高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用電子教案（第二版）（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系）ch(4)

1、編輯ppt第八節(jié)第八節(jié) 泰勒公式泰勒公式編輯ppt本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)引入具有本節(jié)引入具有 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的泰勒展開(kāi)式階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的泰勒展開(kāi)式, 并給并給1n出相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng)和佩亞諾型余項(xiàng)出相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng)和佩亞諾型余項(xiàng). 利用利用 階的階的n泰勒公式給出函數(shù)在特定點(diǎn)的近似估計(jì)泰勒公式給出函數(shù)在特定點(diǎn)的近似估計(jì). 編輯ppt 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理, 若若 并且當(dāng)并且當(dāng) 很小很小00,fxx0d,yyfxx 或或:000,f xxf xfxx 上式是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)一個(gè)函數(shù)上式是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)一個(gè)函數(shù), 但缺點(diǎn)是但缺點(diǎn)是時(shí)時(shí), 有有不能具體估計(jì)誤差的大小不

2、能具體估計(jì)誤差的大小, 并且在近似估計(jì)時(shí)精度不夠并且在近似估計(jì)時(shí)精度不夠高高. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出編輯ppt 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在含在含 的開(kāi)區(qū)間內(nèi)有直到的開(kāi)區(qū)間內(nèi)有直到 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), f x0 x1n 來(lái)近似表示來(lái)近似表示 并給出誤差的具體表達(dá)式并給出誤差的具體表達(dá)式. f x 為了使所求出的多項(xiàng)式與函數(shù)為了使所求出的多項(xiàng)式與函數(shù) 在數(shù)值與性質(zhì)方在數(shù)值與性質(zhì)方 f x面吻合得更好面吻合得更好, 進(jìn)一步要求進(jìn)一步要求 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的函數(shù)值以處的函數(shù)值以 nP x0 x以及它的以及它的 階導(dǎo)數(shù)值與階導(dǎo)數(shù)值與 在在 處的函數(shù)值以及它的處的函數(shù)值以及它的 n f x0 x2010200nnnPaax

3、xaxxaxx 0 xx我們的目的是用一個(gè)關(guān)于我們的目的是用一個(gè)關(guān)于 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式n階導(dǎo)數(shù)值分別相等階導(dǎo)數(shù)值分別相等. 即即編輯ppt 00 0,1,.kknPxfxkn 01 0,1,.!kkafxknk因因 10!112knkkPxk akk kaxx將將 代入上式代入上式, 得得0 xx于是有于是有011,n knn nnkaxx 編輯ppt 2000002!nfxPxf xfxxxxx（2.20） 00 .!nnfxxxn由于由于 的系數(shù)由的系數(shù)由 確定確定, 故稱（故稱（2.20）式為）式為 的的( )nP xf( )f xn階泰勒多項(xiàng)式階泰勒多項(xiàng)式. 問(wèn)題是問(wèn)題是: 能不能用能

4、不能用 來(lái)近似表達(dá)來(lái)近似表達(dá)( )nP x( ),f x它們的誤差它們的誤差 ( )nf xPx又將是什么又將是什么? 下面的定理將回答這個(gè)問(wèn)題下面的定理將回答這個(gè)問(wèn)題.編輯ppt泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 在含在含 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間的某個(gè)開(kāi)區(qū)間 f x0 x, a b內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 那么對(duì)于那么對(duì)于1n 2000002!fxf xf xfxxxxx（2.21） 00,!nnnfxxxRxn,xa b有有其中其中 110,1 !nnnfRxxxn（2.22）編輯ppt這里這里, 是是 與與 之間的某個(gè)值之間的某個(gè)值.0 xx（詳細(xì)證明留在本節(jié)最后）（詳細(xì)證明留

5、在本節(jié)最后） 編輯ppt注注 公式（公式（2.21）稱為）稱為 在在 處關(guān)于處關(guān)于 的的 階階 f x0 x0 xxn 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 泰勒公式即為拉格朗日中值公式泰勒公式即為拉格朗日中值公式:0n 00.f xf xfxx所以所以, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.泰勒公式泰勒公式, 而公式中右端的最后一項(xiàng)而公式中右端的最后一項(xiàng) 110,1 !nnnfRxxxn稱為泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)稱為泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng), 而公式（而公式（2.21）稱為）稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式.編輯ppt 分析分析 用用 的泰勒多項(xiàng)式

