高中數(shù)學(xué)必修2空間幾何典型例題及講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)必修2第一章一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。2. 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖與直觀圖，能識別上述三視圖與直觀圖所表示的立體模型。二、重點、難點：重點：空間幾何體中的棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征；空間幾何體的三視圖與直觀圖的畫法。難點：柱、錐、臺、球結(jié)構(gòu)特征的概括；識別三視圖所表示的空間幾何體;幾何體的側(cè)面展開圖，計算組合體的表面積和體積。三、考點分析：三視圖是新課程改革中出現(xiàn)的內(nèi)容，是新課程高考的熱點之一，幾乎每年都考，同學(xué)

2、們要予以足夠的重視。在高考中經(jīng)常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)或中檔題，但也要關(guān)注三視圖以提供信息為目的，出現(xiàn)在解答題中。這部分知識主要考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力。1. 多面體棱柱、棱錐、棱臺2. 旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺、球3. 三視圖（1）正視圖、側(cè)視圖、俯視圖（2）三種視圖間的關(guān)系4. 直觀圖水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法 4. 多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積（S側(cè)）全面積（S全）體 積（V）棱柱棱柱直截面周長lS側(cè)+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱錐棱錐各側(cè)面面積之和S側(cè)+S底S底h正棱錐ch棱臺棱臺各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+

3、)正棱臺 (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面的周長，h表示高度，h表示斜高，l表示側(cè)棱長。 5. 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h（即r2l）r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線長、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底面 半徑，r1、r2分別表示圓臺上、下底面的半徑，R表示半徑。知識點一 柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征例1. 下列敘述正確的是（ ）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱。兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱

4、臺。有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺。直角三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐。直角梯形以它的一條垂直于兩底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓臺。用一個平面去截圓錐，底面和截面之間的部分是圓臺。通過圓錐側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線。以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成球體。A. B. C. D. 思路分析：遇到概念判斷問題，一定要在理解透徹相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，仔細(xì)分析，如果判斷它是正確的，必須能緊扣定義，而不是模棱兩可地去作判斷；如果判斷它是錯誤的，只需找到一個反例即可。解答過程：如圖所示，由圖（1）可知是錯誤的；由圖（2）可知是錯誤的

5、；由圖（3）可知是錯誤的；由圖（4）可知是錯誤的。因為通過圓錐側(cè)面上一點和圓錐的頂點只能連一條射線，所以“通過圓錐側(cè)面上一點，有無數(shù)條母線?！笔清e誤的，即是不正確的。以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的應(yīng)該是球面，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的才是球體。所以是錯誤的。所以只有是正確的。故應(yīng)選D。解題后的思考：在作判斷的時候沒有嚴(yán)格的根據(jù)定義進行多角度分析，而是只抓住定義中的某一點就作出判斷，容易導(dǎo)致錯誤。知識點二 組合體例2. 如圖，下列組合體是由哪幾種簡單幾何體組成的？解答過程：（1）由一個三棱錐和一個四棱錐組成，為左右結(jié)構(gòu)（2）由兩個三棱錐組成，為上下結(jié)構(gòu)（3）由圓錐和圓臺組成，為上下結(jié)

6、構(gòu)知識點三 柱、錐的側(cè)面展開圖例3. 小明在一個正方體盒子的每個面都寫有一個字母，分別是：A、B、C、D、E、F，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方體盒子中，和“A”相對的面所寫的字母是哪一個？思路分析：在每個格子中標(biāo)明你所想象的面的位置，如將A格標(biāo)明“上”，將B格標(biāo)明“前”等等。解答過程：為字母“E”解題后的思考：本題突出考查了學(xué)生將正方體各面展開圖復(fù)原為正方體的空間想象能力。例4. 如圖所示，為一個封閉的立方體，在它的六個面上標(biāo)出A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個字母，現(xiàn)放成下面三種不同的位置，所看見的表面上的字母已標(biāo)明，則字母A，B，C對面的字母分別是（ ）A. D，E，F(xiàn) B. F，D，E

