第1章 §2 2.1 極坐標(biāo)系的概念

1、.2極坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念1.理解極坐標(biāo)系，理解極坐標(biāo)的概念.重點2.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)斷定點的位置.難點3.能進(jìn)展點坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化.易錯易混點根底初探教材整理極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系的概念如圖121所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點，從O點引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向通常取逆時針方向.這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，簡稱極坐標(biāo)系.圖1212.極坐標(biāo)的概念對于平面內(nèi)任意一點M，用表示線段OM的長，表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，叫作點M的極徑，叫作點M的極角，有序?qū)崝?shù)對，叫作點M的極坐標(biāo)，記作M，. 特別地，當(dāng)點M在極點時，它的極徑0，極角可以取

2、任意值.3.點與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)，與，2kkZ表示同一個點，特別地，極點O的坐標(biāo)為0，R.和點的直角坐標(biāo)的唯一性不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.假如規(guī)定0，02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)，表示；同時，極坐標(biāo)，表示的點也是唯一確定的.判斷正確的打“，錯誤的打“1極軸是以極點為端點的一條射線.2極角的大小是唯一的.3點與點是同一個點.【解析】1極軸是以極點為端點的一條射線.2因為極角是以極軸為始邊，終邊是過極點與目的點的射線，可正、可負(fù)，相差2k.3因為極角不相差2的整數(shù)倍，故不表示同一個點.【答案】123質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交

3、流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型根據(jù)點的位置確定點的極坐標(biāo)設(shè)點A，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關(guān)于極軸、直線l、極點的對稱點的極坐標(biāo)限定0,00,02，那么除極點外，點的極坐標(biāo)是唯一確定的.2.寫點的極坐標(biāo)要注意順序：極徑在前，極角在后，不能顛倒順序.再練一題1.假設(shè)使正六邊形的一個頂點為極點且邊長為a，極軸通過它的一邊，試求正六邊形各頂點的極坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號：12990004】【解】建立如下圖的極坐標(biāo)系，那么正六邊形各頂點的極坐標(biāo)為：A0,0，Ba,0，C，D，E，F(xiàn).極坐標(biāo)確定點的位置點A的極坐標(biāo)是，分別在以下給定條件下，畫出點A關(guān)于極點

4、O的對稱點A的位置，并寫出A的極坐標(biāo)：10，；20,02；30，20.【精彩點撥】此題以極坐標(biāo)系中點的對稱為載體，主要考察極坐標(biāo)系中點的極坐標(biāo)確實定，同時考察應(yīng)用極坐標(biāo)系解決問題的才能.【自主解答】如下圖，|OA|OA|6，xOA，xOA，即A與A關(guān)于極點O對稱，由極坐標(biāo)的定義知：1當(dāng)0，時，A點的坐標(biāo)為；2當(dāng)0,02時，A點的坐標(biāo)為；3當(dāng)0，20時，A點的坐標(biāo)為.由極坐標(biāo)確定點的位置的步驟：1取定極點O；2作方向為程度向右的射線Ox為極軸；3以極點O為頂點，以極軸Ox為始邊，通常按逆時針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊；4以極點O為圓心，以極徑為半徑畫弧，弧與極角終邊的交點即是所求點的位置.

5、再練一題2.在同一個極坐標(biāo)系中，畫出以下各點：A，B，C，D.【解】如下圖.探究共研型極坐標(biāo)系的建立及應(yīng)用探究1建立極坐標(biāo)系需要哪幾個要素？這幾個要素間有什么關(guān)系？【提示】建立極坐標(biāo)系的要素是：1極點；2極軸；3長度單位；4角度單位和它的正方向，四者缺一不可.極軸是以極點為端點的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角的始邊是極軸，它的終邊隨著的大小和正負(fù)而獲得各個位置；的正方向通常取逆時針方向，的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點M的極徑表示點M與極點O的間隔 |OM|，因此0.但必要時，允許0.探究2為什么點的極坐標(biāo)不唯一？能用三角函數(shù)的概念解釋嗎？【提示】根據(jù)我們學(xué)過的任意角的概念：一是

6、終邊一樣的角有無數(shù)個，它們相差2的整數(shù)倍，所以點，還可以寫成，2kkZ；二是終邊在一條直線上且互為反向延長線的兩角的關(guān)系，所以點，的坐標(biāo)還可以寫成，2kkZ.某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖122所示.圖122用點O，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示校門、器材室、公寓、教學(xué)樓、圖書館、車庫、花園，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點的極坐標(biāo).限定0,02且極點為0,0.【精彩點撥】解答此題先選定極點作極軸，建立極坐標(biāo)系，再求出各點的極徑和極角，即可得出各點的極坐標(biāo).【自主解答】以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox單位長度為1 m，建立極坐標(biāo)系，如下圖.由|OB|600 m，AOB30，OAB90，得|A

7、B|300 m，|OA|300 m，同樣求得|OD|2|OF|300m，所以各點的極坐標(biāo)分別為O0,0，A300，0，B，C，D，E300，F(xiàn).在極坐標(biāo)系中，由點的位置求極坐標(biāo)時，隨著極角的范圍的不同，點的極坐標(biāo)的表示也會不同，只有在0，0,2的限定條件下，點的極坐標(biāo)才是唯一的.再練一題3.在極坐標(biāo)系中，ABC的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A，B2，C.1判斷ABC的形狀；2求ABC的面積.【解】1如下圖，由A，B2，C得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC.AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC為等邊三角形.2由上述可知，AC2OAsin 222，SABC223.構(gòu)建體系1.在極坐標(biāo)系中

8、與點P表示同一點的是A.B.C.D.【解析】在極坐標(biāo)系中將點P確定，再逐個驗證知C正確.【答案】C2.極坐標(biāo)平面內(nèi)的點P，那么P關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)為A.B.C.D.【解析】點P關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)為.【答案】D3.假設(shè)A，B，O為極點，那么AOB的面積為_.【解析】SAOB.【答案】4.關(guān)于極坐標(biāo)系的以下表達(dá)：極軸是一條射線；極點的極坐標(biāo)是0,0；點0,0表示極點；點M與點N表示同一個點.其中，表達(dá)正確的序號是_. 【導(dǎo)學(xué)號：12990005】【解析】設(shè)極點為O，極軸就是射線Ox，正確；極點O的極徑0，極角是任意實數(shù)，極點的極坐標(biāo)應(yīng)為0，錯誤；給定極坐標(biāo)0,0，可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點，即極點，正確；點M與點N的極角分別是1，2，二者的終邊互為反向延長線，錯誤.【答案】5.邊長為2的正方形