隨機變量及其分布知識點整理

1、隨機變量及其分布知識點整理一、離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量X 可能取的值為 x1 , x2 , , xi , xn ， X 取每一個值 xi (i1,2, , n) 的概率P( Xxi )pi ，則稱以下表格Xx1x2xixnPpp2ppn1i為隨機變量X 的概率分布列，簡稱X 的分布列 .離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：（ 1） Pi 0, i1,2, n （ 2） p1p2pn11兩點分布如果隨機變量X 的分布列為X01P1-pp則稱 X 服從兩點分布，并稱p=P(X=1) 為成功概率 .2超幾何分布一般地，在含有M件次品的 N件產品中，任取n 件，其中恰有X 件

2、次品，則事件Xk 發(fā)生的概率為：P( Xk)CMk CNn kM, k 0,1,2,3,., mCNn則隨機變量 X 的概率分布列如下：X01mPCM0 CNn 0MCM1 CNn 1MCMm CNn mMCNnCNnCNn其中 mmin M , n ,且n N, MN ,n,M , N N * 。注：超幾何分布的模型是不放回抽樣二、條件概率一般地，設 A,B 為兩個事件 , 且 P( A)0,稱 P(B|A)P( AB)為在事件 A 發(fā)生的條件下 , 事件 B 發(fā)生的條P( A)件概率 .0 P(B | A) 1如果 B和 C互斥，那么 P( B U C) | AP(B | A) P(C |

3、 A)三、 相互獨立事件設 A，B 兩個事件， 如果事件 A 是否發(fā)生對事件 B 發(fā)生的概率沒有影響(即 P(AB)P( A) P(B) ), 則稱事件A 與事件 B 相互獨立。 即 A、 B相互獨立P( AB)P( A) P(B)一般地，如果事件 A1,A 2, ,A n 兩兩相互獨立，那么這n 個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P( A1A2. An )P( A1 )P( A2 ).P( An ) .注： (1) 互斥事件 ：指同一次試驗中的兩個事件不可能同時發(fā)生；(2) 相互獨立事件 ：指在不同試驗下的兩個事件互不影響.四、 n 次獨立重復試驗一般地，在相同條件下，重復

4、做的n 次試驗稱為n 次獨立重復試驗.在 n 次獨立重復試驗中，記Ai 是“第 i 次試驗的結果” ，顯然， P( A1 A2An )P( A1 ) P( A2 )P( An )“相同條件下”等價于各次試驗的結果不會受其他試驗的影響注 : 獨立重復試驗模型滿足以下三方面特征第一：每次試驗是在同樣條件下進行；第二：各次試驗中的事件是相互獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.n 次獨立重復試驗的公式：一般地，在 n次獨立重復試驗中，設事件 A發(fā)生的次數(shù)為 X，在每次試驗中事件 A發(fā)生的概率為 p，那么在 n次獨立重復試驗中，事件 A恰好發(fā)生 k次的概率為P( Xk)C

5、nk pk (1p)n kCnk pk q n k , k0,1,2,., n.(其中 q1p) ，而稱 p 為成功概率 .五、二項分布一般地，在n 次獨立重復試驗中，用X 表示事件A 發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A 發(fā)生的概率為p，則P( Xk)C nk pk (1p)n k ， k0,1,2, nX01knPCn0 p0qnCn1 p1qn 1Cnk pkqn kCnn pnq0此時稱隨機變量X 服從二項分布，記作X B(n, p) ，并稱 p 為成功概率 .六、離散隨機變量的均值（數(shù)學期望）一般地，隨機變量X 的概率分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱 E( X )x1 p1

6、x2 p2xi pixn pn為 X 的數(shù)學期望或均值，簡稱為期望. 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.1若 YaXb ，其中 a，b 為常數(shù)，則 Y 也是變量Yax 1 bax 2baxibax nbPp1p2pipn則 EY aE ( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b2一般地，如果隨機變量X 服從兩點分布，那么E( X )=1p0(1p)p即若 X 服從兩點分布，則E( X )p3若 X B(n, p) ，則 E( X )np七、離散型隨機變量取值的方差和標準差一般地 , 若離散型隨機變量x 的概率分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱 DX(x1E( X ) 2 p1(x2E( X )2p2( xnE( X ) 2 p