第4章靜電場(chǎng)的解法

1、第第4 4章章 靜電場(chǎng)的解法靜電場(chǎng)的解法黃丘林黃丘林電子工程學(xué)院電子工程學(xué)院西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)1 1本章提綱1 靜電場(chǎng)問題的分類2 場(chǎng)的唯一性定理3 鏡像法4 分離變量法2 21 靜電場(chǎng)問題的分類靜電場(chǎng)問題的分類已知電荷分布求解場(chǎng)的分布型問題；由場(chǎng)量所滿足的支配方程以及場(chǎng)量在邊界上的已知條件來求解場(chǎng)的邊值型問題。邊值問題按其邊界條件不同可分為三類荻利克萊（Dirichlet）問題Neumann問題混合問題電位為標(biāo)量，可以方便的求解靜電場(chǎng)的其它物理量，故邊值問題通常以電位做為研究對(duì)象。3 31 靜電場(chǎng)問題的分類荻利克萊（Dirichlet）問題已知區(qū)域邊界上的位函數(shù)值Neumann

2、問題已知待求函數(shù)在區(qū)域邊界上的法向?qū)?shù)值02|0或02n（4.1-1）（4.1-2）4 41 靜電場(chǎng)問題的分類混合問題區(qū)域邊界的一部分已知位函數(shù)值，另一部分已知法向?qū)?shù)值。問題：三類邊值問題的解是否唯一？02012,n回答是肯定的，有唯一性定理保證。（4.1-3）5 52 場(chǎng)的唯一性定理場(chǎng)的唯一性定理在以上三種邊界條件下，滿足Laplace方程和Poisson方程的電位函數(shù)是唯一的。利用格林第一公式來證明這一定理。若 、 都滿足拉氏方程（或Poisson方程），則 滿足Laplace方程，即：SVdSndV2122102（4.2-1）（4.2-2）6 62 場(chǎng)的唯一性定理令格林公式中 、 都是

3、 ，則： 第一種情況（Dirichlet問題）： 、 在S上均滿足第一類邊界條件，則 而積分為0 而在S上 SVdSndV2120S02VdV020常數(shù)C0021（4.2-3）（4.2-4）7 72 場(chǎng)的唯一性定理第二種情況（Neumann問題）： 、 都滿足則：故（4.2-3）右邊=0，同樣可得： 在參考點(diǎn)處 ，故 第三種情況（Mixed問題）證明與第二種情況類似，略。120Sn021SSSnnn常數(shù)C21021021218 82 場(chǎng)的唯一性定理唯一性定理的重要意義一是告訴我們?cè)谑裁礂l件下得到的解是唯一的；二是無論用何種方法找到一個(gè)函數(shù)，既滿足微分方程，又滿足問題特定的邊界條件，則它必是該問

4、題的解。即可以靈活的選擇求解方法；三是根據(jù)唯一性定理，可以建立許多應(yīng)用于電磁場(chǎng)問題求解的等效原理。9 93 鏡像法鏡像法就是應(yīng)用唯一性定理求解靜電場(chǎng)的一種特殊方法。導(dǎo)體平面的鏡像法導(dǎo)體平面的鏡像法1010原問題等效問題兩個(gè)點(diǎn)電荷在P點(diǎn)共同產(chǎn)生的電位為：其中不難驗(yàn)證，該電位在上半空間除點(diǎn)電荷q所在位置外，處處滿足拉普拉斯方程，而在y=0平面上等于0，與原問題相同，所以它就是原問題的解。3 鏡像法201044)(rqrqr2221)(zhyxr2222)(zhyxr11113 鏡像法推廣多個(gè)點(diǎn)電荷的鏡像12123 鏡像法垂直和水平電偶極子的鏡像分布電荷的鏡像13133 鏡像法點(diǎn)電荷對(duì)直角導(dǎo)體拐角的

5、鏡像14143 鏡像法 例例1 1 在電位為0的無限大導(dǎo)體平面上方距離平面h處沿z方向放置均勻分布的線電荷，密度為 ，求導(dǎo)體上方的電位。 解：解：原問題與圖中的鏡像問題等效。l15153 鏡像法zdzhyxzhyxrl2222220)(1)(14)(zdzhyxzhyxl02222220)(1)(122222222222000()()lnln22()()llzxyhzxyhzxyhzxyh16163 鏡像法介質(zhì)交界平面的鏡像法介質(zhì)交界平面的鏡像法 原問題原問題 在y=0平面的上半空間充滿介電常數(shù)為 的介質(zhì)，下半空間充滿介電常數(shù)為 的介質(zhì)，在上半空間放一點(diǎn)電荷q ，求空間任一點(diǎn)電位。先處理上半空

