4T0.1 圖圖8 8-10 -10 保持器的頻率特性保持器的頻率特性2)1)(1 ()(TseTsTsGTsh北科大 信息工程學院 自動化282022-3-78 8.4 z.4 z變換理論及線性差分方程求解變換理論

18、及線性差分方程求解一、定義一、定義二、二、 z變換的性質變換的性質三、三、z變換方法變換方法四、四、z反變換方法反變換方法五、線性差分方程及其求解五、線性差分方程及其求解北科大 信息工程學院 自動化292022-3-7其中其中 是連續(xù)函數是連續(xù)函數 的采樣信號，的采樣信號，一、定義一、定義)(*tf)(tfTsez 采樣函數采樣函數 對應的對應的Z Z 變換是唯一的。變換是唯一的。Z Z 變換只適用于變換只適用于離散函數，因為它只表征了連續(xù)函數在采樣時刻的特性。離散函數，因為它只表征了連續(xù)函數在采樣時刻的特性。 Z Z反變換表示為反變換表示為: : )(*tf)()(*1tfzFZ用查表方法可

19、得到函數用查表方法可得到函數 的的Z Z變換。變換。)(*tf0*)()()(nnTsenTftfLsF)()()(*0tfZznTfzFnn北科大 信息工程學院 自動化302022-3-71 1）線性定理）線性定理 式中式中a a1 1,a,a2 2, ,為常數。為常數。2) 2) 實平移定理實平移定理 ZXaZXatxatxaz22112211)()( 10()mmKKZ x tmTZXzx kT z ()mz x tmTzX z二、二、 z變換的性質變換的性質當當k0k0時，有時，有 成立，則有：成立，則有：0 x kT 北科大 信息工程學院 自動化312022-3-74)4)復平移定理

20、復平移定理( )()tTZex tx ez 5)5)復域微分定理復域微分定理( )( )dXzZtx tTzdz 6)6)初值定理初值定理(0)lim ( )zxx z設函數設函數 的的Z Z變換為變換為 ，而且，而且 在在Z Z平面上以平面上以原點為圓心在單位圓上或圓外沒有極點，則原點為圓心在單位圓上或圓外沒有極點，則)(tf)(zF)()1 (1zFz1lim ( )lim ()lim(1) ( )lim(1) ( )ttttf tf nTzF zzF z3 3）終值定理）終值定理北科大 信息工程學院 自動化322022-3-7例例8 8-3 -3三、三、z變換方法變換方法1 1、級數求和

21、法、級數求和法 1x tt的的z z變換。變換。解：解： *011111nkkz xtx kT zzzz 北科大 信息工程學院 自動化332022-3-7例例8 8-4 -4 x tt的的z z變換。變換。解：解： *1202knkz xtkTzTzTzkTz 1*2312nzz xtTzTzkTz *1*11211nz x tzz x tTzTzTzTzz 1*211Tzz xtz北科大 信息工程學院 自動化342022-3-72 2、部分分式法、部分分式法 部分分式就是要利用最常見的幾種函數的部分分式就是要利用最常見的幾種函數的z z變換形式，將一般的變換形式，將一般的X(s)X(s)分解

22、成這些典型環(huán)節(jié)，分解成這些典型環(huán)節(jié)，進而求進而求X(z)X(z)。 zXsXtxtx* 11ttkkTszekTtxkTt 1111zzstkTx2211zzTstkTkTx北科大 信息工程學院 自動化352022-3-7北科大 信息工程學院 自動化362022-3-7例例8 8-5 -5解：解： 2111aTaTaTaTzezzX zzzezeze例例8 8-6 -6 22XsXzs,求 1112X ssjsjj sjsj 2211221sin2 cos1j Tj Tj Tj Tj Tj Tz eezzX zj z ez ej zz eezTzzT解：解： 111XsXzssas sa求a北

