羅素悖論提出的背景研究

1、精選公文范文管理資料羅素悖論提出的背景研究1902年6月16日，羅素的著作數(shù) 學(xué)原理(Principles of Mathematics)發(fā)表 前夕，他給弗雷格寫(xiě)了一封信，信中寫(xiě)道：“我在讀您的著作 算術(shù)基礎(chǔ) (Grundgesetze derArithmetik)時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)困 境?！彼岬降倪@個(gè)困境可以描述為：設(shè)謂詞 w表示：不能描述自己的謂詞。那 么w能不能描述自己呢？無(wú)論肯定還是否 定的回答都會(huì)推出反面，因此我們只能說(shuō) w 不是一個(gè)謂詞。羅素從這個(gè)困境想到了另一個(gè)看似不 同但更一般的問(wèn)題：由所有不屬于自己的集 合組成的類(lèi)也存在同樣的困境。因此，由這 些不屬于自身的集合(每個(gè)都是一個(gè)總體)

2、形成的類(lèi)(總體)是不存在的。這樣，我們 可以得出結(jié)論：按照這種方式定義形成的類(lèi) 不能作為一個(gè)總體。實(shí)際上，他們是兩個(gè)截然不同的問(wèn)題。 第一個(gè)問(wèn)題涉及到謂詞， 一個(gè)不能描述自己的謂詞。正如弗雷格在關(guān)于概念和對(duì)象的理 論中描述的那樣，他在給羅素的回復(fù)中也強(qiáng) 調(diào)，如果嚴(yán)格區(qū)分個(gè)體能夠滿足的謂詞和謂 詞能夠滿足的（高階）謂詞的話，那么考慮 自己描述自己的謂詞是沒(méi)有意義的。不能描述自己的謂詞”是不存在的，因此，悖論 也就不會(huì)發(fā)生。當(dāng)時(shí)，羅素并沒(méi)有接受概念需要分類(lèi)型 的想法，而僅僅在數(shù)學(xué)原理的附錄B中 提到這種可能性。對(duì)于羅素來(lái)說(shuō)，第一個(gè)悖 論是最重要的。他只是在考慮其他理論，比 如弗雷格的理論時(shí)，才在這

3、些理論中描述第 二個(gè)悖論的相關(guān)形式。相反地，弗雷格卻立 刻意識(shí)到第二個(gè)悖論揭示出了他的系統(tǒng)中 存在的問(wèn)題。僅僅6天之后，6月22日，弗雷格 馬上給羅素寫(xiě)了回信，信中這樣寫(xiě)道：看來(lái)一 個(gè)等式的一般形式不一定總能寫(xiě)成賦值過(guò) 程的等式，我提出的基本定律V 是錯(cuò)的，§ 31中的解釋也不足以保證我給出的 符號(hào)組合在任何情況下都有意義。羅素的確是在考慮康托定理時(shí)想到了這個(gè)悖論。在康托定理中，如果萬(wàn)有集存在， 那么對(duì)于任意一個(gè)集合， 都不存在它的哥集 （所有子集的集合）到該集合的一一映射。 在康托定理的證明中，所有不包含自身的集 合構(gòu)成的悖論集是在萬(wàn)有集的哥集上添加 得到的。然而羅素自己并沒(méi)有意識(shí)

4、到康托集 合中的這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)他最早在數(shù)學(xué)原理中提到這個(gè)悖論時(shí)，類(lèi)被稱為類(lèi)概念”，實(shí)際上是用來(lái)表示類(lèi)中的元素。類(lèi)中的元素可以是一個(gè)或多個(gè)，而恰恰是在只有一個(gè)元 素的類(lèi)中，這個(gè)元素可以作為這個(gè)類(lèi)的代 表。這樣， 不能描述自身”這個(gè)謂詞正好可 以用在它自身上，這就導(dǎo)致了矛盾的產(chǎn)生。本文會(huì)追溯第二個(gè)悖論更早一點(diǎn)的歷 史，這個(gè)悖論是由策梅羅（Zermelo）預(yù)言的。E.施羅德（Ernst Sch1加】）引發(fā)了這個(gè) 問(wèn)題的討論，后來(lái)弗雷格，胡塞爾都參與了 討論。最終，它出現(xiàn)在策梅羅給弗雷格的信 中，同時(shí)希爾伯特也得出了他自己的形式。 因此，說(shuō)起這個(gè)悖論的歷史，遠(yuǎn)比羅素給弗 雷格寫(xiě)信的時(shí)間更早。羅素只是對(duì)悖