7、C. E，F(xiàn)，D D. E，D，F(xiàn)思路分析：本題處理方法比較靈活，要將幾個圖結(jié)合起來一起分析。解答過程：由（1）（2）兩個圖知，A與B，C，D相鄰，結(jié)合第（3）個圖知，B，C與F共頂點，所以A的對面為F，同理B，C的對面分別為D，E，故選擇B。解題后的思考：本題考查推理能力以及空間想象能力。也可先結(jié)合圖（1）（3）進行判斷。例5. 用長和寬分別是和的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，求圓柱的底面半徑？思路分析：要注意哪條邊是圓柱的母線，哪條邊是圓柱底面的圓周。解答過程：設(shè)圓柱底面圓的半徑為，由題意可知矩形長為底面圓的周長時，解得。矩形寬為底面圓的周長時，解得。故圓柱的底面半徑為或。解題后的思考：本題學(xué)生

8、經(jīng)常會丟解，即主觀認(rèn)為只有圖中所示的情況，即以作為底面周長，而忽視了它也可作為母線這種情況。知識點四 旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計算例6. 一個圓臺的母線長，兩底面面積分別為和，求：（1）圓臺的高；（2）截得此圓臺的圓錐的母線長。思路分析：通過作截得此圓臺的圓錐的軸截面，構(gòu)造直角三角形與相似三角形求解。解答過程：（1）作 （2）與相似解題后的思考：通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題。例7. 已知球的兩個平行截面的面積分別為和，且距離為3，求這個球的半徑。思路分析：兩截面的相互位置可能出現(xiàn)兩種情況，一種是在球心O的同側(cè)，另一種是在球心O的異側(cè)。解答過程：（1）當(dāng)兩截面在球心O的同側(cè)時，如圖所示

9、，設(shè)這兩個截面的半徑分別為，球心O到截面的距離分別為，球的半徑為R。又，即。又，解得又這種情況不成立。（2）當(dāng)兩截面在球心O的異側(cè)時，由上述解法可知，解得。綜上所述，這個球的半徑為3。解題后的思考：同學(xué)們要注意不要只對同側(cè)的情況進行討論，而忽略對另一種位置關(guān)系的討論。知識點五 畫幾何體的三視圖例8. 畫出如圖所示的三棱柱的三視圖。思路分析：在正視圖中，中間的豎線看不到，應(yīng)畫成虛線；側(cè)視圖是從左側(cè)看三棱柱投射到豎直的正對著的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一個側(cè)面，而應(yīng)該是過底面正三角形的一條高線的矩形。解答過程：解題后的思考：畫三視圖的時候要做到“長對正、寬相等、高平齊”，還要注意實線與虛線的

10、區(qū)別。知識點六 三視圖中的推測問題例9. 根據(jù)下列三視圖，說出各立體圖形的形狀。思路分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。正視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和正視圖共同反映物體的長相等。側(cè)視圖和俯視圖共同反映物體的寬相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。解答過程：（1）圓臺；（2）正四棱錐；（3）螺帽。解題后的思考：三視圖的畫法里要注意“長對正”，“高平齊”，“寬相等”，另外，還要熟悉基本空間幾何體的三視圖。七、直觀圖的還原與計算問題例10. 已知ABC是水平放置的邊長為的正三角形ABC的斜二測水平直觀圖，那么ABC的面積為_。思路分析

11、：先根據(jù)題意，畫出直觀圖，然后根據(jù)ABC直觀圖的邊長及夾角求解。解答過程：如圖甲、乙所示的實際圖與直觀圖。在圖乙中作CDAB于D，則。所以。故填。解題后的思考：該題求直觀圖的面積，因此應(yīng)在直觀圖中求解，需先求出直觀圖的底和高，然后用三角形面積公式求解。本題旨在考查同學(xué)們對直觀圖畫法的掌握情況。例11. 如圖所示，正方形OABC的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是_。思路分析：先根據(jù)題意，由直觀圖畫出原圖形解答過程：逆用斜二測畫法的規(guī)則畫出原圖如下圖所示，由BC/OA且BC=OA，易知OABC為平行四邊形。在上圖中，易求OB=，所以O(shè)B=。又OA=1，所以在RtBOA中

