大腦的耳葉中,有一部分叫做海馬,它是記憶中樞有

1、1 大腦的耳葉中，有一部分叫做大腦的耳葉中，有一部分叫做“海馬海馬”，它是記憶中樞。有趣的是：，它是記憶中樞。有趣的是：左腦的海馬，是記憶最近的事情，記左腦的海馬，是記憶最近的事情，記得快忘得也快（短時(shí)記憶）；右腦的得快忘得也快（短時(shí)記憶）；右腦的海馬，是保存自出生以來(lái)的一切事物，海馬，是保存自出生以來(lái)的一切事物，而且永不丟失（永久記憶）。不過(guò)，而且永不丟失（永久記憶）。不過(guò)，它卻象是被擠在了倉(cāng)庫(kù)的角落里，塵它卻象是被擠在了倉(cāng)庫(kù)的角落里，塵封了起來(lái)。封了起來(lái)。2dxxfVba2)( dcdyyV2)( badxxAV)(一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積 二、平行截面面積為已知二、平行截面面積為

2、已知 的立體的體積的立體的體積xyoabxdxx )(xAxyoabxdxx )(xfy xyo)(yxcd3這直線叫做這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸。 就是由一個(gè)平面圖形繞平就是由一個(gè)平面圖形繞平 面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體， 及球體都是旋轉(zhuǎn)體。及球體都是旋轉(zhuǎn)體。 如圖所示圓柱體、圓臺(tái)體、圓錐、如圖所示圓柱體、圓臺(tái)體、圓錐、 4dxxfVba2)( 所以所以 dxxfdV2)( 圍成的曲邊梯形繞圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)一周 0,),(ybxaxxfy求由求由而成的而成的立體的體積。立體的體積。 積分變量為積分變量為 ,x積分區(qū)間為積分區(qū)間為 ,b,a

3、在在 b,a上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ,dxx,x 相應(yīng)的窄曲邊梯形相應(yīng)的窄曲邊梯形 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積，軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積， 用圓柱體的體積近似代替，用圓柱體的體積近似代替， 圓柱體的體積即圓柱體的體積即： yOb)(xfy xaxdxx yOab)(xfy xxdxx 5xyo)(yx cddcdyyV2)( )(yx 由曲線由曲線 和直線和直線 dy,cy 與與 y 軸所圍成的曲邊梯形，軸所圍成的曲邊梯形， 旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為： 繞繞 y 軸軸 例例1 求以求以 為底半徑，為底半徑， 為高的圓錐的體積為高的圓錐的體積 。 rh當(dāng)然這個(gè)

4、題可以用元素法來(lái)解。當(dāng)然這個(gè)題可以用元素法來(lái)解。xhry OP的直線方程為：的直線方程為： 于是所求圓錐體的體積為：于是所求圓錐體的體積為： 3032322hrhxhr hdxxhrV02 rOhxyP(h,r)建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖 解：解：6當(dāng)當(dāng) a=b時(shí)，旋轉(zhuǎn)橢球體就成為半徑為時(shí)，旋轉(zhuǎn)橢球體就成為半徑為 a 的球體的球體,它的體積為它的體積為 334aV 例例2 2 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓 12222 byax所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體 （叫做旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積。（叫做旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積。 及及 x 軸圍成的圖形繞軸圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成

5、的立體，軸旋轉(zhuǎn)而成的立體， 這個(gè)橢球體可以看作是由上半個(gè)橢圓這個(gè)橢球體可以看作是由上半個(gè)橢圓解：解：22xaaby上半個(gè)橢圓的方程為：上半個(gè)橢圓的方程為： 23222343abaaxxaab 所以：所以： aadxyV2 aadxxaab)(2222 若繞若繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) baV234 x xy yo o7 2200)cos1(.cos1 )sin(taxtxdttadxtayttax時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)則則，令令圖形繞圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 20323)coscos3cos31(dtttta 解：解： axdxxyV 202)( 2022)