5、論的第 一種形式感興趣，他寫(xiě)信給弗雷格只是為了說(shuō)明弗雷格的算術(shù)基礎(chǔ)中也有類(lèi)似的'可題。討論誰(shuí)先提出悖論的第二形式就像介 入了數(shù)學(xué)家們關(guān)于首發(fā)現(xiàn)”的爭(zhēng)論，但它確實(shí)引出了邏輯史上的一系列趣事，有些被大家所熟知，但之前并沒(méi)有被聯(lián)系起來(lái)。其 中最有名的 首發(fā)現(xiàn)”聲明是策梅羅于 1908 年在他的論文 良序可能性的新證明(“A new proof ofthe possibility of a well- ordering ” ) 中提出的。當(dāng)策梅羅提到羅素的數(shù)學(xué)原理 中的 集合論悖論”時(shí)，他加了一個(gè)腳 注(編號(hào)9) : 然而，我已經(jīng)獨(dú)立于羅素 發(fā)現(xiàn)了這個(gè)悖論，并于1903年之前就與希 爾伯特教授

6、等人討論過(guò)。1903年希爾伯特在給弗雷格的信中，除了感謝弗雷格提供 算術(shù)基礎(chǔ)第二卷中關(guān)于羅素悖論的討論的副本外，希爾伯特還提到他在幾年前就 聽(tīng)策梅羅提起過(guò)這個(gè)悖論。這一點(diǎn)恰好印證 了策梅羅的聲明。實(shí)際上，希爾伯特自己也 提出過(guò)類(lèi)似的悖論，是關(guān)于數(shù)的集合到其自 身的所有自映射”序列所構(gòu)成的集合。希 爾伯特用對(duì)角線法證明了不存在這樣的自映射”在策梅羅的傳記中，艾賓浩斯沿 襲了 哥廷根”的慣例，把這個(gè)悖論的發(fā)現(xiàn) 歸功于策梅羅一個(gè)人。(實(shí)際上，艾賓浩斯 在傳記中更傾向于使用 A.弗萊恩克 (Abraham Fraenkel)給出的術(shù)語(yǔ) 策梅羅 羅素悖論”。)希爾伯特悖論”和 策梅羅悖論”很相似，同樣證

7、明了某種集合 不存在。但在希爾伯特悖論”構(gòu)造的集合中，可以給出標(biāo)準(zhǔn)集合論的運(yùn)算。我們可以 根據(jù)希爾伯特 1905年7月10日的講稿 重新構(gòu)建這個(gè)悖論。希爾伯特通過(guò)構(gòu)造數(shù) 集M上的自映射構(gòu)成的集合到數(shù)集 M的 映射，然后使用集合論的兩個(gè)原理推出了矛 盾。第一個(gè)集合論的原理允許我們把幾個(gè)甚至無(wú)數(shù)個(gè)集合并成一個(gè)集合”，另一個(gè)原 理認(rèn)為任何情況下，良定義的集合都可以 通過(guò)自映射運(yùn)算從良定義集合中生成因此，有了集合 M ,我們就可以描述出所有 從M到M的映射集合 MM。希爾伯特考 慮任意多次使用并集運(yùn)算和自映射生成的 集合U,然后他再次對(duì) U使用自映射原理 得到F =UU o這樣，F(xiàn)應(yīng)該是U的子集，但運(yùn)