23、科大 信息工程學院 自動化372022-3-7(1)(1)冪級數法冪級數法( (長除法長除法) )11101110.( ).mmmmnnnnb zb zbz bX za za zaz a實際的物理系統(tǒng)滿足實際的物理系統(tǒng)滿足 nm,nm,則用綜合除法有：則用綜合除法有： 1010.knkX zcc zc z 由由Z Z變換的定義式可知變換的定義式可知: : 0*( )()nkxtctkT即為即為X(z)X(z)的原函數。的原函數。通常通常Z Z變換表達式有如下形式：變換表達式有如下形式：四、四、z反變換方法反變換方法北科大 信息工程學院 自動化382022-3-7已知 ，求x（k）。 23102

24、ZZZzx例例8-7232zz321703010zzz1203010zz12030z21609030zz10z32121140210706070ZZZZZ32140150ZZ TtTttxkxZZZZx2301070,30,10,0703010*321解解： 北科大 信息工程學院 自動化392022-3-7（3 3）部分分式法）部分分式法 部分分式法又稱查表法。它的基本思想是部分分式法又稱查表法。它的基本思想是將將 展開成部分分式展開成部分分式 ： zzX1( )niiX zAizzz 然后，查然后，查Z Z變換表，即可求取變換表，即可求取X X（Z Z）的原函數）的原函數x(kT)x(kT)

25、。北科大 信息工程學院 自動化402022-3-7已知已知 求求 X(kT)X(kT)(1)( )(1)()aTaTezX zzze )(1(1aTaTezzezzXaTeZZ111解解 ： 例例8-8 aTezzzzzX1查查Z Z變換表有變換表有： x(kT)=1e-akT 0*1kakTkTtetx北科大 信息工程學院 自動化412022-3-7線性定常離散系統(tǒng)可以用后向差分方程來描述：y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m) 也可用前向差分方程來描述線性定常離散控制系統(tǒng)。y(k+n) + a1y(k+n-1)

26、 + + an-1y(k+1) + any(k)= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k) 五、線性差分方程及其求解五、線性差分方程及其求解北科大 信息工程學院 自動化422022-3-7 若已知差分方程，并且給定輸出序列初值，可若已知差分方程，并且給定輸出序列初值，可利用差分方程的遞推關系，利用差分方程的遞推關系，( (在計算機上在計算機上) )一步一步一步一步計算出輸出序列。計算出輸出序列。求解差分方程常用的有迭代法和求解差分方程常用的有迭代法和Z Z變換法。變換法。1 1）迭代法）迭代法 若已知線性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程，對若已知線

27、性定常離散控制系統(tǒng)的差分方程，對差分方程兩邊取差分方程兩邊取Z Z變換，再根據初始條件及給定輸入變換，再根據初始條件及給定輸入控制信號的控制信號的Z Z變換表達式，可求系統(tǒng)輸出的變換表達式，可求系統(tǒng)輸出的Z Z變換表變換表達式，再求達式，再求Z Z反變換，即可求得反變換，即可求得Y(K)Y(K)。2 2）Z Z變換法變換法北科大 信息工程學院 自動化432022-3-7 已知離散系統(tǒng)的差分方程為已知離散系統(tǒng)的差分方程為(1)2 ()5ykTy kTkTY(0) = -1, Y(0) = -1, 求差分方程的解。求差分方程的解。解：對差分方程取解：對差分方程取Z Z變換，得變換，得2( )(0)

28、2 ( )5(1)TzZ Y zYY zz25( )(1) (2)2TzzY zzzz例例8-9又又 221111(2)(1)9(2)3(1)9(1)zzzzz253( )92 (1)12TzzzzY Zzzzz查查Z Z變換表，有變換表，有5()( 2)31( 2)9kkTy kTk 059*( )(1)( 2)31()95kkTytktkTT北科大 信息工程學院 自動化442022-3-7用變換解差分方程，已知用變換解差分方程，已知 例例8-10( )5 (1)6 (2)( )y ky ky ku k( ) 1(0)(0) 0(1) 1,u kkyy 求y(k)其中其中 解：解：2222(

29、2)5 (1)6 ( )(2)( )(0)(1)5( )5(0)6 ( )( )(0)(1)y ky ky ku kz Y zz yzyzY zzyY zz u zz uzu22222(56) ( )( )(1)11zzzzY zz u zzzzz1( )0.521.5(1)(2)(3)1230.521.5( )123( )0.52(2)1.5 30.5(2)1.5 3nnnnY zzzzzzzzzzzzY zzzzy k*北科大 信息工程學院 自動化452022-3-78 8.5 .5 脈沖傳遞函數脈沖傳遞函數一、基本概念一、基本概念二、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數二、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函

