解析幾何經(jīng)典例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上解析幾何經(jīng)典例題圓錐曲線的定義是“圓錐曲線方程”這一章的基礎(chǔ)，對(duì)這些定義我們有必要深刻地理解與把握。這里就探討一下圓錐曲線定義的深層及其綜合運(yùn)用。一、橢圓定義的深層運(yùn)用例1. 如圖1，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為其兩焦點(diǎn)，從的外角的平分線作垂線，垂足為M，將F2P的延長(zhǎng)線于N，求M的軌跡方程。圖1解析：易知故在中，則點(diǎn)M的軌跡方程為。二、雙曲線定義的深層運(yùn)用例2. 如圖2，為雙曲線的兩焦點(diǎn)，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，從的平分線作垂線，垂足為M，求M的軌跡方程。圖2解析：不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，延長(zhǎng)F1M交PF2的延長(zhǎng)線于N，則，即在故點(diǎn)M的軌跡方程為三、拋物線定義的深層運(yùn)用例3.

2、如圖3，AB為拋物線的一條弦，|AB|4，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)M到直線y1的最短距離。圖3解析：易知拋物線的準(zhǔn)線l：，作AA”l，BB”l，MM”l，垂足分別為A”、B”、M”則即M到直線的最短距離為2故M到直線y1的最短距離為。評(píng)注：上述解法中，當(dāng)且僅當(dāng)A、B、F共線，即AB為拋物線的一條焦點(diǎn)弦時(shí)，距離才取到最小值。一般地，求拋物線的弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的最短距離，只有當(dāng)（即通徑長(zhǎng)）時(shí)，才能用上述解法。四、圓與橢圓、圓與雙曲線定義的綜合運(yùn)用例4. 已知圓，M為圓上任一點(diǎn)，MP的垂直平分線交OM于Q，則Q的軌跡為（ ）圖4已知圓，M為圓上任一點(diǎn)，MP的垂直平分線交OM于Q，則Q的軌跡為（ ）

3、A. 圓 B. 橢圓C. 雙曲線 D. 拋物線解析：如圖4，由垂直平分線的性質(zhì)，知|QM|QP|，而|QM|OM|OQ|2|OQ|即|OQ|QP|2|OP|故Q的軌跡是以O(shè)（0，0）、P為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓。應(yīng)選B。同理，利用垂直平分線的性質(zhì)及雙曲線的定義，可知點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線的一支，應(yīng)選C。五、橢圓與雙曲線定義的綜合運(yùn)用例5. 如圖5，已知三點(diǎn)A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)P的軌跡方程；若雙曲線的兩支分別過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)Q的軌跡方程。圖5解析：由橢圓定義知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的軌跡為A（7

4、，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支，其方程為；經(jīng)討論知，無(wú)論A在雙曲線的哪一支上總有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故點(diǎn)Q的軌跡為以A（7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為28的橢圓，其方程為。練習(xí)1. 已知橢圓E的離心率為e，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線C以為焦點(diǎn)，為其頂點(diǎn)，若P為兩曲線的公共點(diǎn)，且，則e_。答案：2. 已知O：，一動(dòng)拋物線過(guò)A（1，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，求動(dòng)拋物線的焦點(diǎn)F的軌跡方程。答案：圓錐曲線中的方法與運(yùn)算1. (與名師對(duì)話第51練) 已知拋物線,點(diǎn), 問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線,使拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,如果存在

5、, 求出直線的斜率的取值范圍; 如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析: 這是一個(gè)求變量(斜率)的取值范圍問(wèn)題, 我們必須給出與變量(斜率)相關(guān)的變量(根據(jù)題設(shè)尋找)的關(guān)系式(組), 顯然,這個(gè)關(guān)系式(組)應(yīng)由按題設(shè)揭示出的幾何條件轉(zhuǎn)換得到. 我們由題設(shè)揭示出的幾何條件是: 拋物線上關(guān)于直線對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)所在直線必須與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),并且交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在直線上. 相應(yīng)得到一個(gè)不等式和一個(gè)等式組成的變量關(guān)系式(組). 解這個(gè)關(guān)于式組即可得變量的取值范圍. 解: 設(shè)直線的方程為,若,則結(jié)論顯然成立,即可取.若,則直線PQ的方程為, 由方程組 可得,. 直線PQ與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 即

6、 . 設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為G(), 則, , 點(diǎn)G()在直線上, =, 由 可得, , , () , 或.綜上所述, 直線的斜率的取值范圍為.2. (與名師對(duì)話第51練)已知直線過(guò)點(diǎn)(1,0),且與拋物線交于兩點(diǎn),為原點(diǎn),點(diǎn) 在軸的右側(cè)且滿足:.（1）求點(diǎn)的軌跡C的方程;（2） 若曲線的切線的斜率為,滿足:,點(diǎn)到軸的距離為,求的取值范圍.分析：由可知，點(diǎn)的軌跡C就是弦AB的中點(diǎn)的軌跡.解(1) 顯然直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為: ,由方程組消去整理得,設(shè), , , 消去得點(diǎn)的軌跡C的軌跡方程為: . , 或, 點(diǎn)在軸的右側(cè), ,故點(diǎn)的軌跡C為拋物線上的一段弧.分析: 點(diǎn)到軸的距離為就是點(diǎn)

7、的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.因?yàn)榍€的切線的斜率為,所以=,由知,由此可知,我們必須建立點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值關(guān)于的關(guān)系.解(2): 設(shè), 則由可知,=, , , , , , 方法(一) , (), , .方法(二) , (), , , 且 .3. (與名師對(duì)話第51練) 已知拋物線的方程為 ,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0<<)的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.（1）求的值;（2）若點(diǎn)分所成的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.分析: 要求的值,必須給出關(guān)于的方程.解(1): 設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0<<)的直線的方程為.由方程組消去整理得, 則, , , . 分析: 由可知過(guò)點(diǎn)且傾斜角為(0<<)的直