6、間 假設(shè)全空間只有一種介質(zhì) ，而介 質(zhì)分界面上的感應(yīng)電荷對(duì)上半空間 電位的貢獻(xiàn)用在原電荷q的鏡像位 置放一像電荷 來等效，此時(shí)121q)(41)(2111rqrqr17173 鏡像法再處理下半空間 此時(shí)設(shè)全空間只有一種介質(zhì) ，分 界面上的感應(yīng)電荷對(duì)下半空間電位 的貢獻(xiàn)用原電荷位置上放一鏡像電 荷來等效，則原電荷位置上的總電 荷為 ，此時(shí)其中2q 12241)(rqr 2221)(zhyxr2222)(zhyxr18183 鏡像法 要使這兩個(gè)電位就是原問題的解，在邊界y=0上應(yīng)滿足邊界條件在y=0上 ，所以而21yy221121rr 21)(1qqq 232222322211)()()()(41

7、zhyxqhyzhyxqhyy2322222)()(41zhyxqhyy 19193 鏡像法在y=0上有 或可解得其中qhqhhq qqq Kqqq2121qKqqq)1 ( 2121K20203 鏡像法最后的上半空間和下半空間的電位分別為：)()(1(4)(22222211zhyxKzhyxqr22222)(41)(zhyxqKr21213 鏡像法球面鏡像法球面鏡像法從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷q位于圓心和q位置的連線上。2222Oaqd導(dǎo)體球Obrqqd導(dǎo)體球r1r2原問題等效問題3 鏡像法根據(jù)疊加原理：對(duì)于球面上的電位：取兩個(gè)點(diǎn)：A、B，可得：2323010211( )44qqrrr01021

8、1044ooqqrrBAObrqqd導(dǎo)體球r1r200qqdaabqqdaab2()babda舍去2aqqdabd 3 鏡像法柱面鏡像法柱面鏡像法自學(xué)作業(yè)：針對(duì)例4.4，求出電位及等位面方程，用Matlab編程計(jì)算并畫出不同m取值時(shí)的電位圖。要求：1）總結(jié)柱面鏡像法的過程； 2）附程序和圖。 P144: 4.1, 4.2, 4.4 24244 分離變量法基本思想把求解偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的問題,再結(jié)合問題特定的邊界條件，求出原問題的解。依據(jù)：唯一性定理坐標(biāo)系的選擇原則當(dāng)邊界（或其一部分）與某一坐標(biāo)系的坐標(biāo)面形狀相同時(shí)，就應(yīng)選擇此種坐標(biāo)系。分離變量后的解既滿足微分方程，又滿足

9、邊界條件分離變量后的解既滿足微分方程，又滿足邊界條件25254 分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法 當(dāng)邊界面的形狀適合選用直角坐標(biāo)系時(shí)，需在直角坐標(biāo)系中求解Laplace方程 進(jìn)行變量分離，令 兩邊同除以 得： 0222222zyx zZyYxXzyx, 0 zZyYxXzZyYxXzZyYxX zZyYxX 0 zZzZyYyYxXxX（4.4-1）（4.4-2）26264 分離變量法 式中每一項(xiàng)都只是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，要使上式成立，必須有各項(xiàng)均為常數(shù)，令： 222zyxkzZzZkyYyYkxXxX27274 分離變量法 得： 其中 、 、 都是常數(shù)，稱為分離常數(shù)，滿足如下關(guān)系： cZk

10、dzZdbYkdyYdaXkdxXdzyx000222222222xkykzk0222zyxkkk（4.4-3） （4.4-4） 28284 分離變量法可見三個(gè)分離常數(shù)只有兩個(gè)是獨(dú)立的，當(dāng)其中兩個(gè)確定后，第三個(gè)也就隨之確定了。此外，（4.4-4）式還表明，除非 ，其中必有一個(gè)為實(shí)數(shù)，一個(gè)為虛數(shù)，第三個(gè)可能為實(shí)數(shù)也可能為虛數(shù)。（注意帶求函數(shù)為實(shí)函數(shù)）當(dāng)其中某一個(gè)為0時(shí)，另兩個(gè)必是一實(shí)一虛。分離常數(shù)具體取何值應(yīng)由邊界條件確定，但不外乎以下三種情況：（1）等于0，（2）實(shí)數(shù)，（3）純虛數(shù)。分離常數(shù)取不同的值時(shí)，方程（4.4-3）的解也有不同的形式。29290 xyzkkk4 分離變量法以（4.3-3

