抽象函數(shù)-題型大全(例題-含答案)精編版

1、最新資料推薦高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)f(x)的問(wèn)題感到困難，學(xué)好這部分知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。現(xiàn) 將常見(jiàn)解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x),這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。x例 1：已知 f () =2x+1，求 f (x).x 1解：設(shè) _x_ = uUx=-u-. f(u)=2-u-+1=2uf(x)=2xx 11 -u1 -u 1 - u1 - x2.湊合法：在已知f(g(

2、x) =h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f(x).此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。1 Q 1例 2：已知 f(x+) = x +-,求 f(x) x x11 o 111 o11解：: f (x 十一)=(x+)(x 1 +。)=(x+)(x +一)一3)又. | x+|=| x| +至 1x xx x xx | x |23f(x) =x(x 3) =x 3x, (| x | 1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類(lèi)型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例 3.已知 f(x)二次實(shí)函數(shù)，且 f(x + 1)+ f(x1) = x2+2x+4

3、，求 f(x).解：設(shè) f (x) =ax2 +bx +c ,則 f(x+1) + f (x-1)=a(x+1)2 +b(x+1) + c + a(x-1)2 +b(x-1)+c2(a c) =42213= 2ax +2bx+2(a+c) =x +2x+4 比較系數(shù)得 2a =1= a=,b = 1,c = ，222b =21 23f (x) = 一 x x 一2 24.利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.例4.已知y = f (x)為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f (x) = lg(x +1)，求f (x)解：f (x)為奇函數(shù)，f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故先求x0,f (

4、-x) =lg( -x 1) =lg(1 -x),f(x)為奇函數(shù)，lg(1 x) = f (x) = f (x)，當(dāng) x0 時(shí) f (x) = lg(1 x)，lg(1 x),x .0f(x)=-lg(1-x),x ： 01例5.一已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且有f(x) + g(x) =,求f(x),g(x).x -1解：: f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，f (-x) = f (x), g(-x) = -g(x),1.，不妨用-x代換f(x) + g(x)=中的x,x-111 小-f ( -x) + g(x)=即 f (x) - g(x)= -x -1x 11x顯見(jiàn)+即可

5、消去g(x)，求出函數(shù)f (x) =1 再代入求出g(x)=Fx 1x 15.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出 f(x)的表達(dá)式例6：設(shè)f(x)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f(x+1)= f (x) + f (y) + xy,及f (1)=1,求f(x)解： f(x)的定義域?yàn)?N,取 y=1,則有 f(x+1)= f(x)+x+1 f(1)=1, f (2) = f(1)+2, f (3) = f (2)+3 f(n)= f(n1) + n以上各式相加，有 f(n) =1+2+3+ n = n(n+1)f (x) =1x(x + 1),xw N22二、利用函數(shù)性質(zhì)，解f(x)的

6、有關(guān)問(wèn)題1 .判斷函數(shù)的奇偶性：例7已知f(x + y)+f (x y)=2f (x)f (y),對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都成立，且f (0) # 0,求證f (x)為偶 函數(shù)。證明：令x=0,則已知等式變?yōu)?f (y) + f (y) =2f (0) f (y)在中令 y =0貝u 2 f(0) =2 f(0) f (0) w0. f (0)=1，f (y) + f(y) = 2f (y) f( y)= f (y)f (x)為偶函數(shù)。2 .確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)f (x)在定義域(-1,1)內(nèi)遞減，求滿足f(1 m)+f (1 m2) 0的實(shí)數(shù)m的取值范圍。222解：由 f (1 m) +

7、f (1 m ) 0 得 f (1 m) f (1 m ), ., f (x)為函數(shù)，/. f (1 - m) f (m -1)IT ： 1 -m ：二 1又 f (x)在(-1 , 1)內(nèi)遞減，1 m2 -1 1= 0 cm 12.1 -m m -13.解不定式的有關(guān)題目例 9：如果 f(x) = ax2+bx+c 對(duì)任意的 t有 f (2+t) = f2t),比較 f (15 f(2)、f (4)的大小解：對(duì)任意t有f (2+t) = f 2t)，x =2為拋物線y =ax2 + bx + c的對(duì)稱(chēng)軸又.其開(kāi)口向上，f(2)最小，f (1)= f (3) .在2, +8)上，f(x)為增函