8、用與證明康托定理類(lèi)似的對(duì)角線法，我們可以得到F中一個(gè)不屬于 U的元素。但 是，希爾伯特的描述并不精確，尤其是他提 到 任意多次”使用兩種運(yùn)算來(lái)生成 Uo有 人猜測(cè)F是下面無(wú)限多個(gè)集合的并集構(gòu)成 的：MM , ( MM)M , MM U ( MM)M , (MM)M)M) , MM U ( MM)M U (MM)M)M),如果我們?nèi)我舛啻沃貜?fù)這 個(gè)過(guò)程，那么UU中的任意元素都已經(jīng)被包 含在這個(gè)過(guò)程中，因此這個(gè)過(guò)程生成的元素 不會(huì)多于U中的元素。這樣我們立刻知道 所謂任意多次的”運(yùn)算應(yīng)該超出所有的序 數(shù)，對(duì) M迭代3多次后作并集，在每個(gè) 序數(shù)上都重復(fù)這個(gè)過(guò)程做并或做塞，如此反復(fù)。這樣看來(lái)， 希爾伯

9、特悖論”證明了所有 序數(shù)的集合是不存在的。據(jù)說(shuō)，希爾伯特懷 疑其他描述這個(gè)悖論的形式中所用的哲學(xué)”概念，例如 所有集合的集合”，或 所 有序數(shù)的集合”，因此他愿意使用更一般的 數(shù)學(xué)概念，如映射，任意多次”運(yùn)算。按希爾伯特的方式，悖論可以從兩個(gè)非常簡(jiǎn)單 的運(yùn)算(函數(shù)空間和對(duì)已構(gòu)造出來(lái)的事物集合求并集)得出，所以它不僅僅是集合或 類(lèi)這種概念內(nèi)部所產(chǎn)生的矛盾。正如策梅羅所說(shuō)，它是一個(gè)理論內(nèi)部的矛盾，一個(gè)真正 的悖論(antinomy)。希爾伯特認(rèn)為悖論是 可以通過(guò)構(gòu)建(可證明的)一致的公理集合 論來(lái)避免的。1902年4月16日，策梅羅給他以前 的老師E.胡塞爾(Edmund Husserl)寫(xiě)了封信

10、。信中策梅羅報(bào)告了他幾年前的一 個(gè)結(jié)果，胡塞爾在信上的批注可以在胡塞 爾的檔案中找到 。這封信源于胡塞爾 1891年為施羅德的邏輯代數(shù)(Algebra der Logik)寫(xiě)的書(shū)評(píng)。施羅德在書(shū)中證明 了如果包含所有可以想到的東西”的萬(wàn)有類(lèi)存在，那么一定會(huì)導(dǎo)致矛盾。(這樣看來(lái)， 施羅德和康托都是最早發(fā)現(xiàn)這個(gè)不能擴(kuò)充 的概念的人。)為了在德國(guó)的邏輯學(xué)家中推廣 C.皮爾士( Charles S. Peirce)的工作以及 池的學(xué)院”玲壬留施羅德進(jìn)行了一系列的 講演。在第四次關(guān)于類(lèi)的理論的演講中，施 羅德通過(guò)定義包含"(Subsumption)這個(gè)概念提出了類(lèi)之間的代數(shù)運(yùn)算。稱一個(gè)集合a包含

11、于集合b,用符號(hào)表示為a b ，讀 作“a是b”或 所有的a是b"，顯然這就 是我們現(xiàn)在所謂的“a是b的子集”，表示為a bo施羅德關(guān)于集合運(yùn)算的內(nèi)容與布爾 提出的 論域”的概念是相悖的，布爾用 1 表示類(lèi)代數(shù)中的論域（全集）。下面是弗雷 格引用施羅德的論述：就像前面提到的，0被包含在每個(gè)類(lèi) 中，可以從拓?fù)淇臻g1中去掉；0可以 滿足每個(gè)謂詞。假設(shè)用a表示一個(gè)類(lèi)，類(lèi)中元素是等價(jià)于1的拓?fù)淇臻g類(lèi)（只要我 們把所有能想到的都放入拓?fù)淇臻g中1中，這顯然是允許的），那么，a中顯然只 包含一個(gè)拓?fù)淇臻g類(lèi)，即符號(hào)1自身，或者說(shuō)是整個(gè)拓?fù)淇臻g。除此之外，這個(gè)類(lèi)還 包含什么也沒(méi)有"，即0。因