30、數三、閉環(huán)脈沖傳遞函數三、閉環(huán)脈沖傳遞函數北科大 信息工程學院 自動化462022-3-7一、基本概念一、基本概念定義定義：線性離散系統(tǒng)中，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣線性離散系統(tǒng)中，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的信號的Z Z變換與輸入采樣信號變換與輸入采樣信號Z Z變換之比，稱為系統(tǒng)的脈沖變換之比，稱為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。傳遞函數。)()()(zRzCzGG(s) r*( t ) r ( t ) c*( t ) c (t ) 圖圖8 8-10 -10 開環(huán)離散控制系統(tǒng)開環(huán)離散控制系統(tǒng)北科大 信息工程學院 自動化472022-3-70*0*)()()()()()(nnnznTgtgZzGn

31、TtnTgtg采樣脈沖函數的物理意義采樣脈沖函數的物理意義 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數是系統(tǒng)單位脈沖響應 經采樣后的采樣信號 的Z變換。)(tg)(*tg北科大 信息工程學院 自動化482022-3-7 假定動態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數為假定動態(tài)環(huán)節(jié)的單位脈沖過渡函數為g(t)g(t)。該環(huán)節(jié)的。該環(huán)節(jié)的輸入為輸入為r r* *(t)(t)0* ( )()()nrtr nTtnT利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個脈沖作用在線性環(huán)利用線性環(huán)節(jié)滿足疊加原理，無窮多個脈沖作用在線性環(huán)節(jié)節(jié)G(s)G(s)上，其輸出上，其輸出C(t)C(t)為為將輸出信號離散化，得到將輸出信號離散化，得到( )(0) ( )

32、( ) ( - )() ( -)y trg tr T g t Tr nT g t nT()(0) ()( ) (1)() () () () y kTrg kTr T gkTr nT gkn Tr nT gkn T北科大 信息工程學院 自動化492022-3-7上式兩邊用乘以上式兩邊用乘以 ，并求和，得到：，并求和，得到：000()(0)()()()kTSkTskKkTskYkT erg kT er nTgkn T ektse考慮到前面的給定，當考慮到前面的給定，當t t 0 0 時時 ，故有，故有00( )(1)( ) ()( ) (0)( )(0)( )( )()kTsTskTsTsTSkT

33、sKr T gkT er T gTr T ger T egg T er T eg kT e 0g t 同理有：同理有：00()()()()kTsnTskTskKr nT hkn T er nT eh kT e北科大 信息工程學院 自動化502022-3-7所以所以00()(0)()()kTsnTskTskkY kT err nT eh kT e采樣周期與所用時間變量文字描述無關，則上式可改寫為：采樣周期與所用時間變量文字描述無關，則上式可改寫為：000()()()kTskTskTskkkY kT er kT eh kT e即即*( )*( )*( )Y sR s G s式中式中 若令式中若令式

34、中 , , 則可知則可知 ( )( )( )Y zR z G z又因又因Tsze ZG zG sG(s) ( )g tL0*)()(kkTsekTgsG北科大 信息工程學院 自動化512022-3-7 已知開環(huán)離散控制系統(tǒng)如圖已知開環(huán)離散控制系統(tǒng)如圖10(10)s s r*( t ) r ( t ) C*( t )C ( t )求脈沖傳遞函數。求脈沖傳遞函數。 解解 ：由式由式 可知：可知：)(ZG)10(10ssZ1011ssZ例例7-11)(1()1 (1101010TTTezzzeezzzz ZG zG s北科大 信息工程學院 自動化522022-3-7二、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數二、

35、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數1、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關隔開、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關隔開)()()()(21zGzGzRzC 將采樣開關分隔的二個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數是兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數之積。結論可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關隔開的情況。北科大 信息工程學院 自動化532022-3-72 2、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關隔開、兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關隔開)()()(21zGGzRzC 無采樣開關隔開的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數是兩無采樣開關隔開的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，脈沖傳遞函數是兩個環(huán)節(jié)經采樣后的單位脈沖響應個環(huán)節(jié)經采樣后的單位脈沖響應 和和 的乘積的的乘積

