函數(shù)及極限習(xí)題及答案

1、第一章函數(shù)與極限(A)一、填空題1、設(shè)f (x) J2r lg lg x ,其定義域?yàn)?2、設(shè)f(x) ln(x 1),其定義域?yàn)?。3、設(shè) f(x) arcsin(x 3),其定義域?yàn)?。4、設(shè)f(x)的定義域是0 ,1,則f (sin x)的定義域?yàn)?、設(shè)y2、f(x)的定義域是0,2，則y f(x )的定義域?yàn)?、lim x一”工4 ,則 k=x 3 x 3x7、函數(shù)y 有間斷點(diǎn)sin x8、若當(dāng)x 0時(shí)，f(x),其中 為其可去間斷點(diǎn)。sin2x,且“刈在* 0處連續(xù)，則f (0)9、lim (nn2 1nn2 210、函數(shù)f (x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0連續(xù)的 條件。11、li

2、m但x2- 一1)(x 3x 2)c 5-32x 5x2. kn 312、lim (1 -) e，貝U k=。n nx2 113、函數(shù)y 的間斷點(diǎn)是。x 3x 21 14、當(dāng)x 時(shí)，,是比Mx 3 7乂 1 的無(wú)否小。x15、當(dāng)x 0時(shí)，無(wú)窮小1 J1 x與x相比較是 無(wú)窮小。16、函數(shù)y ex在x=0處是第 類(lèi)間斷點(diǎn)。一53 x 1 一 ,一17、設(shè)y ,則x=1為y的 間斷點(diǎn)。x 118、已知f J3則當(dāng)a3sin x x19、設(shè) f (x) 2x 1(1 ax)x x1 .時(shí)，函數(shù)f(x) asinx sin3x在x 一處連續(xù)。330 若lim f (x)存在，則a= x 00x sin

3、 x20、曲線y 2一 2水平漸近線方程是。x2121、 f(x) "4 x j , 的連續(xù)區(qū)間為。x 122、設(shè) f (x)x a cosxx 0 _在x 0連續(xù)，則常數(shù)x 0a=二、計(jì)算題1、求下列函數(shù)定義域(1) y11 x2(2) y sinjx ；1 y ex ；2、函數(shù)f(x)和g(x)是否相同為什么(1) f (x)ln x2 , g(x) 2ln x ； f (x)x , g(x) Vx2 ；22(3) f(x) 1 , g(x) sec x tan x ；3、判定函數(shù)的奇偶性(1) yx2(1 x2)；2y 3x(3) yx(x 1)( x 1)；4、求由所給函數(shù)構(gòu)

4、成的復(fù)合函數(shù)(1) ysin v5、計(jì)算下列極限(1)lim (1 n(2)lim n3 (n 1).2，n(3)lim 一x 2 x(4)lxm12x 1x2 1'(5)lim (1 x1 )(2 xlim x2 sin (9)(8)lim x( .x2 x1 x)6、計(jì)算下列極限(1)sin wx(3)(5)xc0txx 1、x 1xim(r72x2(x 2)2lxm1x2 1,3 x 1 xsin2x lim;x 0 sin 5x(4)(6)lim(x)x ;x 1 x1lim (1 x)x ;x 07、比較無(wú)窮小的階(1) x0時(shí)，2x x2與 x2 x3 ；,、,12 x1時(shí)

5、，1x與一(1x2)；28、利用等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)求極限“、tanx sin x(1) lim3x 0 sin x(2)limx 0sin(xn)(sinx)m(n , m是正整數(shù))；x9、討論函數(shù)的連續(xù)性f 0 x3 x , x10、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限(1) lim ln(2cos2x)；x 一 6(2)lim (. x2 x xx x2x);sinx(3) lim ln；(4) lim(1 -)2xx1 設(shè)f(x)lim (1 -)，求 lim f();n nt yf(ex) t 1x 1(6) lim xln();x x 111、設(shè)函數(shù)f (x)應(yīng)當(dāng)怎樣選擇a ,使得f(x)成為在()內(nèi)