12、此，0和1是 等價(jià)于1的類(lèi)，進(jìn)而我們不僅有 1 =1 ,還 有0 =1。因?yàn)樵谶@個(gè)例子中，作用于類(lèi)的謂 詞是 恒等于1"。根據(jù)第二條原理，對(duì)于 作用于類(lèi)的謂詞，這個(gè)謂詞必須也能作用于 類(lèi)中的每個(gè)個(gè)體。對(duì)于施羅德來(lái)說(shuō)，所有的謂詞都是關(guān)于包含”的論斷，謂詞 等于1"，就是其中的 一個(gè)，我們現(xiàn)在一般寫(xiě)作 “k1”。如果我們 用0表示空集，空集包含于任意集合 a就 可以表示為0a,當(dāng)然也就包含于等于 0的 集合，因此我們就能得到 0 = 1,得出矛盾玲瑤！施羅德此處給出的是不存在絕對(duì)的 萬(wàn)有類(lèi)1的證明。存在不包含于 1的集 合，尤其是空類(lèi) 0。胡塞爾在書(shū)評(píng)中認(rèn)為施羅德混淆了子 集（

13、概念 “subordinateclass ”和元素的概 念。雖然空類(lèi)是任何集合的子集，但它不是 任何集合的元素。尤其從“0是等于1的元素組成的集合的子集”并不能推出“0等于1”。而前面的矛盾正是源于1是所有集合構(gòu)成的集合這個(gè)假設(shè)的。 策梅羅后來(lái)在給 胡塞爾的信中指出：關(guān)于這一點(diǎn)，如果不考 慮證明的方法，施羅德是對(duì)的”從原始的德文加比斯伯格速記法中得到的相關(guān)論 述如下：由自身的子集 m, m為元素形成的集合 M是不一致的，即，這樣的集合 （如果我們非要把它看作集合的話 ）會(huì)導(dǎo)致 矛盾。證明：我們考慮那些不以自己為元素的 子集 m。M中的元素是 M自己的子集， 那么M的子集也會(huì)包含子集作為元素，他

14、 們自己（不）是元素?，F(xiàn)在我們考慮的恰是 那些不含有自己的子集 m,但可能包含其他 的子集。）上述所有 m構(gòu)成了集合 M0（即 M的所有不含自身作為元素的子集形成的 集合），我們證明M0具有下面的性質(zhì)，（1） M0不是 M0自身的元素。（2） M0是M0自 身的元素?？紤]（1） : M0作為M的子集是 M 的元素，但不是 M0的元素。否則，M0就 包含一個(gè)元素（即M0本身，也是 M的子 集），這個(gè)元素以自身為元素。這與 M0的 定義矛盾?？紤]（2）:因?yàn)橛桑?）可知，M0是M 的子集，且不包含自身作為元素。那么根據(jù) M0的定義，M0是M0中的元素。這個(gè)證明表明任何集合都不可能包含 自己的所有子

15、集使之作為元素。 一個(gè)包含所 有東西的萬(wàn)有集當(dāng)然包含自己的子集，因?yàn)樗鼈円彩羌?。集合M0中的元素是所有不 以自身為元素的萬(wàn)有集的子集，我們簡(jiǎn)單地用M0表示由所有不包含自身的集合組成 的集合。這樣，M0就是羅素集，M0會(huì)導(dǎo)致 矛盾的證明與羅素給出的是相同的 ：如果說(shuō) M0是自身的元素則可以推出反面，反之， 如果說(shuō) M0不屬于自己卻又推出應(yīng)該屬于。 我們的矛盾和羅素信中提到的是一樣的，二者都可以通過(guò)直接對(duì)所有集合構(gòu)成的集合 （在策梅羅的悖論中，集合至少包含它自己 的所有子集）使用康托定理得到。更進(jìn)一步，那么我們會(huì)有羅素悖論嗎?實(shí)際上，我們已有的是一個(gè)關(guān)于集合的定 理，定理闡明不存在以自己的子集為