36、的Z Z變變換。結論可推廣到換。結論可推廣到n n個環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。個環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。*2g ( ) t*2g ( ) t北科大 信息工程學院 自動化542022-3-7)(1()()()()()(1)(1)(2212211aTaTezzazzGzGzGezazzGasasGzzzGssG，得，得由由解：解：例例8-121）北科大 信息工程學院 自動化552022-3-7)(1()1 (1 )()(1)()()()()(2121121aTaTaTaTezzezeZzGGzGesGsGLassasGsG2）解：解：北科大 信息工程學院 自動化562022-3-7 3. 帶零階保持器的開環(huán)

37、系統(tǒng)的脈沖傳遞函數帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數seTS1G1(s) r*(t) r ( t ) y*(t)y(t) 由脈沖傳遞函數的定義有：由脈沖傳遞函數的定義有： 111( )(1)( )TsTseG zZG sZeG ss 1111( )(1)( )zG zzG zG zz即即北科大 信息工程學院 自動化572022-3-7三、閉環(huán)脈沖傳遞函數三、閉環(huán)脈沖傳遞函數1、有一個采樣開關的采樣系統(tǒng)、有一個采樣開關的采樣系統(tǒng)2、有數字校正裝置的采樣系統(tǒng)、有數字校正裝置的采樣系統(tǒng))(1)()()(zGHzGzRzC)()(1)()()()(zGHzDzGzDzRzC北科大 信息工程學院 自動

38、化582022-3-73. 有干擾作用的脈沖傳遞函數有干擾作用的脈沖傳遞函數 -假定假定d(t)=0,d(t)=0,得到如下的結構圖得到如下的結構圖G1(s)G2(s)H(s)r(t)r(t) e e* *(t)(t) c c* *(t)(t)c(t)c(t)北科大 信息工程學院 自動化592022-3-7根據脈沖傳遞函數的定義可知根據脈沖傳遞函數的定義可知12( )( ) ( )Y zGG z E z( )( )( )E zR zB z12( )( ) ( )B zGG H z E z整理可得到：整理可得到：12( )( )( )( )E zR zGG H zE z121( )( )1( )

39、E zR zG G H z于是得到：于是得到： 北科大 信息工程學院 自動化602022-3-7輸出的輸出的Z Z變換響應為：變換響應為：1212( )( )( )1( )G GzY zR zG G H z于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數于是得到閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數GB(z)為為: : 1212( )( )( )( )1( )BG GzY zGzR zG G H z定義誤差脈沖傳遞函數定義誤差脈沖傳遞函數Ge(z)為為12( )1( )( )1( )eE zG zR zGG H z北科大 信息工程學院 自動化612022-3-7 已知采樣系統(tǒng)結構如下圖所示，求系統(tǒng)的輸出脈已知采樣系統(tǒng)結構如下圖

40、所示，求系統(tǒng)的輸出脈沖響應沖響應y(z)。b*(t)G(s)H(s) r(t) y*(t)y(t) 例例8-13解：解：由脈沖傳遞函數定義及串連環(huán)節(jié)的連接方式，可列寫由脈沖傳遞函數定義及串連環(huán)節(jié)的連接方式，可列寫出如下式子出如下式子 ( )( )( ) ( )B zGHR zGH z B z所以，所以， ( )( )1( )GHR zB zGH z將將B(z)B(z)代入代入Y(z)Y(z)中，有中，有( )( )( )( )1( )G z GHR zY zGR zGH z)()()()(zBzGzGRzY北科大 信息工程學院 自動化622022-3-7 有時閉環(huán)脈沖傳遞函數是寫不出來的，當對