8、數(shù) f (3) f (4), . f (2) f (1)0時(shí)，f (x) 0, f ( 1) = 2,求f (x)在區(qū)間2, 1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù) f (x)是用二無(wú)茶(尢H 0)的抽象函數(shù)，因此求函數(shù) f (x)的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)勤卬則#X】.當(dāng)需0時(shí)JCO0 . J(孫一河)0./)-/=力電-修) 口 即 丁優(yōu))/&1)，.- f (x)為增函數(shù)。在條件中，令y= x,則丁一/十,(一切，再令x=y= 0,則f(0)= 2 f(0),f(0)= 0,故 f ( x) = f (x) , f (x)為奇函數(shù)，f (1) =- f (1) = 2,又 f (

9、2) = 2 f (1) =4,f (x)的值域?yàn)?, 2。例2、已知函數(shù)f (x)對(duì)任意工，JE衣，滿足條件f (x) +f (y) =2 + f (x + y),且當(dāng)x0時(shí)，f(x) 2, f (3) = 5,求不等式- 2* - 2) 3 的解。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f (x)是丫 = *+ 2的抽象函數(shù)，且f (x)為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。解：設(shè)馬 , .當(dāng)時(shí)/2/5兩)2則八小)丁【(啊-馬)+覆 /(科-才+ 丁如)-2 2+JO)-2 ,了即/(心)/(G), f (x)為單調(diào)增函數(shù)。/=/(2+1) = / + /

10、-2 = /(D + / - 2 + 川)-2 = 3/(1)-4又 f (3) = 5,f (1) =3。一“-2)j - 2s-2 1 ,即_ 2 - 3 0 ,解得不等式的解為一1 a 0。解：(1)令丫=0代入/泛十月=/(編了8,則/熾)=/(/(0),，/口-/L。若f (x) =0,則對(duì)任意五1 f 有/)=/(心)= ,這與題設(shè)矛盾，f (x)W0, f (0) =1。(2)令 y= xw 0,則，)一丁 J5)一 - ,又由(1)知 f (x)半 0, f (2x) 0,即 f (x) 0,故對(duì)任意x, f (x) 0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f (x),使下列三個(gè)條件：f

11、(x)0,x e N;jG &)=/(白)-丁3 a,bE N .f (2) =4。同時(shí)成立？若存在，求出 f (x)的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在 / 7 ,又由f (2) =4可得a=2.故猜測(cè)存在函數(shù) 產(chǎn)=2; 用數(shù)學(xué)歸 納法證明如下：(1)x=1 時(shí)，./ 7(1 + D -/(D V(D-W- 4 ,又: x e N 時(shí),f (x) 0, /(Q-2-21, 結(jié)論正確。假設(shè)X =無(wú)，3之1且無(wú)e的時(shí)有/)=則x=k+ 1時(shí)JR + D = 出=2 2 = 2卬， x= k+ 1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)(工)=213、對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽

12、象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f (x)是定義在(0, +8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足 了(工村“方十)，=1 ,求：(1) f (1);(2)若f (x) + f (x 8) 2,求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè) f (x)是對(duì)數(shù)函數(shù) b宮孑兀的抽象函數(shù)，f (1) =0, f (9) =2。解：(1)+ /(1)=0。子 7c1 73 7=2 ,從而有 f (x) +f (x8) W f (9),即一怎1%/(9), f (x)是(0, +8)上的增函數(shù)，故最新資料推薦x(z-85 0產(chǎn)一名，解之得：8x0, a是定義域中的一個(gè)數(shù))；當(dāng) 0vxv 2a 時(shí)，f (x) 0。試

13、問(wèn)：(1) f (x)的奇偶性如何？說(shuō)明理由。(2)在(0, 4a)上，f (x)的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)知f (x)是y的抽象函數(shù)，從而由丁 = 一以8犬及題設(shè)條件猜想：f (x)是奇函數(shù)且霜在(0, 4a)上是增函數(shù)(這里把 a看成Z進(jìn)行猜想)。解：(i) . f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且 x卜電是定義域中的數(shù)時(shí)有石)一/(屯)，.勺一鼻)在定義域中。:.f (x)是奇函數(shù)。(0, 2a)上 f (x) 0,(2)設(shè) 0V xivx22a,則 0x2-xi2a, 在/值+i是 f (xi)f (xi) , f (x2), f (x2 xi)均小于零，進(jìn)而知”?)中的 f