8、線為.先建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,再轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 解(2): 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式, , , 由(1)可知,由方程組可消去得,. 0<< , ,故=.4. (與名師對(duì)話第51練) 已知方向向量為的直線過(guò)點(diǎn)(0,-2)和橢圓C: 的焦點(diǎn), 且橢圓C的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（1）求橢圓C的方程;（2）是否存在過(guò)點(diǎn)E(-2,0)的直線交橢圓C于,滿足: 為原點(diǎn)? 若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.6(與名師對(duì)話第52練20) 橢圓C的方程為，F(xiàn)是它的左焦點(diǎn)，M是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求的重心的軌跡方程;(2) 若的重心對(duì)原點(diǎn)和點(diǎn)P(-

9、2,0)的張角最大, 求點(diǎn)的坐標(biāo).解(1): 設(shè)點(diǎn) (y0) , M(x1,y1)由題設(shè)可知,F() 則, , 的重心的軌跡方程為 ().(2) 由(1)可知, 原點(diǎn)和點(diǎn)P(-2,0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).下面證明當(dāng)點(diǎn)M與橢圓的短軸的端點(diǎn)重合時(shí)張角最大.方法(一) 用橢圓的定義設(shè)橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為、，則由橢圓的定義可知+=2.在中, = (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等于號(hào)成立) =0 當(dāng),即點(diǎn)M與短軸的端點(diǎn)重合時(shí)張角最大, 最大角為,這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,1)、（-1，-1）.方法(二) 用橢圓的焦半徑公式將橢圓平移到中心在原點(diǎn)的位置,這時(shí)橢圓的方程為,原張角就是在點(diǎn)P處的兩條焦半徑的

10、夾角.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(),則=當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), , 故, 的最大值為,這時(shí)相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),在橢圓的原位置相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,1).7. (與名師對(duì)話第52練21) 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值,且的最小值為.(1) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; (2) 若已知點(diǎn)(0,3),點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3) 若已知點(diǎn)(1,1), 點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上,且,求直線的方程. 分析: 由題設(shè)可知, 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為其焦點(diǎn)的橢圓,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程可以用待定系數(shù)法求得.解(1): 由題設(shè)可知, 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為其焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)其方程為 ().

11、可以證明(仿例6)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)的值最小,這時(shí), , . , 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為. 分析: 由可知, 點(diǎn)共線, 直線MN的變化可以用其斜率表示(直線的方程為這時(shí)要k作討論),也可以用表44z示(直線的方程為,這時(shí)不需要對(duì)作討論).下面用直線方程求解.解法(一): 由可知, 點(diǎn)共線.若直線MN的斜率不存在,則.若直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為則由方程組可得,設(shè),則.又由可得, , , . , . , ,綜上所述, .分析：用點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線MN的變化.解法(二): 由可知, 點(diǎn)共線.設(shè),則,. , , , , . , , 或, 解得.8. 拋物線C的方程為,過(guò)拋物線C上一點(diǎn) (

12、)作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于兩點(diǎn)(三點(diǎn)各不相同),且滿足.(1) 求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2) 設(shè)直線上一點(diǎn)滿足:,證明線段的中點(diǎn)在軸上;(3)當(dāng)時(shí),若點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),求為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.分析: 將看作常量.解(1): 拋物線C的方程為, 故拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(),準(zhǔn)線方程為.分析: 從形式上看, 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與相關(guān),而實(shí)際上肯定橫坐標(biāo)可以消元為0.解(2): 由題設(shè)可知,直線的方程為:,由方程組可得,即, , 同理 , , , = , -, 線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為0, 即線段的中點(diǎn)在軸上.分析: 解(3): 由題設(shè)和題(2)可知, 拋物線C的方程為,

13、,又,故, , , 為鈍角, 三點(diǎn)各不相同, 即有, , , , .9.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上,一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交X軸于點(diǎn),又.(1) 求直線的方程;(2) 求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.解(1): 直線的方程為.分析: “直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的不等式,向量等式 可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的等式.解(2): 由方程組可得.設(shè)設(shè), 則.由可知, , , , , , . , , , , ,即橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為.10.自點(diǎn)向拋物線C:作切線AB,切點(diǎn)為,且點(diǎn)在第一象限,再過(guò)線段AB的中點(diǎn)作直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)E,F,直

14、線AE,AF分別交拋物線C于P,Q兩點(diǎn).(1) 求切線AB的方程及切點(diǎn)B的坐標(biāo); (2) 證明. 解(1): 設(shè)切點(diǎn)B的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)B的切線的方程為, 切線過(guò)點(diǎn), , , 點(diǎn)B在拋物線上, , 切線AB的方程為, 切點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1). 分析: 即證明.(2) 證明: 由(1)可知, 線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為, .由方程組 可得, 故. A,E,P三點(diǎn)共線, =, , 同理, =由可知, . 11. 設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A, P為雙曲線上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 從A引雙曲線的漸近線的兩條平行線與直線OP分別交于Q和R兩點(diǎn).(1) 證明:無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置,總有(O為坐標(biāo)原點(diǎn));(2) 若以O(shè)P為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于雙曲線的實(shí),虛軸圍成的矩形的面積,求雙曲線的離心率的取值范圍.(1) 證明: 設(shè)直線OP的方程為, 直線AR的方程為, AQ的方程為.由方程組 得 , =,同理=, =.設(shè),由方程組得, =. 直線OP過(guò)原點(diǎn), , .(2) 解: 由題設(shè)知, =, 又, , (恒成立)解得, .圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)由一道高考題引發(fā)出的思考題（2001年全國(guó)·