12、，。故原圖形的周長是，應(yīng)填。解題后的思考：該題考查的是直觀圖與原圖形之間的關(guān)系，及逆用斜二測畫法的規(guī)則。例12：已知正三棱臺（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面邊長分別是2cm與4cm，側(cè)棱長是cm，試求該三棱臺的體積。思路分析：利用棱臺的體積計算公式，求出棱臺的高，上、下底面的面積，代入公式即可。解答過程：如圖所示，、是上、下底面的中心，連結(jié)、，在平面內(nèi)作于。是邊長為2的等邊三角形，是中心，同理，則。在中，即棱臺高為cm。所以三棱臺的體積為（cm3）。解題后的思考：將求體積的立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，是立體幾何中的常用方法。例13：一個球內(nèi)有相距9cm

13、的兩個平行截面，它們的面積分別為49cm2和400cm2，求球的表面積和體積。思路分析：求球的表面積和體積關(guān)鍵是求出球的半徑，可考慮球的軸截面。解答過程：（1）當(dāng)截面在球心的同側(cè)時，如圖所示為球的軸截面。由球的截面性質(zhì)，知，且、分別為兩截面圓的圓心，則，。設(shè)球的半徑為。，。同理，。設(shè)，則。在中，在中，解得。，。（cm2），（cm3），球的表面積為2500cm2，體積為cm3。（2）當(dāng)截面位于球心的兩側(cè)時，如圖所示為球的軸截面。由球的截面性質(zhì)，知，且、分別為兩截面圓的圓心，則，。設(shè)球的半徑為。，。同理，。設(shè)，則。在中，。在中，解得，不合題意，舍去。綜上所述，球的表面積為2500cm2，體積為cm

14、3。解題后的思考：解題時要注意，球的截面可能位于球心的同側(cè)，也可能位于球心的兩側(cè)。 例14：求半徑為的球內(nèi)接正方體的表面積。思路分析：正方體內(nèi)接球時，球與正方體關(guān)系如圖（1），過不相鄰的兩條棱的平面截球，所得截面如圖（2），只有深刻理解其相互關(guān)系，才能畫出正確的截面圖進行解題。解答過程：如圖（1）所示，設(shè)正方體棱長為，為正方體的對角線，那么，。即正方體的表面積為。解題后的思考：組合體問題，尤其是球與其他幾何體的組合問題，一直是高考中的熱點，所以同學(xué)們在平時的解題中應(yīng)注意觀察，有關(guān)球的組合體中各圖形的位置關(guān)系。（答題時間：60分鐘）一、選擇題：1. 下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同

15、的是（ ）A. B. C. D. 2. 將正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)面為矩形的棱柱）截去三個角（如圖甲所示，A、B、C分別是GHI三邊的中點）得到幾何體如圖乙所示，則該幾何體按如圖所示方向的側(cè)視圖為（ ）3. 如果用表示一個立方體，用表示兩個立方體疊加，用表示三個立方體疊加，那么下圖中由7個正方體疊加而成的幾何體的正視圖是（ ）4. 下列說法正確的是（ ）A. 互相垂直的兩條直線的直觀圖一定是互相垂直的兩條直線B. 梯形的直觀圖可能是平行四邊形C. 矩形的直觀圖可能是梯形D. 正方形的直觀圖可能是平行四邊形5. 已知正三棱錐VABC的正視圖、俯視圖如圖所示，其中VA=4，AC=，則該三棱錐得

16、到側(cè)視圖的面積為（ ）A. 9 B. 6 C. D. 6. 若正方體的八個頂點中有四個恰好是正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是（ ）A. B. C. D. 二、填空題：6. 一個三角形用斜二測畫法畫出來是一個邊長為1的正三角形，則此三角形的面積是_7. 圓臺的兩底面半徑分別為2,5，母線長是，則其軸截面面積是 三、解答題：8. 畫出下列幾何體的三視圖：9. 如下圖所示，梯形是一平面圖形的直觀圖。若，。請畫出原來的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積.一、選擇題：1. D解析：正方體的三視圖都相同，而三棱臺的三視圖各不相同，正確答案為D。2. A3. B4. D解析：梯形的上、下底互相平行，但其在直觀圖中的長度不相等。5. C解析：由三視圖與原幾何體之間的關(guān)系可知此幾何體的側(cè)視圖不是一個等腰三角形，且此三角形的底邊長等于正三角形ABC的高線CF的長，其高的長度等于原幾何體的高。由所給數(shù)據(jù)易解得原幾何體的高為，CF=3，所以側(cè)視圖的面積