14、(x2), .在(0, 2a)上 f (x)是增函數(shù)。f(a) = f(2a -a)又八了十1十1r=i, .，一心)，f(2a) = 0,設(shè) 2avxv4a,則 0V x- 2a0,即在(2a, 4a)上 f (x) 0。設(shè) 2axiX24a,則 0vx2xi2a,從而知 f (xi) , f(X2)均大于零。f(X2x。0, .,) ,即f (xi)v f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函數(shù)。綜上所述，f(x)在(0,4a)上是增函數(shù)。5、哥函數(shù)型抽象函數(shù)哥函數(shù)型抽象函數(shù)，即由募函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例 8、已知函數(shù) f (x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x、y 都有 f (xy) = f (

15、x) f (y),且 f (1) = 1, f (27) =9, 當(dāng)0 V k c 1時(shí)，/即)。(1)判斷f (x)的奇偶性；(2)判斷f (x)在0, +8)上的單調(diào)性，并給出證明；(3)若口之。且，S+D4的，求a的取值范圍。2分析：由題設(shè)可知f (x)是哥函數(shù)y = 的抽象函數(shù)，從而可猜想f(刈是偶函數(shù)，且在0, +8) 上是增函數(shù)。解：(1)令 y = 1,則 f ( x) = f (x) - f (1)，= f (1) = 1, f (x) = f (x) , f (x)為偶函數(shù)。(2)設(shè)U工均電，x2 ,如心,/ () 1。工1) +/3,求 f(3) , f(9)的值。解：取3

16、 ,得6) = /+,因?yàn)? ,所以5又取二O/(9) = /(3) + /(3)=-得_1、卡門(mén) 左 一+左43口/土V - 2 V- 3i/(2) -1, 7(6)=-評(píng)析：通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系， 巧妙地賦值，取芥一& y - ，這樣便把已知條件5與欲求的f(3)溝通了起來(lái)。賦值法是解此類(lèi)問(wèn)題的常用技巧。三、值域問(wèn)題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、v,+ #)總成立，且存在為W的，使得丁千 /,求函數(shù)“X)的值域。解：令x=T = ,得/ =/，即有/(0) =或40)= 1。若，(0) = 0 ,則/=/(1+0)=(工)八。)=0 ,對(duì)任意xR均成立， 這與存在

17、實(shí)數(shù) 與注的，使得 肛)，丁國(guó))成立矛盾，故H 0 ,必有40) = 1。由于/*+) =/)對(duì)任意小VER均成立，因此，對(duì)任意xaR ,有0下面來(lái)證明，對(duì)任意1 ,設(shè)存在見(jiàn)它R,使得/)=,則八)= 這與上面已證的7矛盾，因此，對(duì)任意X E凡/* 所以, 評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問(wèn)題T 1n I心/W+/C) = 1十工例5.設(shè)對(duì)滿足 A的所有實(shí)數(shù)x,函數(shù)J k 滿足X，求f(x)的解析式。解：在中以?代換其中X,得:ZA -1 A1再在（1）中以工-1代換X,得八一二7）十/二三|了-1x -1一+化簡(jiǎn)得：2M

18、1）評(píng)析：如果把X和 X 分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問(wèn)題例6.設(shè)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)X、Q時(shí)，/（用1,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)X、y,有?。ü?y）=/5）一/3 ,求證：在R上為增函數(shù)。證明：在用=力力/8）中取工=尸=0,得八。）=（0）產(chǎn)若/=0,令0。,則/=0,與/1矛盾所以八0）工0 ,即有八0）= 1當(dāng)。時(shí)，, 1 。；當(dāng)界口時(shí)，尤 0, /（r） o而一 一1/（x） = -一 0所以又當(dāng)X 一 0時(shí)，/（0）= 1 0所以對(duì)任意工三尺

