高等數(shù)學及其應用電子教案（第二版）（同濟大學數(shù)學系）ch(4)VIP

1、編輯ppt第八節(jié)第八節(jié) 泰勒公式泰勒公式編輯ppt本節(jié)要點本節(jié)要點 本節(jié)引入具有本節(jié)引入具有 階導數(shù)的函數(shù)的泰勒展開式階導數(shù)的函數(shù)的泰勒展開式, 并給并給1n出相應的拉格朗日型余項和佩亞諾型余項出相應的拉格朗日型余項和佩亞諾型余項. 利用利用 階的階的n泰勒公式給出函數(shù)在特定點的近似估計泰勒公式給出函數(shù)在特定點的近似估計. 編輯ppt 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理, 若若 并且當并且當 很小很小00,fxx0d,yyfxx 或或:000,f xxf xfxx 上式是用一次多項式來近似表達一個函數(shù)上式是用一次多項式來近似表達一個函數(shù), 但缺點是但缺點是時時, 有有不能具體估計誤差的大小不

2、能具體估計誤差的大小, 并且在近似估計時精度不夠并且在近似估計時精度不夠高高. 問題的提出問題的提出編輯ppt 設函數(shù)設函數(shù) 在含在含 的開區(qū)間內有直到的開區(qū)間內有直到 階導數(shù)階導數(shù), f x0 x1n 來近似表示來近似表示 并給出誤差的具體表達式并給出誤差的具體表達式. f x 為了使所求出的多項式與函數(shù)為了使所求出的多項式與函數(shù) 在數(shù)值與性質方在數(shù)值與性質方 f x面吻合得更好面吻合得更好, 進一步要求進一步要求 在點在點 處的函數(shù)值以處的函數(shù)值以 nP x0 x以及它的以及它的 階導數(shù)值與階導數(shù)值與 在在 處的函數(shù)值以及它的處的函數(shù)值以及它的 n f x0 x2010200nnnPaax

3、xaxxaxx 0 xx我們的目的是用一個關于我們的目的是用一個關于 的多項式的多項式n階導數(shù)值分別相等階導數(shù)值分別相等. 即即編輯ppt 00 0,1,.kknPxfxkn 01 0,1,.!kkafxknk因因 10!112knkkPxk akk kaxx將將 代入上式代入上式, 得得0 xx于是有于是有011,n knn nnkaxx 編輯ppt 2000002!nfxPxf xfxxxxx（2.20） 00 .!nnfxxxn由于由于 的系數(shù)由的系數(shù)由 確定確定, 故稱（故稱（2.20）式為）式為 的的( )nP xf( )f xn階泰勒多項式階泰勒多項式. 問題是問題是: 能不能用能

4、不能用 來近似表達來近似表達( )nP x( ),f x它們的誤差它們的誤差 ( )nf xPx又將是什么又將是什么? 下面的定理將回答這個問題下面的定理將回答這個問題.編輯ppt泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 在含在含 的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間 f x0 x, a b內具有直到內具有直到 階導數(shù)階導數(shù), 那么對于那么對于1n 2000002!fxf xf xfxxxxx（2.21） 00,!nnnfxxxRxn,xa b有有其中其中 110,1 !nnnfRxxxn（2.22）編輯ppt這里這里, 是是 與與 之間的某個值之間的某個值.0 xx（詳細證明留在本節(jié)最后）（詳細證明留

5、在本節(jié)最后） 編輯ppt注注 公式（公式（2.21）稱為）稱為 在在 處關于處關于 的的 階階 f x0 x0 xxn 當當 時時, 泰勒公式即為拉格朗日中值公式泰勒公式即為拉格朗日中值公式:0n 00.f xf xfxx所以所以, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.泰勒公式泰勒公式, 而公式中右端的最后一項而公式中右端的最后一項 110,1 !nnnfRxxxn稱為泰勒公式的拉格朗日型余項稱為泰勒公式的拉格朗日型余項, 而公式（而公式（2.21）稱為）稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式帶有拉格朗日型余項的泰勒公式.編輯ppt 分析分析 用用 的泰勒多項式