16、元素的 集合。然而，早在1908年，一篇題為 關(guān) 于集合論基礎(chǔ)的研究的文章已經(jīng)把這個(gè)結(jié) 論作為一個(gè)定理提出，并給出了以下證明：定理10.每個(gè)集合 M至少有一個(gè)子 集M0, M0不是M的元素。證明：對(duì)于M中的每個(gè)元素 x, x 6 x與否是確定的，因?yàn)閤 G x的可能性不 需要由公理來(lái)判定。根據(jù)我們的公理III(策梅羅的分離公理)，如果 M0包含M 中所有不滿足x 6 x的元素，那么無(wú)論 M0 GM0還是不屬于，M0都不可能是 M的元 素。在第一種情況下，M0中應(yīng)該有一個(gè)元 素x = M0 ,那么就有 x G x,但這與 M0 的定義相矛盾。這樣M0自然不是自身的元 素，并且如果假設(shè) M0是M的

17、元素，那么 就有M0是M0的元素，這是相互矛盾的。策梅羅對(duì)這個(gè)證明給出了總結(jié)性的批 注：從定理中可知，論域 B中的所有元素 x不能全部作為一個(gè)相同集合的元素，即論域B本身不是集合。這就是我們所知的羅 素悖論的處理方式。因此，策梅羅通過(guò)給出 定理的方式來(lái)討論羅素悖論。他認(rèn)為某些群體不是集合，并用反證法給出了證明。1897年布拉利福爾蒂(Burali-Forti)在證明 序數(shù)不能良序時(shí)也是采用這樣的方法。如果每個(gè)集合都能被良序， 那么就不存在序數(shù) 的集合。實(shí)際上策梅羅的證明也可以看做是 關(guān)于 絕對(duì)無(wú)窮”的，或者在某種意義上是 大得”不能成為集合的類(lèi)的。一個(gè) 所有集合構(gòu)成的集合”當(dāng)然包含 它自己所有

18、的子集，那么根據(jù)策梅羅定理， 我們立刻就知道不存在所有集合的集合了。策梅羅認(rèn)為他已經(jīng)通過(guò)證明這個(gè)令人 驚訝的集合的 不存在”從而解決了羅素悖 論，悖論是不存在的。但證明不存在滿足某 種描述的集合不同于證明滿足某種描述不 能被滿足，因此只能說(shuō)明滿足描述的集合是 空集。這恰恰證明了一些描述看起來(lái)像是集 合，但實(shí)際不是，因?yàn)椴淮嬖谀菢拥募稀?無(wú)限制概括公理的反例正好說(shuō)明了， 的確存 在一個(gè)謂詞，滿足這個(gè)謂詞的元素卻不能構(gòu) 成集合。但對(duì)于每個(gè)不存在”定理，并沒(méi)有像無(wú)限制概括公理那樣顯然的反例。比如一個(gè)人認(rèn)為論斷不存在集合y包含自己所有的子集”是一個(gè)謂詞，但滿足這個(gè)謂詞 的元素不能形成集合。那么根據(jù)無(wú)

19、限制概括 公理得到的反例是：y x(x e y = . x .)這個(gè)反例 描述的是：存在y,對(duì)于任意x, x是y的 元素當(dāng)且僅當(dāng) 。等價(jià)條件是什么？當(dāng)且 僅當(dāng)x是y的子集？這違反了上面提到的概括公理，公理不允許在定義集合元素的 公式x中出現(xiàn)自由的 y。論斷滿足某 個(gè)公式的集合是不存在的 ”是可以用公式描述出來(lái)的，但 以自己的所有子集為元素的 集合是不存在”這個(gè)斷言卻不可以，但不是所有不存在”定理都有反例。因此策梅 羅的確曾提出過(guò)羅素證明的不過(guò)是一個(gè)不 存在的定理，而不是一個(gè)概括原理（從開(kāi)始 就讓人難以置信）的反例。雖然讓人吃驚的 是，所有集合的集合不存在，包含所有子集 為元素的集合也不存在，但