19、，恒有?。ㄧ?0設(shè)一 80,/（為一町）1所以, ：. 一. .：一一一所以尸二/5）在r上為增函數(shù)。評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與 組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問(wèn)題 例7.已知函數(shù)w R X豐）對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù) 修、句都有了（巧,河）二（西）+/（工力，試 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。解：取x】=T電=1得：/（一1）二 了（一1）十八1）,所以,二。又取演二孫二T 得：，。）二（一1）+/（一1）,所以，（-1）=。再取勺二力電=-1則/（f ）*（-1）+，（犬），即，（-冗）=（方因?yàn)闉榉?/p>

20、零函數(shù)，所以?。ㄧ鶠榕己瘮?shù)。七、對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題例8.已知函數(shù) （克）滿足x）+/D = 202 ,求八十廣1（2002人的值解：已知式即在對(duì)稱(chēng)關(guān)系式 /g+x）+/gK）= 2中取4 = u,占=2加2，所以函數(shù)y=/（X）的圖象 關(guān)于點(diǎn)（0, 2002）對(duì)稱(chēng)。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù) 刀二1a）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2002, 0）對(duì) 稱(chēng)。所以.： 將上式中的x用舞-1叩1代換，得+廣1（2002 -渝二0評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)產(chǎn)二/0）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足/Q+幻+（5工）=2,則函數(shù)產(chǎn)=（*）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a, b）成中心

21、 對(duì)稱(chēng)圖形。 八、網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題例9.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,總有陽(yáng)+劃=/（幽）/，且當(dāng)x0時(shí)，0f（x）1 , （1）判斷f（x）的單調(diào)性；設(shè)工=（工，#|）夕）呂=5, 工一廠+在）=1, 口e號(hào)，若加方=0,試確定a的取值范圍。解：（1）在/配+附）=八J中，令犀=1，盟=U,得）=因?yàn)?0,所以/ 在/伽+） = /（ 中，令颼=X,I因?yàn)楫?dāng)X 口時(shí)，。/工）1所以當(dāng)左0時(shí)一方0, 0 /（-五）1而一,111所以 1 0又當(dāng)x=0時(shí)，）= 1 0,所以，綜上可知，對(duì)于任意-00 +000 /(x2 - xj 0時(shí),f (x) 0, f (1) =2,求 f (

22、x)在2, 1上的值域。解：設(shè) x1 :二 x2且 x1, x2 w R ,則 x2 xi 0 ,由條件當(dāng)x A0時(shí)，f (x) 0.f (x2 -x1)0又 f&) = f(x2 - xi) xi=f (x2 -x1) f (x1)f (xi)二f (x)為增函數(shù)，令 y = -x,則 f (0) = f (x) + f (-x)又令x = y = 0得 f (0) =0二 f (-x) = -f (x),故f (x)為奇函數(shù)，J. f (1) =f(1)=2, f (2)=2f (1) = 4二刈在,1上的值域?yàn)?, 2二.求參數(shù)范圍這類(lèi)參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇

23、偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“ f ”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3 已知f (x)是定義在(-1, 1 )上的偶函數(shù)，且在(0 , 1 )上為增函數(shù)，滿足2f (a 2) f (4 a ) 0,試確定a的取值范圍。解：v f(x)是偶函數(shù)，且在(0, 1)上是增函數(shù)，f (x)在(-1, 0)上是減函數(shù),-1 ： a - 2 ： 1 , 由付 V3 a 45 。-1 ：4-a2 1(1)當(dāng) a = 2時(shí)，f (a -2) = f (4-a2) = f (0),不等式不成立。(2)當(dāng) J3 a 2 時(shí)，f (a -2):二 f (4 -a2)-1 a-2

24、a - 4解之得，, 3 :二a :二2(3)當(dāng) 2 a J5 時(shí)，f (a -2):二 f (4 -a2)0 a-2 1一 .2、一 2.=f (a - 4)0 ： a -4-1-2, - 2 a -4解之得，2 ：二a 一 5綜上所述，所求a的取值范圍是(J3, 2)U(2, 積。例4已知f(x)是定義在(-0% 1上的減函數(shù)，若f (m2sinx) E f (m + 1+cos2 x)對(duì)xR恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。最新資料推薦2 2.八m sinx 3解：;/m十1十cos2 x m + 1 +cos x2m -sin x 3對(duì)x w R恒成立y W 22m - sin x m 1