6、的連續(xù)函數(shù)。12、證明方程x5 3x1至少有一個(gè)根介于1和2之間。(B)1、設(shè)f(x)的定義域是0,1,求下列函數(shù)定義域(2) y f (ln x)g(x)0 , x 0x2, x 0502、設(shè) f(x)求 ff(x) , gg(x)fg(x) , gf(x)3、利用極限準(zhǔn)則證明:(1) lim11- 1n . n(2)lim x- 1x 0 x(3)數(shù)列 22 , 22 42 , <222的極限存在4、試比較當(dāng)x 0時(shí)，無(wú)窮小2x 3x2與x的階。5、求極限(1).,2,、lim x(Vx1 x);x(2) lim(x-)x1x 2x 1(3)tanx sin xx a lim ( 一

7、x 0bxx 1-);(a0,b0,c 0);6、設(shè) f(x)1 xsin 一x2a x要使“*)在()內(nèi)連續(xù),應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)ai求f (x)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)類(lèi)型。x 17、設(shè) f(x) eln(1 x)(021、已知 f(x) ex2、求下列極限：f (x) 1 x ,且(x) 0 ,求(x)并寫(xiě)出它的定義域。(1)、lim cosln(1 x) cosln x ； (2)、lim xsin x-cosx ；xx 0x2(3)、求 lim 3x一5 sin- ； (4)、已知 lim (xa)x 9 ,求常數(shù) ax 5x 3 xx x a(5)、設(shè)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f

8、(a) a , f (b) b ,證明：在開(kāi)區(qū)間(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f ()第一章函數(shù)與極限習(xí)題答案(A)-、填空題(3) 2 , 4(1) (1 , 2(4) x 2k x (2k 1)(5) .2 ,2(6) -3x 0(8) 2(9) 1、，、1(10)充分(11)2(15)同階(16)二一、 3、一(12)(13) x=1 , x=2(14)局階2(17)可去 (18) 2(19) -ln2(20) y=-2(21) 2,1 (1,2(22) 1二、計(jì)算題1、(1)(, 1) ( 1 ,1) (1,)(2) 0,)(3) (, 0) (0 ,)2、(1)不同，定義域不同(2

9、)不同，定義域、函數(shù)關(guān)系不同(3) 不同，定義域、函數(shù)關(guān)系不同(3)奇函數(shù)22sin x.x (3) y e (4) 0(5) 2(6)1 ，一2，一 1e e(6) e(2)是同階無(wú)窮小3、(1)偶函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)4、(1) y (sin x2)2(2) y V15、(1) 2 (2) 1(3) -9一 一1(7) 0(8)2<2(9)26、(1) w (2) 2(3) 1(4)57、(1) 2x x2是x2 x3的低階無(wú)窮小0 , m n，、1，、8、(1) (2)1, m n2,m n9、不連續(xù)(5) 0(6) -2(B)10、(1) 0(2) 1(3) 0(4) e211、

10、 a=11、(1)提示：由 0 ex 1 解得：x (, 0(2)提示：由 0 lnx 1 解得：x 1,e2、提示：分成 x 。和 x 0 兩段求。ff(x) f(x) , gg(x) 0 ,fg(x) 0 , gf (x) g(x)4、(1)提示：1(2)提示:5、6、7、8、1、(3)提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明:X XX .232 21提不：(1)(3)(4)提示:提示:提示:an乘以X21 X用等階無(wú)窮小代換XXX a b c(3令2X1212提示：lim f (x) lim f (x)X 0X 0解:得：12、解:3、解:limX4、解:1x(- 1)X(2)提示:ax 1bxicx 1ax 1f(0)(a1是第二類(lèi)間斷點(diǎn)，X 0是第一類(lèi)間斷點(diǎn)因?yàn)閒 x原式=Xim0因?yàn)楫?dāng)Xt (同階)除以2xbx 1 cx 1 "x0)(Qe 2(x) 10 。所以:xj X(3'abc)Vln(1 x),再由(x) . ln(1 x)xsin x cos2 xx(. 1 xsinx cosx)= lim1x 0 2ln(1一一一一2xsin x sin xXim0sinX/(x sinx) =0_ 2_ 2_3x 5.2,. 3x 5 sin = lim 5x 3 xx 5x 32=lim x x6x25x210 = 63x 5因?yàn)椋?=