必修4第二章平面向量章末檢測卷(含解析)

1、中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺世紀(jì)野旨ui ui ixr zeom21 世紀(jì)教育網(wǎng)()第二章平面向量章末檢測卷（時間：120分鐘 滿分：150分）、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）若OA=(1,2), OB = (1, 1),則AB等于()(2,3)B. (0,1)C.(-1,2)D. (2, 3)2.設(shè)ei, e2為基底向量，已知向量AB = ei - ke2, CB=2eie2, CD = 3ei3e2,若A, B, D三點共線，則k的值是（3.2 B. 3已知a=（入C.2),-2 D. 3b=(-3,5),且a與b的夾角。是鈍角，則 入的取值范圍是（Q103C.10 10

2、D. 其三34.設(shè)非零向量a, b 滿足 |a+b|=|ab|,則()B.|a|= |b|C. a/ bD.|a|>|b|5.已知 A(2, 3), AB=(3, 2),則點B和線段AB的中點M坐標(biāo)分別為（B(5, 5), M(0,0)B. 、一 7,B(5, 5), M ，4C.B(1,1), M(0,0)D.7/B(1,1), M 2， 46.已知A（-3,0）, B（0,2）, O為坐標(biāo)原點,點 C 在/ AOB 內(nèi)，|OC|=2V2,且/ AOC = ；，設(shè)OC= 6A+ OB（K R）,則入的值為（）A. 1 B.1 C.1 D.2 3237.已知向量 a= sin ”，b=

3、sin a ?,若 a/b,則銳角”為()26A. 30° B. 60° C. 45° D. 75° 一一78 .設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|=6, |AD| = 4.若點M, N滿足BM = 3MC, DN = 2NC,則AM NM等于()A . 20 B. 15 C. 9 D. 69 .已知向量 a=(1,0), b= (cos 0, sin 02 ,則 |a+b|的取值氾圍是()A. 0,/B. (1,曲 C. 1,2 D.亞 2 ， , ， 一 ，一， ， ，,一，一一， 10 .在 ABC中，點 M是BC的中點，AM = 1,點P在A

4、M上，且滿足 AP=2PM,則PA (PB+ PC)4 9D.4 3C4 311 .已知間=2|b|w0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a b = 0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是（）A. 0,2 B.或兀 C.27 D.:，兀63336. 一 , , . , 一 . . ， . 一 一12 .已知 ABC是邊長為2的等邊二角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA （PB+PC）的最小值是（）.c r3 -4 r.A . 2 B . 2 C 3 D . 1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13 .已知單位向量 e滿足|ae|= |a+2e|,則向量a在e方向上的投影為 .14 .

5、如圖，直線 EF與平行四邊形 ABCD的兩邊AB, AD分別交于E, F兩點，且與對角線 AC交于 點K,其中，Ae=|Ab, AF = 1AD, AK=汰C,則 入的值為.522 215.若非零向量 a, b滿足|a|= U-|b|,且(a b)，(3a+2b),則a與b的夾角為.316. 已知a= (1,3), b= (1,1), c=a+ 2, a和c的夾角是銳角，則實數(shù)入的取值范圍是 三、解答題(本大題共6小題，共70分)17. (10 分)已知aB = ( 1,3), BC=(3, m), CD = (1, n),且 AD/BC.(1)求實數(shù)n的值；(2)若/AC±BD,求

6、實數(shù) m的值.18. (12 分)已知向量 a=3ei-2e2, b=4e + e2,其中 e = (1,0), e2=(0,1).(1)求 a b, |a+ b|;(2)求a與b的夾角的余弦值.N 7世紀(jì)就后ufUfUJZTfiFUv eom19. (12分)已知a, b, c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a= (1,2).(1)若|b|= 2乖,且a / b,求b的坐標(biāo)；(2)若|c|=#0,且2a+c與4a3c垂直，求a與c的夾角 a20. (12分)如圖所示，在 ABC中，aQ=QC, AR=1Ab, BQ與CR相交于點I, AI的延長線與邊 3BC交于點P.用AB和AC分別表示BQ和C