25、cos x對(duì)x W R恒成立u2 2m -3 sinx“2.21x2.5m m1 之sinx+cos x =(sinx) 十 一2274對(duì)x W R恒成立，m2 -3 -L4.-.2 m 0 時(shí)，f (x)2 ,2f (3) =5,求不等式f(a 2a2) 3的解集。解：設(shè) x1、x2 R R 且 x1 2 ,即 f (x2 x1) 2 0 ,f (x2) = f (x2 -x1)x1=f (x2 -x1) f (x1)-2 f(x1) f(x2) f (x1)故f (x)為增函數(shù)，又 f (3) = f (2 1) = f (2) f (1) - 2 = 3f (1) - 4 =5最新資料推

26、薦. f(1) =3-2 一 一 一一二 f (a -2a -2) 3= f (1),即a2 -2a -2 1-1 ： a : 3因此不等式f (a2 2a2) 3的解集為a|1a3。4 .證明某些問(wèn)題例6 設(shè)f (x)定義在R上且對(duì)任意的x有f(x) = f(x + 1) f (x + 2),求證：f(x)是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。分析：這同樣是沒(méi)有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出f(x+T) = f(x) (T為非零常數(shù))則f(x)為周期函數(shù)，且周期為 T證明：. f (x) = f (x 1) f (x 2)(1).f (x 1) = f (x

27、 2) 一 f (x 3)(2)(1) +(2)得 f (x) = -f(x+3)(3)由(3)得 f (x 3) = -f (x 6)(4)由(3)和(4)得 f (x) = f (x +6)。上式對(duì)任意xWR都成立，因此f (x)是周期函數(shù)，且周期為 6。例 7 已知 f (x)對(duì)一切 x, y ,滿足 f (0) #0, f(x + y) = f (x)，f (y),且當(dāng) x 1 ,求證：(1) x0時(shí)，0f(x)0,則x 1 ,而 f (0) -f(x) f(-x) =1f ( -x)=- 1f(x)A 0 f ( x) 1 ,設(shè) x1, x2 w R 且 x1 x2,最新資料推薦則

28、0 c f (x2 x1) f(X2),即f (X)為減函數(shù)。5 .綜合問(wèn)題求解抽象函數(shù)的綜合問(wèn)題一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“f ”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f ”。例8 設(shè)函數(shù)y=f(X)定義在 R上，當(dāng)XA0時(shí)，f (x) i ,且對(duì)任意m, n,有 f (m +n) = f (m) f (n),當(dāng) m #n 時(shí) f (m) = f (n)。(i)證明 f (0) = i ;(2)證明：f (X)在R上是增函數(shù)；(3)設(shè) A = (x, y)|f (X2) f

29、 (y2) f(i)LB =( x, y)| f (ax+by+c) = i, a, b, cw R, a = 0,若 a1b = 0,求 a, b, c 滿足的條件。解：(i)令 m = n = 0 得 f (0 = f (0 f (0 ,二 f (0) =0或 f(0) =i。若 f (0) =0,當(dāng) m #0 時(shí)，有 frm +0)= fm) -f (0),這與當(dāng) m#n 時(shí)，f (m) # f(n)矛盾，, f (0) = i。(2)設(shè) x1 0 ,由已知得 f (x2- x1) i ,因?yàn)閤i0 , f(x) i ,若 x1 0, f (Xi) Ai,由 f(0) = fx()if

30、(-Xi)f (Xi)=f(-Xi)f (X2) = f(X2 -Xi) f(Xi) f (Xi) 二f(x)在R上為增函數(shù)。(3)由 f (x2) f (y2) f(1Hx2 + y2 1 ()由 f (ax + by + c) = 1 得 ax + by +c = 0從(1)、(2)中消去 y得(a2 + b2)x2 +2acx + c2 b2 0 ,因?yàn)?aB =0， = (2ac)2-4(a2+b2)(cb - 2) 0,(1)試判斷f (x)的奇偶性;(2)判斷f (x)的單調(diào)性;n2 +31 +1) f(2)。解：(1)對(duì)條件中的x, y,令x=y = 0,再令y = x可得f (