6、近似表示的泰勒多項式近似表示 時時, 其誤其誤 f x f x 1,nfxM 11100.1 !1 !nnnnfMRxxxxxnn（2.24）在公式（在公式（2.21）中）中, 取取 若記若記 01 ,x0,x ,nRx, n,xa b差為差為 如果對于某個固定的如果對于某個固定的 當當 時時, 則有則有相應的泰勒公式具有比較簡單的形式相應的泰勒公式具有比較簡單的形式:編輯ppt 20002!ff xffxx 0,!nnnfxRxn（2.25）其中其中 11 01 .1 !nnnfxRxxn編輯ppt由此得到近似計算公式由此得到近似計算公式:上式的右端稱為函數(shù)上式的右端稱為函數(shù) 的的 階階麥克

7、勞林多項式麥克勞林多項式. 而相而相 f xn 20002!ff xffxx 1.1 !nnMRxxn（2.26）應的誤差估計式（應的誤差估計式（2.24）應變?yōu)闉椋優(yōu)闉?0.!nnfxn編輯ppt例例2.49 求出函數(shù)求出函數(shù) exf x 的的 階麥克勞林展開式階麥克勞林展開式.n解解 因因 e ,nxf xfxfxfx所以所以: 00001,nffff代入（代入（2.25）式）式, 得得2111ee1 01 .2!1 !xxnnxxxxnn 因而相應的近似表達式為因而相應的近似表達式為211e1.2!xnxxxn 編輯ppt相應的誤差估計式為相應的誤差估計式為 11ee, 01 .1

8、!1 !xnnnxRxxxnn11e 1 1. 2!n 1,x 如果取如果取 即得到即得到 的近似表達式的近似表達式:e其誤差為其誤差為33.1 !1 !nRnn編輯ppt例例2.50 求出函數(shù)求出函數(shù) sinf xx的的 階麥克勞林展開式階麥克勞林展開式.n解解 因因 sin 0,1,2,2nfxxnn所以所以 0 2 ,00,1,2,1 21,nmnmfmnm由公式（由公式（2.26）得）得編輯ppt 135212111sin,3!5!21 !mmmxxxxxRxm其中其中 212sin212 01 .21 !mmxmRxxm如果用如果用 用它的用它的 階階 麥克勞林多項式近麥克勞林多項式

9、近 sin xn2nm似表示為似表示為編輯ppt相應的誤差分別為相應的誤差分別為 2121.21 !mmRxxm13521111sin,3!5!21 !mmxxxxxm編輯ppt 利用利用Mathematica可以做出函數(shù)可以做出函數(shù) 與其近似多與其近似多sinyx項式的圖形項式的圖形. 從圖中可以看到從圖中可以看到, 與其近似多項與其近似多項sinyx42345432742-2-1.5-1-0.50.511.52 nP xn式式 隨著隨著 的增大而越來越貼近的增大而越來越貼近.編輯ppt 常見函數(shù)的麥克勞林展開式常見函數(shù)的麥克勞林展開式: 24221111cos1,2!4!2!mmmxxxx

10、Rxm 其中其中 2221cos1.22 !mmxmRxxm編輯ppt 123111ln 1,23nnnxxxxxRxn其中其中 111.1 1nnnnRxxnx編輯ppt 2111112!nnxxxxn 其中其中 11111.1 !nnnnnRxxxn ,nRx編輯ppt 因當因當 時時, 余項余項 是比是比 高階的無高階的無0 xx 0 nnRxxx從而（從而（2.21）式改變?yōu)椋┦礁淖優(yōu)?2000002!fxf xf xfxxxxx（2.27）稱為帶佩亞諾型余項的泰勒展開式）稱為帶佩亞諾型余項的泰勒展開式. 窮小窮小, 即即 000,!nnnfxxxoxxn 0,nnRxoxx（2.27

11、）編輯ppt例例2.51 寫出函數(shù)寫出函數(shù)( )tanf xx的的3階帶有佩亞諾余項階帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式的麥克勞林公式.解解 因因 22( )sec,2sectan ,fxx fxxx 2244sectan2sec,fxxxx即有即有: 00,(0)1,00,02,ffff代入公式代入公式編輯ppt331tan.3xxxo x 2330000,2!3!fff xffxxxo x即即:編輯ppt 泰勒中值定理證明泰勒中值定理證明. 僅對僅對 進行證明進行證明, 當當 時證明完全相同時證明完全相同.1n 1n 證證 記記 00020,/2!f xf xfxxxQ xxx即即 20000,2!Q xf xf xfxxxxx將上式與（將上式與（2.23）式比較可知）式比較可知, 只要證明存在介于只要證明存在介于 與與x0 x之間的某數(shù)之