7、R；(2)如果A1=AB+ ?bQ=aC+ qR,求實數(shù)入和科的值； (3)確定點P在邊BC上的位置.21. (12分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知四邊形 OABC是等腰梯形，A(6,0), C(1,F),點M滿足OM = 1OA,點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖所示.Ff .一/2 (1)求/ OCM的余弦值；可 4(2)是否存在實數(shù) A使(oA葭OP)，cM?若存在，求出滿足條件的實數(shù)入的取值范圍；若不存在，請說明理由.22. (12分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量 a=(1,2),點A(8,0), B(n, t), C(ksin 0,兀t) ow g 2 .若AB

8、a,且 |AB|=V5|OA|,求向量 OB；(2)若向量aC與向量a共線，當(dāng)k>4,且tsin。取得最大值4時，求OA OC.參考答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1,若 oA=(1,2), OB = (1, 1),則 AB 等于()A . (2,3)B. (0,1)C. (-1,2)D. (2, 3)答案 D解析 OA=(- 1,2), OB=(1, 1),所以 AB=OBoA=(1 + 1, 12)=(2, 3).A, B, D三點共2.設(shè) e1, e2為基底向量，已知向量 AB = e1一 ke2, CB=2e1e2, CD = 3e13e2,若線，則k的值

9、是()B. - 3 C. 2 D. 3答案解析易知 DB= CB CD = e1 + 2e2= (e1 2e2),又A,b, d三點共線，則 Db / Ab,則k=2,故選A.3.已知a=(Z, 2), b=(-3,5),且a與b的夾角。是鈍角，則 入的取值范圍是1010B. 歸彳3C.1010D.其丁 3答案 A解析 |a|= yj4,也|=小4,b=3入+ 10.由cos 0= *及。為鈍角時 |a|b|cos長(-1,0),知一10 3入 -101V聲節(jié)°，解得?.4. (2017全國H)設(shè)非零向量a,b 滿足 |a+b|= |a b|,則()B. |a|=|b|C. a/ b

10、D. |a|b|答案 A解析方法|a+ b|= |a b|,|a+ b|2= |a b|2.a2+ b2+ 2a b= a2+ b2 2a b.a b= 0. a± b.故選 A.方法二利用向量加法的平行四邊形法則.在？ABCD 中，設(shè) AB = a, AD=b,由 |a+ b|= |ab即|AC|= |DB|,從而四邊形 ABCD為矩形，即 ABXAD,故a± b.故選A.5,已知A(2, 3), Ab= (3, 2),則點B和線段AB的中點M坐標(biāo)分別為(B(5, 5), M(0,0)B.B(5, -5), M 7, -4C.B(1,1), M(0,0)D.7/B(1,1

11、), M 2， 4答案 B解析 oB=5A + AB=(2, 3)+(3, - 2) 7,=(5, 5), AB 中點 M 2，- 4 .6.已知 A(3,0), B(0,2), O 為坐標(biāo)原點， 點 C 在/ AOB 內(nèi)，|oC|=2，2,且/ AOC = j,設(shè)OC= OA+ OB(K R),則入的值為()A . 1 B.1 C.l D.| 323答案 D解析過C作CELx軸于點E.由 |0&|=2出，且 /AOC=：,得 |OE|=|CE|=2,所以 OC = Ofe + OB= 6A+ Ob,即 OE= xOa,2所以( 2,0)= 43,0),故 人=2. 3,，一3.17,

12、已知向量a=2，sina , b=sin a, &,右 a/b,則銳角”為()A. 30° B. 60° C. 45° D. 75°答案A3 11解析.a/ b, .sin2a=TX- = -,4 64 sin ”=專.又: a為銳角,1- a= 30 .8.設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|=6, |AD| = 4.若點M, N滿足BM = 3MC, DN = 2NC,則AM NM3AD 3AB-1/AD10.在 ABC 中,44等于（）A. 20 B. 15 C. 9 D. 6答案 C解析 ？ABCD的圖象如圖所示，由題設(shè)知,AM = A