31、0)f (0) = f (0)f (0) = 0f (xf (-x) =0 f (-x) = - f ()x,所以f (x)是奇函數(shù)。(2)設(shè)1 Cx1 x2 0,貝U fx：) 1 - fx(x1 一 x2zia fifE).1.1.(3)求證 f(_) + f()+ f(511分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求 和的綜合題。: x1 x2 0, 0 x1x2 1 ,x一包 0 ,從而有 f (x1)- f (x2) 0,即 f (x1) f (x2),1 一 x1x21 - x1x2故f(x)在(-1, 0)上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知

32、，f (x)在(0, 1)上仍是單調(diào)減函數(shù)。(3) ; f(2n 3n 1f(n 1)(n 2) -1)1-1一)(一) n - 1 n 2f()f(-1f()-f(n+2)511.f(g)+f/)+ f(2n 3n 11111f(;) f(R + f(%) f(二)十十 f( 23341 )一)11f (-) - f ()2 n 21.1。二：二1, . f()：二0n 2n 21f(-) - f(211)f(-)21，二 f +f () + f(-511n2 3n 1.1)f(2)O抽象函數(shù)問(wèn)題分類(lèi)解析我們將沒(méi)有明確給出解析式的函數(shù)稱(chēng)為抽象函數(shù)。近年來(lái)抽象函數(shù)問(wèn)題頻頻出現(xiàn)于各類(lèi)考試題中,

33、于這類(lèi)問(wèn)題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無(wú)從下手。本文試圖通過(guò)實(shí)例作分類(lèi)解析， 學(xué)習(xí)參考。1.求定義域這一特性，問(wèn)這類(lèi)問(wèn)題只要緊緊抓住：將函數(shù) fg(x)中的g(x)看作一個(gè)整體，相當(dāng)于 f(x)中的x題就會(huì)迎刃而解。例1.函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)?-, 1,則函數(shù)y = flog2(x2-2)的定義域是 。分析：因?yàn)?0g2 x22)相當(dāng)于f(x)中的x,所以log2 x2 -2)1 ,解得v2 x W2或2Ex J，。1例2.已知f(x)的定義域?yàn)?0, 1),則y = f(x + a)+f(xa)(|a|E)的定義域是 一2 分析：因?yàn)閤+a及x-a均相當(dāng)于f(x)中

34、的x,所以0 ：二 x a ： 1 Ira : x ： 1 - a0 x - a 1 a :二 x 1 a1 .(1) 當(dāng)一一 Wa W0時(shí)，則 x= (a, 1+a)2、，一1(2) 當(dāng) 0 a M 一 時(shí)，則 x 匚(a, 1 - a)22. 判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求 f (x)與f(x)的關(guān)系。例3.已知f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y滿足fx y)= fX) + f (y ,求證：f(x)是偶函數(shù)。分析：在 fX y) = fx()十 f (y 中，令 x = y =1 ,得 f (1) = f (1) f(1)= f(1) =0令 x=y=_1,得

35、f(1) = f (_1)+ f (_1)= f(1)=0于是 fx：- ) = f(-1 x) f (一1) f (x)= f (x)故f (x)是偶函數(shù)。例4.若函數(shù)y = f(xf() x #0)與丫 = f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求證：函數(shù)y = f (x)是偶函數(shù)。證明：設(shè)y = f (x)圖象上任意一點(diǎn)為 P ( % , y0): y = f (x與y = f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P(x0, y0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(x0, -y0)在y = f(x)的圖象上，-y0 = - f (-x0)V。= f (-xO)又 y = f (x0).f (-x0) = fx 0)即對(duì)于

36、函數(shù)定義域上的任意x都有f (-x) = f (x),所以y = f (x)是偶函數(shù)。3. 判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問(wèn)題迅速獲解。例5.如果奇函數(shù)f (x)在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)且有最小值為5,那么f(x)在區(qū)間-7, -3上是A.增函數(shù)且最小值為 -5B.增函數(shù)且最大值為 -5C.減函數(shù)且最小值為 -5D.減函數(shù)且最大值為 -5分析：畫(huà)出滿足題意的示意圖1,易知選B。最新資料推薦例6.已知偶函數(shù)f(x)在(0, +8)上是減函數(shù)，問(wèn)f(x)在 S, 0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明 你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知f(x)在,0)上是增函數(shù)