20、我們還不清楚這是否能被稱為悖論 （paradox）。實(shí)際上，策 梅羅本人更傾向于使用矛盾"（antinomy）而不是悖論"（paradox） 璘瑩。他認(rèn)為“ parado才旨的是“與一般的觀點(diǎn)相矛盾的論斷；而不存在像羅素悖論和布拉利福爾蒂悖論那樣內(nèi)部的矛盾，羅素悖論和布拉利福爾蒂悖論用antinomy表示”。另一方面，就像策梅羅的用法一樣，“antinomy可以由形式理論推出的，用來(lái)證 明理論的某個(gè)公理是錯(cuò)誤的，必須被刪除。 但這并不意味著這個(gè)理論的基礎(chǔ)概念或定義是錯(cuò)的，能夠推出矛盾。因此，盡管策梅 羅實(shí)際上已經(jīng)預(yù)見(jiàn)到羅素后來(lái)信中提到的 數(shù)學(xué)討論，但他并不認(rèn)為這是一個(gè)會(huì)從多

21、方 面影響集合的 悖論”，包括影響弗雷格。 關(guān)于施羅德的觀點(diǎn)，我們還要多說(shuō)幾句。實(shí) 際上弗雷格在文章關(guān)于施羅德 邏輯代數(shù)的演講”中的一些批評(píng)觀點(diǎn)（"Acritical elucidation of some points in E. Schr der's Vorlesungen u ber die Algebra der Logk提 出了他的看法。他引用了施羅德的觀點(diǎn)后繼 續(xù)寫(xiě)道：作者在第246頁(yè)證明了我們可以考慮 拓?fù)淇臻g中除了 1之外的任意類(lèi) b,用上 述方法可以得到結(jié)論 0 = bo這個(gè)矛盾就像 晴空霹靂一樣，我們?cè)趺茨軌蛉萑叹_的邏 輯中出現(xiàn)這樣的東西！誰(shuí)能保證在今后

22、的研 究中，我們不會(huì)突然遇見(jiàn)這樣的矛盾？這種可能性指向了原始理論的錯(cuò)誤。施羅德從這個(gè)結(jié)論中推出最初的拓?fù)淇臻g1必須按照下列方式形成：在拓?fù)淇臻g中作為個(gè)體的元 素不能是包含自身作為元素的類(lèi)。這個(gè)權(quán)宜 之計(jì)似乎使得船免于擱淺，但只有正確的駕駛才能使它安全行駛?，F(xiàn)在我們?cè)絹?lái)越清楚 為什么一開(kāi)始就像預(yù)見(jiàn)到緊急的危險(xiǎn)一樣， 把拓?fù)淇臻g規(guī)定為運(yùn)算的舞臺(tái)，盡管這從單 純的范疇運(yùn)算的角度看是沒(méi)有理由的。接下來(lái)，這個(gè)領(lǐng)域?qū)ξ覀冞壿嬓袨榈南拗平^不是 優(yōu)雅的。在其他領(lǐng)域，邏輯可以說(shuō)具有無(wú)限 制的有效性，但對(duì)于拓?fù)淇臻g，我們必須小 心地檢驗(yàn)后，才能在其中使用邏輯。當(dāng)施羅德規(guī)定最初的拓?fù)淇臻g中 的元素不能是包含以自身作