6、cos1()cos1(dttata例例3 3 計(jì)算由擺線計(jì)算由擺線 )cos1()sin(tayttax的一拱、直線的一拱、直線 y =0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸、軸、y 軸旋轉(zhuǎn)而成的軸旋轉(zhuǎn)而成的 旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)體的體積。a2a a 2a2)(xyy xyO325a 8 aydyyxV2022 2 22sinsintdtatta 2023sin)sin(tdttta adyyx2021 0 22sinsintdtatta圖形圖形繞繞 y 軸軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)而成的 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為 a a 2ACx =x1(y) x=x2(y) x yO Btdtadytta

7、xtaysinsin )cos1(則則，令令 taytyyxx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)對(duì)于對(duì)于2001 .2;20,2 taytyyxx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)對(duì)于對(duì)于 2032022023sinsin2sintdttdtttdtta 2 22sinsintdtatta周期函數(shù)周期函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù))2sin2sin(21sin2sin262020202023 tdttttdttta336a 9所以所以 badxxAV)(dxxAdV)(則體積元素為：則體積元素為： )(xA表示過(guò)點(diǎn)表示過(guò)點(diǎn) x 且垂直于且垂直于x 軸的截面面積（已知）。軸的截面面積（已知）。 用用 積分變量為積分變量為 ,x積

8、分區(qū)間為積分區(qū)間為 ,b,a,dxx,x在在 上任取上任取小區(qū)間小區(qū)間 ba,)(xAxbx+dxxaOy10圓柱體所得立體的體積。圓柱體所得立體的體積。例例4 4 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角底面交成角 , 計(jì)算這平面截計(jì)算這平面截因而截面積為因而截面積為 tan)(21)(22xRxA 解：解：222Ryx建立直角坐標(biāo)系如圖：建立直角坐標(biāo)系如圖：則底圓的方程為：則底圓的方程為：作垂直于作垂直于 x 軸的截面，軸的截面，過(guò)任意點(diǎn)過(guò)任意點(diǎn),RRx截面為一直角三角形，截面為一直角三角形，,22xR 它的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為它的兩條直

9、角邊的長(zhǎng)分別為,tan22 xR 及及于是所求立體體積為：于是所求立體體積為：RRdxxRV tan)(2122 tan3231tan21332RRRxxR222Ryx XRR-R-RO OYx11例例5 5 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，的圓為底， 平行且等于底圓直徑的線段為頂、平行且等于底圓直徑的線段為頂、 高為高為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。 解：解： 使使 x 軸與正劈錐的頂平行，軸與正劈錐的頂平行， 建立底面直角坐標(biāo)系如圖，建立底面直角坐標(biāo)系如圖， 222Ryx則底圓的方程為：則底圓的方程為： 22)(xRhyhxA這截面的面積為：這截面的面積為：過(guò)過(guò) x軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)

10、 x 作垂直于作垂直于 x 軸的平面，軸的平面， 截正劈錐體得等腰三角形。截正劈錐體得等腰三角形。 正劈錐體的體積等于同底同高的圓柱體體積的一半。正劈錐體的體積等于同底同高的圓柱體體積的一半。 于是所求正劈錐體得體積為：于是所求正劈錐體得體積為： 2cos220222hRdhR RRRRdxxRhdxxAV22)(-RRRRYYO OXxh h12一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念A(yù)B在弧在弧 上任取分點(diǎn)上任取分點(diǎn) 設(shè)設(shè)A、B是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)，是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)， 并依并依 次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線。次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線。 當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小段當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目

11、無(wú)限增加且每個(gè)小段 niiiMM11的極限存在，的極限存在，則稱此極限為曲線弧則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng)，的弧長(zhǎng)， 并稱此曲線弧并稱此曲線弧 AB是可求長(zhǎng)的。是可求長(zhǎng)的。 、210MMMA ,11BMMMMnnii、都縮向一點(diǎn)時(shí)，都縮向一點(diǎn)時(shí)，如果折線的長(zhǎng)如果折線的長(zhǎng) iiMM1（0MA2M1M1nMnMB 1iMiMOxy光滑曲線弧光滑曲線弧( (即弧上任意點(diǎn)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）即弧上任意點(diǎn)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）是可求長(zhǎng)的。是可求長(zhǎng)的。 13于是所求于是所求弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 badxys21設(shè)曲線弧由設(shè)曲線弧由 )(xfy )(bxa給出，給出， 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在來(lái)現(xiàn)