13、B+ BM = AB +. AM N M = AB +1 一 c 3 一 c 1 一一 1 一一=3IABI3 =1-x 362* 16=9. 169.已知向重 a=(1,0), b= (cos 0, sin 0 2, 2 ,則 |a+b|的取值氾圍是()A. 0,亞 B. (1,版C. 1,2 D.業(yè) 2解析|a+b|=1 + cos 0 2+ sin2 9= 2+2cos 0.一.兀 兀因為長一5，2 ,所以cos長0,1.所以 |a+b|C42, 2.點 M是BC的中點，AM = 1,點P在AM上，且滿足 AP=2PM,貝UPA（PB+PC）等于（）- 16|AD |2 + 4AB AD

14、 4AB AD答案 A解析由題意可知點 P是4ABC的重心，.PA+PB+PC=0,PA (PB+ PC)=- FPA2=- 2IMA 2= - 4.2兀兀萬d. 6'兀11.已知間=2|b|w0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a b = 0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是（）兀兀 兀A. °，6B. 3,兀 C. 3,答案 B解析設(shè)a與b的夾角為以方程 x2+ |aX + a b = 0 有實根，A= |a|2 4a b > 0,a bw 4|a|2.1. cos q=或一面1且W|a|b| 4|a|b|8|b|22一一 -兀一一,丁 0,嘰兀.3 一 一 ” 一一

15、，.一.，一_.,.f一一12. （2017全國n ）已知 ABC是邊長為2的等邊二角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則PA （PB+ PC）的最小值是（）3-4A . 2 B . 2 C 3 D . 1答案 B解析 以BC的中點O為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系如圖所示，則A, B, C三點的坐標(biāo)分別為A（0,叫）,B（1,0）, C（1,0）.設(shè)P點的坐標(biāo)為（x, y）,則 pX=( x, 小一y), PB=(-1-x, - y),“ 、PC=(1 -x, y),PA (PB+ PC)= (-x, V3-y) (2x, - 2y) =2(x2+y2-V3y)= 2x

16、2+ y”：當(dāng)且僅當(dāng)>2X> > 一 一一 . . . 一 . . .PA （PB+PC）取得最小值，最小值為故選B.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）才中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺N 7世紀(jì)教后ufmuj2TfjFi_>v eom13. (2018山西太原聯(lián)考)已知單位向量e滿足|a e|= |a+2e|,則向量a在e方向上的投影為 .答案12解析 由 |a e|= |a+2e| 得(ae)2= (a+2e)2,于是 |a|22ae+ 1 = |a|2+4a e+4,解得ae=1,于是向量a在e方向上的投影為 詈=!2 |e| 214.如圖，直線 EF

17、與平行四邊形 ABCD的兩邊AB, AD分別交于E, F兩點，且與對角線 AC交于點K,其中，Ae=|Ab, Af = 1Ad, ak=冰c,則 入的值為.52,2答案2 9解析 Ae = |Ab, Af = |aD ,一 5 7 一> AB = 5AE, AD = 2AF.由向量加法的平行四邊形法則可知，Ac = Ab+>Ad,.AK=而=xAb+>ad)= x|Ae+2Af=1族+2足. E, F, K三點共線,'l入+ 2上1,入=9.2.215.若非零向量 a, b滿足|a|= U-|b|,且(a b)，(3a+2b),則a與b的夾角為3答案; 4解析 由(a

18、 b)，(3a+2b),得(ab) (3a+2b) = 0,2,2即 3a1a b 2b2=0. |a|=U-|b|,設(shè)a, b= Q321 世紀(jì)教育網(wǎng)()中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺則 3|a|2 |a|b|cos 0-2|b|2=0,加2乎|b12cos。一2|b|2 = 0,cos 0=冬一 一兀又 0W. 0= 4.16. 已知a= (1,3), b= (1,1), c=a+ 2, a和c的夾角是銳角，則實數(shù)入的取值范圍是 5- 2-府入21 世紀(jì)教育網(wǎng)()解析由題息得c=(1+ % 3+ N,. a, c夾角為銳角，0<cosa, c> <1,cos a, c>