23、為元素的類(lèi)時(shí)， 他顯然認(rèn)為拓?fù)淇臻g或類(lèi)中的一個(gè)個(gè)體和 拓?fù)淇臻g中的一個(gè)類(lèi)是不同的。胡塞爾在給施羅德寫(xiě)的書(shū)評(píng)中也提到了類(lèi)似的區(qū)分，包含元素的類(lèi)”和 包含子集的類(lèi)”是不同 的，他希望通過(guò)這種方法解決問(wèn)題。策梅羅的定理 10提到 每個(gè)集合 M 都至少包含一個(gè)子集 M0, M0不是 M 的 元素”，這有效地證明了，一個(gè)給定集合的 子集()的概念和該集合的子集的元素 (G)的概念與集合的元素概念是不同的。 策梅羅在討論羅素悖論時(shí)提出了關(guān)于集合 的相當(dāng)好的定理，同時(shí)也證明了施羅德關(guān)于集合的概念存在著本質(zhì)的缺陷。不僅如此， 策梅羅為了避免產(chǎn)生悖論而使用自己的集 合論公理系統(tǒng)的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)了會(huì)導(dǎo)致悖論的 集合性

24、質(zhì)。雖然弗雷格對(duì)施羅德的討論進(jìn)行 了仔細(xì)的研究，但他卻忽略了與自己的理論 相關(guān)的結(jié)果。由此可見(jiàn)，策梅羅的討論可以 真正地被稱作是羅素悖論的預(yù)言”，而他正是在研究弗雷格批評(píng)施羅德的文章時(shí)發(fā) 現(xiàn)的。當(dāng)然，施羅德得出的矛盾結(jié)論0 =1是反證法的一部分。施羅德并沒(méi)有因此認(rèn)為每 個(gè)類(lèi)必須包含一些不是這個(gè)類(lèi)中元素的類(lèi)， 而是認(rèn)為每個(gè)類(lèi)必須只包含那些本身不含 原始類(lèi)中的元素的類(lèi)。而這些類(lèi)恰是原始類(lèi) 中的 元素”。弗雷格認(rèn)為這是一個(gè)臨時(shí)的 解決方案，它使船免于擱淺?！备ダ赘癜堰壿嬁醋鼍哂袩o(wú)限制的有限性”，因此全稱量詞理所當(dāng)然可以無(wú)限制地用在任何事 物之前。A.丘奇(Alonzo Church)的一篇文章 完稿

25、于1939年，但直到1976年才發(fā)表， 他在文中把施羅德的論述看做是簡(jiǎn)單類(lèi)型論的雛形。如果一個(gè)給定集合a中的 元素”可能是其它類(lèi)b中元素的子集，但不是 a中任何元素的子集，則丘奇認(rèn)為我們可以 認(rèn)為a和b屬于不同類(lèi)型，a的類(lèi)型高于 b的類(lèi)型，因?yàn)閍中的元素都是包含 b中 元素的類(lèi)。弗雷格則反對(duì)這些限制，丘奇認(rèn) 為弗雷格堅(jiān)持邏輯無(wú)限制的法則不過(guò)是對(duì) 他自己觀點(diǎn)的重復(fù)：所有的對(duì)象的類(lèi)型都相 同，包括弗雷格集 賦值過(guò)程”，都可以出 現(xiàn)在全稱量詞的論域中。弗雷格同樣引用了關(guān)于施羅德的書(shū)評(píng)，策梅羅于 1902年在他的信中對(duì)這個(gè)書(shū)評(píng) 做了修改。沒(méi)有證據(jù)顯示策梅羅之前讀過(guò)弗 雷格的文章。但至少兩人都讀過(guò)胡塞爾