41、輸入信號有時閉環(huán)脈沖傳遞函數是寫不出來的，當對輸入信號 或偏差處沒有采樣時；或偏差處沒有采樣時； 開關個數不同時得到的開關個數不同時得到的 不同，位置不同得到的不同，位置不同得到的 也不同；也不同； 推導過程中不能在任意地方取采樣的拉氏變換，必須推導過程中不能在任意地方取采樣的拉氏變換，必須在真正有采樣的地方才能做采樣信號的拉氏變換。在真正有采樣的地方才能做采樣信號的拉氏變換。 輸入和輸出地方，加的是虛擬采樣，不是真的采樣，輸入和輸出地方，加的是虛擬采樣，不是真的采樣，只有對于單獨的輸入輸出信號（不與其它信號有相乘只有對于單獨的輸入輸出信號（不與其它信號有相乘或疊加關系），虛擬采樣才有作用?；?/p>

42、疊加關系），虛擬采樣才有作用。( )cX z( )BW z( )BW z北科大 信息工程學院 自動化632022-3-78 8.6 .6 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、一、S域到域到Z域的映射域的映射二、線性采樣系統(tǒng)二、線性采樣系統(tǒng)Z平面穩(wěn)定的充要條件平面穩(wěn)定的充要條件三、三、 Z 域到域到W域的映射域的映射四、用勞斯判據判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性四、用勞斯判據判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性北科大 信息工程學院 自動化642022-3-7一、一、S域到域到Z域的映射域的映射在在Z Z平面上，上式表示單位圓平面上，上式表示單位圓可見可見S S平面上的虛平面上的虛軸，映射到軸，映射到Z Z平面，平面

43、，是以原點為圓心的是以原點為圓心的單位圓，且左半單位圓，且左半S S平面對應單位圓內平面對應單位圓內的區(qū)域。的區(qū)域。當當=0=0，即，即s s平面的虛軸平面的虛軸, ,對應對應Z Z平面的單位圓。平面的單位圓。 當當00，即，即s s左半平面對應左半平面對應Z Z平面的單位圓內。平面的單位圓內。根據根據Z Z變換定義，有變換定義，有 ，Tsez 假定在假定在s s平面上任有一點平面上任有一點 ，則通過，則通過Z Z變換，映射到變換，映射到Z Z平面為平面為sj Tj Tzee北科大 信息工程學院 自動化652022-3-7二、線性采樣系統(tǒng)二、線性采樣系統(tǒng)Z平面穩(wěn)定的充要條件平面穩(wěn)定的充要條件設

44、采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為設采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為)(1)()()(zGHzGzRzC系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為0)(1zGH是閉環(huán)極點。，其特征根n21線性采樣系統(tǒng)線性采樣系統(tǒng)Z平面平面穩(wěn)定的穩(wěn)定的充要條件充要條件是，閉環(huán)系統(tǒng)是，閉環(huán)系統(tǒng)的全部特征根均位于的全部特征根均位于Z平面的單位圓內，即滿足平面的單位圓內，即滿足nii，211北科大 信息工程學院 自動化662022-3-7已知離散控制系統(tǒng)結構如下圖所示，采樣已知離散控制系統(tǒng)結構如下圖所示，采樣周期周期T=1T=1秒，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。秒，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：解： 106.32(1)10.368jzGzZs szz閉環(huán)特征

45、方程閉環(huán)特征方程 1+G(z)=0 z2+4.952z+0.368=0 z1=-0.076 z2=-4.876例例8-14 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根有一個在單位圓的根有一個在單位圓外，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。外，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 10(1)s s r (t) c* (t) c (t) T 北科大 信息工程學院 自動化672022-3-7在離散系統(tǒng)中，引進雙線性映射。在離散系統(tǒng)中，引進雙線性映射。 令令 11wzw 或或 11zwz其中其中z z和和w w可寫為可寫為 zxjywujv于是有于是有 1111xjyxjyw ujvxjyxjy 22222212(1)1xyyjxyxy三、三、 Z

46、域到域到W域的映射域的映射北科大 信息工程學院 自動化682022-3-7 當當x x2 2 +y +y2 2=1=1即對應即對應Z Z平面上的單位圓平面上的單位圓; ; u=0 u=0 即即W W平面上的虛軸平面上的虛軸; ; 當當x x2 2 +y +y2 21 1 即即Z Z平面上單位圓內的部分，也即平面上單位圓內的部分，也即穩(wěn)定域穩(wěn)定域; ; u0 u1 1 即即Z Z平面上單位圓內外的部分，也平面上單位圓內外的部分，也即不穩(wěn)定域；即不穩(wěn)定域； u0 u0 即右半即右半W W平面對應不穩(wěn)定域。平面對應不穩(wěn)定域。北科大 信息工程學院 自動化692022-3-7圖圖8 8-24 Z-24

