高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(一)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）考研數(shù)學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹?shù)膶Υ龜?shù)學的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學畢竟不是數(shù)學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍?，F(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。1）常用的極限，【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程

2、中都再熟悉不過了，但有沒有人想過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限與的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技巧。證明：由極限兩邊同時取對數(shù)即得。：在等式中，令，則。由于極限過程是，此時也有，因此有。極限的值與取極限的符號是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的換成，再取倒數(shù)即得。：利用對數(shù)恒等式得，再利用第二個極限可得。因此有。：利用對數(shù)恒等式得上式中同時用到了第一個和第二個極限。：利用倍角公式得。2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則【點評】：這幾個求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關(guān)的概念，避免

3、到復(fù)習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則設(shè)，如果在處可導(dǎo)，且在對應(yīng)的處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：【點評】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點處可導(dǎo)且，并令其反函數(shù)為，且所對應(yīng)的的值為，則有：【點評】：同上。5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， ，【點評】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導(dǎo)數(shù)的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：導(dǎo)數(shù)的定義是，代入該公式得。最后一步用到了極限。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于的情形。的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡單，留給大家。：利用導(dǎo)數(shù)定義，由和差化積公式得。的證明類似。：利用導(dǎo)