6、近似表示的泰勒多項(xiàng)式近似表示 時(shí)時(shí), 其誤其誤 f x f x 1,nfxM 11100.1 !1 !nnnnfMRxxxxxnn（2.24）在公式（在公式（2.21）中）中, 取取 若記若記 01 ,x0,x ,nRx, n,xa b差為差為 如果對(duì)于某個(gè)固定的如果對(duì)于某個(gè)固定的 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 則有則有相應(yīng)的泰勒公式具有比較簡(jiǎn)單的形式相應(yīng)的泰勒公式具有比較簡(jiǎn)單的形式:編輯ppt 20002!ff xffxx 0,!nnnfxRxn（2.25）其中其中 11 01 .1 !nnnfxRxxn編輯ppt由此得到近似計(jì)算公式由此得到近似計(jì)算公式:上式的右端稱為函數(shù)上式的右端稱為函數(shù) 的的 階階麥克

7、勞林多項(xiàng)式麥克勞林多項(xiàng)式. 而相而相 f xn 20002!ff xffxx 1.1 !nnMRxxn（2.26）應(yīng)的誤差估計(jì)式（應(yīng)的誤差估計(jì)式（2.24）應(yīng)變?yōu)闉椋?yīng)變?yōu)闉?0.!nnfxn編輯ppt例例2.49 求出函數(shù)求出函數(shù) exf x 的的 階麥克勞林展開(kāi)式階麥克勞林展開(kāi)式.n解解 因因 e ,nxf xfxfxfx所以所以: 00001,nffff代入（代入（2.25）式）式, 得得2111ee1 01 .2!1 !xxnnxxxxnn 因而相應(yīng)的近似表達(dá)式為因而相應(yīng)的近似表達(dá)式為211e1.2!xnxxxn 編輯ppt相應(yīng)的誤差估計(jì)式為相應(yīng)的誤差估計(jì)式為 11ee, 01 .1

8、!1 !xnnnxRxxxnn11e 1 1. 2!n 1,x 如果取如果取 即得到即得到 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式:e其誤差為其誤差為33.1 !1 !nRnn編輯ppt例例2.50 求出函數(shù)求出函數(shù) sinf xx的的 階麥克勞林展開(kāi)式階麥克勞林展開(kāi)式.n解解 因因 sin 0,1,2,2nfxxnn所以所以 0 2 ,00,1,2,1 21,nmnmfmnm由公式（由公式（2.26）得）得編輯ppt 135212111sin,3!5!21 !mmmxxxxxRxm其中其中 212sin212 01 .21 !mmxmRxxm如果用如果用 用它的用它的 階階 麥克勞林多項(xiàng)式近麥克勞林多項(xiàng)式

9、近 sin xn2nm似表示為似表示為編輯ppt相應(yīng)的誤差分別為相應(yīng)的誤差分別為 2121.21 !mmRxxm13521111sin,3!5!21 !mmxxxxxm編輯ppt 利用利用Mathematica可以做出函數(shù)可以做出函數(shù) 與其近似多與其近似多sinyx項(xiàng)式的圖形項(xiàng)式的圖形. 從圖中可以看到從圖中可以看到, 與其近似多項(xiàng)與其近似多項(xiàng)sinyx42345432742-2-1.5-1-0.50.511.52 nP xn式式 隨著隨著 的增大而越來(lái)越貼近的增大而越來(lái)越貼近.編輯ppt 常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式: 24221111cos1,2!4!2!mmmxxxx

10、Rxm 其中其中 2221cos1.22 !mmxmRxxm編輯ppt 123111ln 1,23nnnxxxxxRxn其中其中 111.1 1nnnnRxxnx編輯ppt 2111112!nnxxxxn 其中其中 11111.1 !nnnnnRxxxn ,nRx編輯ppt 因當(dāng)因當(dāng) 時(shí)時(shí), 余項(xiàng)余項(xiàng) 是比是比 高階的無(wú)高階的無(wú)0 xx 0 nnRxxx從而（從而（2.21）式改變?yōu)椋┦礁淖優(yōu)?2000002!fxf xf xfxxxxx（2.27）稱為帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式）稱為帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式. 窮小窮小, 即即 000,!nnnfxxxoxxn 0,nnRxoxx（2.27

11、）編輯ppt例例2.51 寫(xiě)出函數(shù)寫(xiě)出函數(shù)( )tanf xx的的3階帶有佩亞諾余項(xiàng)階帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式的麥克勞林公式.解解 因因 22( )sec,2sectan ,fxx fxxx 2244sectan2sec,fxxxx即有即有: 00,(0)1,00,02,ffff代入公式代入公式編輯ppt331tan.3xxxo x 2330000,2!3!fff xffxxxo x即即:編輯ppt 泰勒中值定理證明泰勒中值定理證明. 僅對(duì)僅對(duì) 進(jìn)行證明進(jìn)行證明, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)證明完全相同時(shí)證明完全相同.1n 1n 證證 記記 00020,/2!f xf xfxxxQ xxx即即 20000,2!Q xf xf xfxxxxx將上式與（將上式與（2.23）式比較可知）式比較可知, 只要證明存在介于只要證明存在介于 與與x0 x之間的某數(shù)之