47、Z平面到平面到W W平面映射平面映射 Z1111mIeRWmIeR0 線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件是：線是：線性離散閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的根的模小于性離散閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的根的模小于1 1；或者；或者其其W W變換的特征根全部位于變換的特征根全部位于W W平面的左半平面。平面的左半平面。北科大 信息工程學院 自動化702022-3-7四、用勞斯判據判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性四、用勞斯判據判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如圖如圖8 8-24-24所示，在所示，在W W平面中，離平面中，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍已經變?yōu)樯⑾到y(tǒng)的穩(wěn)定范圍已經變?yōu)閃 W平面的平面的左半平面，因此可

48、以應用勞斯判據左半平面，因此可以應用勞斯判據判斷穩(wěn)定性。判斷穩(wěn)定性。11wzw求使系統(tǒng)穩(wěn)定的求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K K值范圍。值范圍。例例8-15北科大 信息工程學院 自動化712022-3-7解：解：1 1、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數查表得：查表得：2 2、特征方程為：、特征方程為：3 3、對特征方程進行雙線性變換，代入、對特征方程進行雙線性變換，代入T=0.25sT=0.25s4114)4()(ssKssKsG)(1()1 (4)1(4)(444TTTezzzeKezzzzKzG0)1 (4)(1()(144zeKezzzGTT011158. 0368. 011111ww

49、Kwwww北科大 信息工程學院 自動化722022-3-7整理得整理得：0)158.0736.2(264.1158.02KwKw4 4、應用勞斯判據，勞斯表為：、應用勞斯判據，勞斯表為：根據勞斯判據，為使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，應有根據勞斯判據，為使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，應有2.736-0.15802.736-0.1580，得使系統(tǒng)穩(wěn)定的得使系統(tǒng)穩(wěn)定的K K值范圍是值范圍是0K17.30K0K0。對于二階線性采樣系統(tǒng)，當對于二階線性采樣系統(tǒng)，當K K大于某一值，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，可大于某一值，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，可見，加入采樣開關，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，如果提高采樣頻見，加入采樣開關，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，如果提高采樣頻率，

50、穩(wěn)定性將得到改善率，穩(wěn)定性將得到改善。北科大 信息工程學院 自動化732022-3-78 8.7 .7 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、采樣系統(tǒng)的類型一、采樣系統(tǒng)的類型二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值三、用靜態(tài)誤差系數求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值三、用靜態(tài)誤差系數求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值北科大 信息工程學院 自動化742022-3-7一、采樣系統(tǒng)的類型一、采樣系統(tǒng)的類型 設采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數為設采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數為G(z)G(z)，當，當G(z)G(z)具有具有0 0個，個，1 1個，個，2 2個個z z1 1的極點時，系統(tǒng)分別為的極點時，系統(tǒng)分別為0 0型

51、，型，I I型，型，IIII型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值 設采樣系統(tǒng)是單位設采樣系統(tǒng)是單位負反饋系統(tǒng)，則給定誤負反饋系統(tǒng)，則給定誤差脈沖傳遞函數為：差脈沖傳遞函數為：)(11)()(zGzRzE北科大 信息工程學院 自動化752022-3-7根據終值定理，給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為：根據終值定理，給定穩(wěn)態(tài)誤差終值為：)(1lim)(limzEzznTeennsr系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于G(G(z z) )和輸入信號和輸入信號R(R(z z) )。三、用靜態(tài)誤差系數求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值三、用靜態(tài)誤差系數求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值1 1、靜態(tài)位

52、置誤差系數、靜態(tài)位置誤差系數)(1 lim1zGKpz2 2、靜態(tài)速度誤差系數、靜態(tài)速度誤差系數)() 1(lim1zGzKvz北科大 信息工程學院 自動化762022-3-73 3、靜態(tài)加速度誤差系數、靜態(tài)加速度誤差系數)() 1(lim21zGzKaz單位階躍輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為單位階躍輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為psrKe1單位斜坡輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為單位斜坡輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為vsrKTeT T為采樣周期為采樣周期單位加速度輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為單位加速度輸入時，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為asrKTe2北科大 信息工程學院 自動化7720

