B組題數(shù)學(xué)建模

1、B組題數(shù)學(xué)建模電影院座位設(shè)計問題物流072黃永釗物流072侯寶玲影院座位設(shè)計問題（摘要）觀眾的滿意度主要取決于視角和仰角兩個因素，但在實際生活中兩者又不可能同時達(dá)到最佳，只能二者兼顧. 針對問題1，本文根據(jù)已知條件通過計算得知，最前排視角和仰角的值均為最大，最后排視角和仰角的值均為最小，和的正切值呈遞減趨勢. 那么仰角時的位置是否是最佳位置呢？本文先將離散的座位連續(xù)化，求出了的表達(dá)式，并通過計算的最大值，找到了最佳座位點(diǎn).針對問題2，由于觀眾的滿意度是一個模糊的概念，本文引入了“滿意度函數(shù)”的概念，構(gòu)造了滿意度函數(shù)，通過這一函數(shù)來度量觀眾滿意程度隨其座位離屏幕的距離的變化趨勢.在傾斜角固定的情

2、況下，滿意度函數(shù)值隨的變化而變化，不同的有不同的滿意度.根據(jù)滿意度函數(shù)這一衡量標(biāo)準(zhǔn)，本文再次將問題離散化，求出了座位的平均滿意度. 總之，本文針對電影院的座位設(shè)計問題，通過合理假設(shè)將實際問題數(shù)學(xué)化，抽象問題具體化，幾何問題代數(shù)化，離散問題連續(xù)化，建立了合理的數(shù)學(xué)模型。本文建立的模型穩(wěn)定性好，求解方法簡單，計算效率高，而且模型及結(jié)果具有一定的現(xiàn)實意義.影院座位設(shè)計問題一.問題的提出滿意程度主要取決于視角和仰角.視角是觀眾的眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角，視角越大越好；仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角，仰角太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般不超過.設(shè)影院屏幕高h(yuǎn), 上邊緣距地面

3、高H，地板線傾角，第一排和最后一排座位與屏幕水平距離分別為d和D, 觀眾平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）。 (如圖所示)(1) 地板線傾角，問最佳座位在什么地方.(2) 求地板線傾角，使所有觀眾的平均滿意程度最大。二.問題的分析觀眾在電影院觀賞電影，感覺是否滿意不僅取決于電影的精彩與否，而且還取決于座位設(shè)計的舒適程度. 座位的設(shè)計應(yīng)滿足什么要求，是一個非?，F(xiàn)實的問題.根據(jù)題意觀眾對座位的滿意程度主要取決于觀看時的視角和仰角. 經(jīng)調(diào)查可知這兩者都要滿足一定的條件.但在實際生活中又不可能同時滿足，只能在二者兼顧的條件下求出使平均滿意度最大的那種情況. 根據(jù)題意很容易得知和的正切值呈遞減趨勢，這對

4、問題的解決很有幫助.下文針對題目提出的三個問題逐一進(jìn)行分析. 針對問題1：為方便求解，可以以屏幕所在的墻壁的剖面為y軸，向上為正方向，以與之垂直的地面為x軸，以交點(diǎn)為原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系.當(dāng)?shù)匕寰€傾角時，根據(jù)已知條件通過計算得知，最前排視角和仰角的值均為最大，最后排視角和仰角的值均為最小.那么仰角時的位置是否是最佳位置呢？我們可以先將離散的座位連續(xù)化，根據(jù)條件求出的表達(dá)式，作出對的變化圖象以及其變化率圖象，計算的最大值，找到最佳座位點(diǎn)，然后再將問題離散化，對求得的最佳座位點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化.針對問題2：的變化趨勢.在傾斜角固定的情況下，滿意度函數(shù)值隨的變化而變化，不同的有不同的滿意度.有了滿意度函數(shù)

5、這一衡量標(biāo)準(zhǔn)后，我們可以求出所有座位的平均滿意度.當(dāng)平均滿意度最大時，求出此時對應(yīng)的傾斜角，即為所要求的平均滿意度最大時地板線的傾斜角度.三.模型的假設(shè)1. 假設(shè)座位在地板線上嚴(yán)格等距，且均勻分布；2. 假設(shè)觀眾的滿意度可以用一連續(xù)函數(shù)來衡量，因而可將離散問題連續(xù)化；3. 假設(shè)視角對觀眾的滿意度影響較大；四.符號說明 當(dāng)人坐下時眼睛到屏幕上、下邊緣視線的夾角 當(dāng)人坐下時眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角 當(dāng)人坐下時眼睛所處在坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo) 關(guān)于距離和傾斜角的正切函數(shù) 關(guān)于距離和傾斜角的正切函數(shù) 滿意度函數(shù) 第個位置的滿意程度 平均滿意程度 滿意度函數(shù)的相關(guān)因子（即滿意因子）五.模型的建立1

6、. 建模的準(zhǔn)備1.1 建立坐標(biāo)系為了建立合適的數(shù)學(xué)模型，我們先建立如下坐標(biāo)系：由題意及坐標(biāo)圖得，直線L的方程： （1）直線L上任意一點(diǎn)的仰角的正切值為： （2） 又由圖可知： （3）由（2）（3）得：1.2 構(gòu)造滿意度函數(shù) （4）其中表示觀眾滿意度的相關(guān)因子，稱為滿意因子，一般為常數(shù). 表示最佳座位點(diǎn)，即最佳座位處的橫坐標(biāo)值.2.模型的建立2.1 問題1的模型座位的滿意程度主要取決于視角和仰角.越大越好，太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過.要確定最佳座位，必須同時兼顧視角和仰角.由上文不難發(fā)現(xiàn)和均是的函數(shù)，這里不妨令，則可得到： （5） （6）由，即得：又由題意知：則x的取值范圍為： （7）從而得到求解最佳座位的數(shù)學(xué)模型： （8）當(dāng)=10度時求得模型的解2.2問題2的模型 為了求平均滿意程度最大時地板的傾角，本文先設(shè)法求平均滿意程度.由（4），記第個座位滿意度為： （9） 則區(qū)間上個座位的滿意度為： （10）從而得座位的平均滿意程度為： （11）從而得到求解地板傾角的數(shù)學(xué)模型： （12）其中的表達(dá)式為：，為常數(shù)，表示前后兩個座位之間的距離.，的表達(dá)式為：