11、a）為例： （1）當(dāng) 時(shí)，（a）式變?yōu)?，則（2）當(dāng) 實(shí)數(shù)時(shí)， ，其通解為（3）當(dāng) 為虛數(shù)時(shí)， ，令0 xk022dxXd 00BxAxXxk02xk xkBxkAeBeAxXxxxxjkxxjksincos1111xk02xk實(shí)數(shù)xxxxkjjk30304 分離變量法則其通解為 、 解的情況與此類似。0222222XdxXdXkdxXdxx xshBxchAeBeAxXxxxxxx2222 yY zZ31314 分離變量法由下面的例子給出完整的求解過程例例 2一無限長(zhǎng)矩形槽，其四壁上電位滿足圖中所示邊界條件，求槽內(nèi)電位分布。32324 分離變量法解：解：因?yàn)椴垩貁軸為無限長(zhǎng)，且邊界上邊界條件

12、沿z軸無變化，故槽中電位與z無關(guān)，僅為x、y的函數(shù) ，此問題可歸納為：yx,74 . 400,00 ,64 . 400, 054.4002222axbxxbyyaUyyx3333第一步：分離變量令 ，代入（4.4-5）得： （4.4-8） （4.4-9） 先解方程（4.4-9）（為何不先解（4.4-8）？因?yàn)橛伤o條件不能得出 的邊界條件）第二步：分離邊界條件：由（4.4-7）得： （4.4-10）4 分離變量法 yYxXyx,0 YYXX 02 xXkxXx 02 yYkyYy 00bYY3434第三步：聯(lián)立求解討論不同 取值時(shí)的解：（1） =0時(shí)，由邊界條件得（2） 為虛數(shù)時(shí)，令由邊界條件

13、得：4 分離變量法 yY 02 yYkyYy 00bYYykyk 00ByAyY000 BAyk實(shí)數(shù)yyyykjjk yyyyeBeAyY11011 BA35354 分離變量法（3） 為非零實(shí)數(shù)時(shí)，由邊界條件第四步：求解yk ykBykAyYyysincos11 0001AY ,2, 10nbnkbYy ,2, 1sin1nybnByYn xX3636由 ，得到：得4 分離變量法022yxkkbnjkbnkkxyx222 02 xXbnxX ,2, 111neDeCxXxbnnxbnn ybneDeCxxbnnxbnnnsin1137374 分離變量法第五步：寫出通解第六步：利用邊界條件求解待

14、定系數(shù)111sin,nxbnnxbnnybneDeCyx0,yaabnnnabnnabnneDCeDeC21111011sin,nxabnxabnabnnybneeeDyx 11sinnabnnybnxabnsheD38384 分離變量法又即：兩邊同乘以 并從0b積分，由三角函數(shù)正交性：nnDD112 0, 0Uy 011sinUybnabnsheDnabnn ybmsin bbabmmdyybmUdyybmabmsheD00021sinsin39394 分離變量法即：第七步：寫出原問題的解mabmmmbUbabmsheD11201 6,4,205,3, 120mmUmb5,3, 1401 m

15、abmshmeUDabmm5 , 3 , 10sin4,nybnxabnshabnshnUyx4040例例3 3 求圖中所示電位邊值問題的解。4 分離變量法41414 分離變量法解：解：求解問題可表示為：類似 上一例題得：axUbxxbyxyaxyyx0,00 ,00, 0002222 02 xXkxXx 02 yYkyYy42424 分離變量法先解X，由經(jīng)討論， 為實(shí)數(shù)時(shí)X有非0解：當(dāng) 時(shí)，其解為當(dāng) 時(shí)，其解為由 000, 0aXXxyaxyxk0 xk 0BxX0 xk xkBxkAxXxxsincos11 ,2, 1,0001nankBaXXx ,2, 1cos1nxanAxXn43434 分離變量法相應(yīng)地，當(dāng) 時(shí)， ，Y的解為：當(dāng) 時(shí)， 原方程的通解為： 0 xk0yk 00DyCyYankxanjky ,2, 111neDeCyYyannyann11100cos,nyannyannxaneDeCDyCyx44444 分離變量法再確定系數(shù)：又比較系數(shù)得：nnCDDx110,000 ,110co