37、，證明如下:任取 xx ： 2 :二 0=-x15-x2 . 0因?yàn)閒 (x)在(0,十口)上是減函數(shù)，所以f (_x1) f (_x2)。又f (x)是偶函數(shù)，所以f(-xi)=f(xf),(-x2)=f(x2),從而f (x) f (x2),故f(x)在(q, 0)上是增函數(shù)。4 .探求周期性這類(lèi)問(wèn)題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過(guò)類(lèi)似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過(guò)對(duì)函數(shù)原型的分 析或賦值迭代，獲得問(wèn)題的解。例7.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的x, y有_ c i ,4 1f (x+y) + f(xy)=2f (x)(f y),并存在正實(shí)數(shù)c,使f()=0。試問(wèn)f (x)是否為周期

38、函數(shù)？若是， 2求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：y=cosx滿足題設(shè)條件，且cos = 0猜測(cè)f (x)2是以2c為周期的周期函數(shù)。ccc cc cf(x -) 2 f(x 2)-2=2f(x -)f(2)=0f (x c) = -f (x)f (x 2c) = -f (x c) = f (x)故f (x)是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。5 .求函數(shù)值緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問(wèn)題巧妙獲解。例8.已知f(x)的定義域?yàn)镽+,且fxy + )= fX ) + fy()

39、對(duì)一切正實(shí)數(shù)x, y都成立，若f(8) = 4,貝U f (2) =。分析：在條件fxy +戶fx( ) +fy：)中，令x = y = 4,得f(8) = f(4)+f(4)=2f(4)=4,.f(4) =2又令x = y = 2,得 f (4) = f(2) + f(2) = 2,. f(2) =1例9.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f(x+2)1 f(x) = 1 + f (x),f =1997 ,求 f (2001)的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f (x)是周期函數(shù)，顯然 f (x)。1,于是f(x 2)=1 f (x)1 - f (x)f(x 4)=1 f (x

40、 2)1 - f (x 2)1 . 1f (x)1 - f (x)1 1 f (x)1 - f (x)所以 f (x 8)=1f (x 4)= f(x)故f (x)是以8為周期的周期函數(shù)，從而f (2001) =f (8 250 1) = f(1)= 19976 .比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問(wèn)題獲解。例10.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，x0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，若x1 0 , x2 A 0 ,且|x1|x2| ,貝U f(x1)，f(x2)的大小關(guān)系是 分析：v x1 0, x2 A0且 |x1|x2| ,0 ,二

41、-x1 :二 x2 二 -x2 :二 x1 : 0又x fk( 2 sinjx 恒成立，求 k 的值。分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得k2 - sin2 x _ 1k -sinx m k2 -sin2 xk 2 22k (sinx-)(2)442由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切x R R恒成立，則有-22k-(1sinx)min=19119k-k-(sinx-)max429 . 研究函數(shù)的圖象這類(lèi)問(wèn)題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例13.若函數(shù)y = f (x+2)是偶函數(shù)，則y = f (x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。左移2個(gè)單位右移2個(gè)單位分析：y = f(x)的圖象y = f(x+2

42、)的圖象，而y= f(x+2)是偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸是x=0,故y = f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是x = 2。例14.若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0, 1),則f (x +4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)分析：f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0, 1),從而f(x+4)的圖象過(guò)點(diǎn)(-4, 1),由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，f (x+4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn) (1, 4)。10 .求解析式例15.設(shè)函數(shù)f (x)存在反函數(shù)，g(x = f(X , h(x與g(x)的圖象關(guān)于直線x+y = 0對(duì)稱(chēng)，則函數(shù) h(x)=a. -f (x) B. -f(-x) C. - f(x) D. - f(-x)分析：要求y =h(x)的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求 y=h(x)圖象上任一點(diǎn) Px 0, y0)的橫、縱坐標(biāo)之間的 關(guān)系。點(diǎn)Px0, y0)關(guān)于直線y = x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-y0, -x0)適合y = f(x),即x0 =g( y0)。又 gx ) = f A(x),1-x0 = f (-y)= -y0 = f (-x)= y =-f (-x0)即 h(x = _f (-x),選 Bo抽象函數(shù)的周期問(wèn)題2001年高考數(shù)學(xué)(文科)第 22題：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)。對(duì)1任息 x1, x2 可0,與都有 f(xx + 2)= f (xf)() x2 。2