53、22-3-7采樣系統(tǒng)如圖，零階保持器的傳遞函數為采樣系統(tǒng)如圖，零階保持器的傳遞函數為 ，被控對象的傳遞函數，被控對象的傳遞函數 ，采，采樣周期樣周期T=0.5sT=0.5s，確定系統(tǒng)的類型，并求出斜坡輸入作用下，確定系統(tǒng)的類型，并求出斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。的穩(wěn)態(tài)誤差。sesGTsh1)() 15 . 0 (4)(sssGo例例8-16北科大 信息工程學院 自動化782022-3-7查表得與上式對應的查表得與上式對應的Z Z變換。系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數變換。系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數)368. 0)(1()264. 0368. 0(2368. 0212) 1(2)1 ()(21zzzzzzzzz

54、zzGGoh解：解：1 1、求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數15 . 0124)1 ()()(2sssesGsGTSoh根據系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數，系統(tǒng)有一個根據系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數，系統(tǒng)有一個Z=1Z=1的極點的極點，所以為，所以為I I型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。北科大 信息工程學院 自動化792022-3-72 2、求出斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差求出斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差1lim ()lim( )0.25srnnzee nTE zz21( )( )1( )(1)(0.368)(1)(0.368)2(0.3680.264) 2(1)hoE zR zG Gzzzzzzzz由終值定理可得

55、到：由終值定理可得到：北科大 信息工程學院 自動化802022-3-78 8.8 .8 采樣系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析采樣系統(tǒng)的暫態(tài)特性分析 北科大 信息工程學院 自動化812022-3-7 通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數可表示為如下形式通常離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數可表示為如下形式 (為簡單起見，假設沒有重根為簡單起見，假設沒有重根)： 11()()miiBnkkzzP zGzkKQ zzP當系統(tǒng)輸入為單位階躍時，其系統(tǒng)輸出當系統(tǒng)輸入為單位階躍時，其系統(tǒng)輸出Y(z)Y(z)為：為： 11()( )1()miiBnkkzzzY zGz R zkzzP北科大 信息工程學院 自動化822022-3

56、-7展開成部分分式，有展開成部分分式，有 1111nKKkPC zzY zKQzzP 式中式中.()(1) ()kkkkP PCKPQ p于是可以通過于是可以通過Z Z反變換得到反變換得到y(tǒng)(k)y(k)，即得到時域解，并以此進，即得到時域解，并以此進行采樣系統(tǒng)的時域分析行采樣系統(tǒng)的時域分析北科大 信息工程學院 自動化832022-3-7 北科大 信息工程學院 自動化842022-3-7振蕩周期為：振蕩周期為： 即經過次采樣后輸即經過次采樣后輸出振蕩一個周期，或出振蕩一個周期，或者說是輸出在一個振者說是輸出在一個振蕩周期內采樣了次。蕩周期內采樣了次。 22 ,iikk圖圖8 8-25 -25

57、閉環(huán)實極點分布與瞬態(tài)響應閉環(huán)實極點分布與瞬態(tài)響應babamIeR|iijjiiiiZZeZZe復平面上的極點全為共軛：復平面上的極點全為共軛： ( )2| cos()kkkiiiiiiiiAiy kAZA ZAZkiiAiAA和決定iiiZZ和決定北科大 信息工程學院 自動化852022-3-7北科大 信息工程學院 自動化862022-3-7例例8-18采樣系統(tǒng)如圖，零階保持器的傳遞函數為采樣系統(tǒng)如圖，零階保持器的傳遞函數為 ， 被控對象的傳遞函數被控對象的傳遞函數 ，采樣周期，采樣周期T=0.25sT=0.25s，確定系統(tǒng)的時域性能指標。，確定系統(tǒng)的時域性能指標。sesGTsh1)() 15 . 0 (4)(sssGo北科大 信息工程學院 自動化872022-3-72(0.3680.264)( )(1)(0