26、的書(shū) 評(píng)，并作出了回應(yīng)。弗雷格和胡塞爾曾經(jīng)一 致認(rèn)為施羅德在屬于"定義中把元素關(guān)系等同于子集關(guān)系。然而，弗雷格和策梅羅也 注意到，論證的關(guān)鍵是為了證明不存在萬(wàn)有集”或無(wú)限制的 論域”。實(shí)際上，正如丘 奇提到的，弗雷格過(guò)于重視悖論的類(lèi)型，即 從存在一個(gè)所有事物的集合這個(gè)前提可以 推出的悖論，而這正是弗雷格批評(píng)施羅德想要避免的。我們?cè)噲D猜測(cè)策梅羅已經(jīng)意識(shí)到 邏輯學(xué)家們關(guān)于論域”的爭(zhēng)論，并讀到了康托的 絕對(duì)”無(wú)窮以及序數(shù)集不存在等觀 點(diǎn)，并把這些事情都清楚地記載了下來(lái)。他 的對(duì)角線法，從數(shù)學(xué)的角度看與羅素的相 同，但比羅素運(yùn)用到證明中要早。如果把猜 測(cè)繼續(xù)下去，當(dāng)然有人會(huì)質(zhì)疑策梅羅為什么

27、沒(méi)有把簡(jiǎn)單類(lèi)型論作為可替代的方案來(lái)解 決他發(fā)現(xiàn)的集合論悖論”。但實(shí)際上，策梅羅和羅素似乎是在集合論的不同世界中 進(jìn)行研究，策梅羅沿著哥廷根的康托集合論 傳統(tǒng)道路行進(jìn)，而羅素則是對(duì)自己早期的觀 點(diǎn)進(jìn)行提煉并放棄了早期觀點(diǎn)。沒(méi)有直接的證據(jù)顯示羅素研讀過(guò)施羅 德的證明，看過(guò)施羅德關(guān)于所有集合構(gòu)成的 集合會(huì)導(dǎo)致悖論的想法或類(lèi)型理論的雛形。 但是羅素的確讀過(guò)弗雷格1895年的論著并做了大量的筆記。正因?yàn)橛辛诉@樣的準(zhǔn)備 工作，1902年夏天他為 數(shù)學(xué)原理增加 了 附錄A：弗雷格的邏輯和數(shù)學(xué)原則 ”, 同樣的準(zhǔn)備才有了他給弗雷格的信瑜瑤。但是，任何關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的討論都沒(méi)有出現(xiàn)在筆記或最終的附錄中。然而，有證

28、據(jù)顯示羅素關(guān)于施羅德理論 的大概看法來(lái)源于1913年與N.維納 (NorbertWiener)的交流。1913 年 9 月， 年僅18歲的維納去劍橋拜訪羅素。他剛在哈佛大學(xué)完成了題為對(duì)施羅德、懷特海及羅素處理關(guān)系代數(shù)的方法比較(“A comparison between the treatment ofthe algebra of relatives by Schr der and that by Whitehead and Russell ”的博士論文。I.格 拉坦一吉尼斯(Ivor Grattan-Guinness) 找到了幾頁(yè)羅素寫(xiě)的評(píng)語(yǔ)及維納的回答，后面還有兩人當(dāng)年9、10月的一系列討

29、論。維 納也參加了羅素的演講，并在家書(shū)中提到了他們之間的交流。羅素在1913年10月19日寫(xiě)給 L. 唐納利(Lucy Donnelly)的信中同樣也提 到了這些討論：9月底，一個(gè)年僅 18歲的 哈佛博士和他父親一起來(lái)拜訪我這個(gè)年輕人叫維納，自認(rèn)為無(wú)所不能，也常被別 人夸獎(jiǎng)。我們進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的討論試圖說(shuō)服 對(duì)方。維納帶來(lái)了博士論文的副本，并和羅 素在一系列的會(huì)議上進(jìn)行討論， 會(huì)議中間通 過(guò)信件交流瑜 嗪。論文和信件中包含了許 多施羅德的邏輯。論文的主題是將施羅德的 邏輯與 數(shù)學(xué)原理中的作比較，為施羅 德邏輯的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行辯護(hù)。 格拉坦 -吉尼斯 挑選出與這個(gè)事件相關(guān)的兩段話：施羅德和羅素的系統(tǒng)之間的一個(gè)重要 差別在于：施羅德系統(tǒng)中的個(gè)體對(duì)應(yīng)于羅素 系統(tǒng)中個(gè)體的單位類(lèi)。這樣，羅素的系統(tǒng)中 有個(gè)