12、在來(lái) 其中其中f（x）在在 a，b 上上 計(jì)算這計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度曲線弧的長(zhǎng)度。 從而得從而得弧長(zhǎng)元素：弧長(zhǎng)元素： ba,在在 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ,dxxxdx y21 ds 22dydx- -弧微分公式弧微分公式 dydxx)(xf)(xfy axbxyOdx14dxxdxxds1)(1221 21xy 解解因此所求弧長(zhǎng)為：因此所求弧長(zhǎng)為：abxdxxsba23)1(3212323)1()1(32ab例例1 1 計(jì)算曲線計(jì)算曲線 上相應(yīng)于上相應(yīng)于 從從 a 到到 b的一段弧的長(zhǎng)度。的一段弧的長(zhǎng)度。 2332xy 15(其中其中 c為常數(shù)為常數(shù))方程為：方程為：cxchcy計(jì)算懸鏈線上

13、介于計(jì)算懸鏈線上介于 與與 之間一段弧的長(zhǎng)度之間一段弧的長(zhǎng)度.例例2 2 兩根電線桿之間的電線，由于其本身的重量，下垂成兩根電線桿之間的電線，由于其本身的重量，下垂成曲線形，這樣的曲線叫曲線形，這樣的曲線叫懸鏈線懸鏈線，適當(dāng)選取坐標(biāo)系后，懸鏈線的，適當(dāng)選取坐標(biāo)系后，懸鏈線的bxbx 解解 cxsh y dxcxchdxcxshds21因此所求弧長(zhǎng)為：因此所求弧長(zhǎng)為：bbcxdcxchcdxcxchs0022cbshcbcxshc202bbcX XYYO O16 于是所于是所求求弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為 dttts22弧長(zhǎng)元素為弧長(zhǎng)元素為:dttt)()(22 22dydxds 2222dttdtt 取取

14、t 為積分變量，它的變化區(qū)間為為積分變量，它的變化區(qū)間為, 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程設(shè)曲線弧由參數(shù)方程)()(tytx )( t給出，其中給出，其中)(t )(t ,現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度曲線弧的長(zhǎng)度。、在在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 17aadas8022cos222sin220 解解: sin)cos1(ayax daads2222sin)cos1( dada2sin2)cos1(2例例3 3 計(jì)算擺線計(jì)算擺線 )20( )cos1()sin( ayax的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。 的一拱的一拱 a2a a 2a2)(xyy xyO18弧長(zhǎng)元素為：弧長(zhǎng)元素為： drrdyxds2222所

15、求弧長(zhǎng)為：所求弧長(zhǎng)為： drrs22 cos)(sin)( sin)(cos)( rryrrx sin)(sincos)(cosrryrrx)( 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度，現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度，由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得：由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得： , ryx, yxyOx r可看作可看作以以 為為參數(shù)的情形參數(shù)的情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程 在在 ,)( )( rr )( r給出，其中給出，其中 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 。 19xoa 2例例4 4 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 相應(yīng)于相應(yīng)于 從從 到到 )0( ,aar 0 2一段的弧長(zhǎng)。一段的弧長(zhǎng)。 于是所

16、求弧長(zhǎng)為于是所求弧長(zhǎng)為 2021das22412ln4122 a daads222弧長(zhǎng)元素為弧長(zhǎng)元素為解解a r da2120小小 結(jié)結(jié) dxydxxfVbaba22)( 利利用用曲曲線線參參數(shù)數(shù)方方程程時(shí)時(shí)一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積 繞繞x x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 繞繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積badxxAV)(dyxdyyVdcdc22)( 利利用用曲曲線線參參數(shù)數(shù)方方程程時(shí)時(shí)換換限限按按照照)(tx 換換限限按按照照)(ty 21badxys21(1) 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) dttts)()(22(2) 參數(shù)方程參數(shù)方程 drrs)()(22(3) 極坐標(biāo)極坐標(biāo)三、平面曲線的弧長(zhǎng)三、平面曲線的弧長(zhǎng)思考題：思