19、;a c 10 + 4 11allcI 標(biāo)寸1+入2+ 3+ 入2_10+4 )20 f 80 計 10010+4 入-0< / r<1,20於+80 計 100'50<10+ 4«420 %+80 計 100, 45，且斤 0,實數(shù)入的取值范圍是 入?>-|,且入w 0 .三、解答題(本大題共6小題，共70分)17. (10 分)已知 AB = (T,3), BC=(3, m), CD = (1, n),且 AD/BC.(1)求實數(shù)n的值；(2)若aCBD,求實數(shù)m的值.解 因為 AB=(1,3), BC=(3, m), CD=(1, n),所以 A

20、D = AB+BC+CD = (3,3+ m+n),(i)因為 aD/ BC,所以 AD= bC,3=3入即3+m+n=入叫解得n=- 3.一一 r±.、(2)因為 AC = AB + BC= (2,3 + m),BD = BC + CD = (4, m- 3),又 acbd,所以 ACbD = 0,即 8+(3+m)(m3)=0,解得 m= ±1.N 7世紀(jì)野昌urufujzvfn-jv eom18. (12 分)已知向量 a=3ei-2e2, b=4ei + 金,其中 ei = (1,0),氏=(0,1).求 a b, |a+ b|;(2)求a與b的夾角的余弦值.解 (

21、1)因為 ei=(i,o), e2= (0,1),所以 a=3e1 2e2= (3, 2),b = 4e1+ e2= (4,1),所以 ab=(3, -2) (4,1) = 12-2=10, a+b=(7, 1),所以 |a+b|=72+ -1 2 =5艱.(2)設(shè)a與b的夾角為以10 221221 .八 ab 10則 cos 0=-；=尸a|b| yi3x 匹19. (12分)已知a, b, c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 a= (1,2).(1)若|b|= 2乖，且a / b,求b的坐標(biāo)；(2)若|。=配，且2a+c與4a3c垂直，求a與c的夾角 。解(1)設(shè) b=(x, y),因為a/

22、b,所以y=2x.又因為|b|=245,所以x2+y2=20.由聯(lián)立，解得b=(2,4)或b= ( 2, -4).(2)由已知(2a+c)±(4a-3c),得(2a + c) (4a 3c) = 8a2 3c2 2a c= 0,由 |a|= 45, |c|=中0,解得 a c= 5,所以cos 0=節(jié)=嘩,而0,小|a|c|2所以a與c的夾角0=7420. (12分)如圖所示，在 ABC中，aQ=QC, AR=1AB, BQ與CR相交于點I, AI的延長線與邊3BC交于點P.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺21 世紀(jì)教育網(wǎng)()用aB和局分別表示由和CR；(2)如果AI = AB+ w=

23、Ac+ qR,求實數(shù) 入和科的值;(3)確定點P在邊BC上的位置.11 >1 7解(1)由AQ=/C,可得 bQ = BA+aQ = AB + 我.I ar=1ab,-LT->1> 1 7. CR=CA+AR= AC + -AB 3. 1 二n 1 (2)將 BQ = AB + AC, CR= - AC+-AB 23代入 Al = AB+ ?bQ=aC+ qR,一 , >1 - >>則有 AB+ 入AB + /C =AC +II1 717-1即(1 ?)AB+ ；?AC=；mAB+(1-由AC, 23(3)設(shè) BP=mBC,、4解得_3科5.AP=nAln-

24、1 AB= mBC= mAC- mAB , 5由(2)知勾=5晶+5品，BP=>AP->AB = nAl - AB=n TAB+tAC 苑=生就 + 555ufUfUJ2Tfn_tv eom2n解得m= T，55n = W，3.岳*即著2,點P在BC的三等分點且靠近點 C處.21. (12分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知四邊形 OABC是等腰梯形，A(6,0), C(1, J3),點M滿足 加=昇，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖所示.(1)求/ OCM的余弦值；(2)是否存在實數(shù) N使(oA ?jOp)±(CM?若存在，求出滿足條件的實數(shù)入的取值范圍；若不存在，請說明理由.解 (1)由題意，可得OA=(6,0), OC=(1,小),OlM=2oA=(3,0),