第1章§2 2.2　絕對值不等式的解法

1、.2.2絕對值不等式的解法1理解絕對值的幾何意義，掌握去掉絕對值的方法重點2會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.c0重點、關鍵點根底·初探教材整理1含有一個絕對值不等式的解法閱讀教材P8P9“考慮交流以上部分，完成以下問題1絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa，或xaxR，且x0R2.|axb|c與|axb|cc0型不等式的解法1|axb|ccaxbc；2|axb|caxbc或axbc.判斷正確的打“，錯誤的打“×1|x|<a的解集是a，a2不等式|x2|3的解

2、集是，15，3假設|xa|<2的解集是1,3時，a的值為2.【解析】1×當a0時，|x|<a的解集為.2由|x2|3，得x23或x23，即x5或x1.3×假設|xa|<2的解集為1,3時，1和3是|xa|2的根，即解得故a1.【答案】1×23×教材整理2|xa|xb|c與|xa|xb|cc0型不等式的解法閱讀教材P8P9“考慮交流以上部分，完成以下問題1利用絕對值不等式的幾何意義求解2利用零點分段法求解3構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解填空：1|x4|x2|>1的解集為_2假設fx|xa|xb|的最小值為3，當a<fx恒成立時，

3、a的取值范圍是_3|x3|>|x1|的解集為_【解析】1|x4|x2|42|2>1，不等式的解集為R.2由條件可知，當a<fx恒成立時，a<fxmin，即a<3.3由原不等式得x32>x12，整理得x<1.【答案】1R2a<33，1質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型|axb|c與|axb|c型不等式的解法解以下不等式：11<|x2|3；2|2x5|>7x.【精彩點撥】1可利用公式轉(zhuǎn)化為|axb|>cc>0或|axb|&l

4、t;cc>0型不等式后逐一求解，也可利用絕對值的定義分兩種情況去掉絕對值符號，還可用平方法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式2可利用公式法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式【自主解答】1法一：原不等式等價于不等式組即解得1x<1或3<x5，所以原不等式的解集為x|1x<1或3<x5法二：原不等式可轉(zhuǎn)化為：或由得3<x5，由得1x<1，所以原不等式的解集是x|1x<1或3<x5法三：原不等式的解集就是1<x229的解集，即解得所以1x<1或3<x5.所以原不等式的解集是x|1x<1或3<x52由不等式|2x5|>7x，可得2x

5、5>7x或2x5<7x，整理得x>2或x<4.所以原不等式的解集是x|x<4或x>21形如a<|fx|<bb>a>0型不等式的簡單解法是利用等價命題法，即a<|fx|<b0<a<ba<|fx|<b或b<fx<a.2|fx|>gx和|fx|<gx型不等式的解法是將fx看做一個整體，gx看做一個常數(shù)，即可化為fx>gx或fx<gx和gx<fx<gx求解3形如|fx|<fx，|fx|>fx型不等式的簡單解法是利用絕對值的定義，即|fx|>f

6、xfx<0，|fx|<fxx.再練一題1解不等式|x2x2|x23x4. 【導學號：94910007】【解】x2x220，|x2x2|x2x2.原不等式等價于x2x2x23x4，解得x3.原不等式的解集為x|x3.|xa|±|xb|cc 型不等式的解法解不等式|x1|x1|3.【精彩點撥】此題考察|xa|xb|c型含兩個絕對值的不等式的解法，解答此題可利用絕對值的幾何意義去掉絕對值符號求解，也可用零點分區(qū)間討論法求解，或者用圖象法，利用圖形分析求解【自主解答】法一：如下圖，設數(shù)軸上與1,1對應的點分別為A，B，那么A，B兩點的間隔 和為2，因此區(qū)間1,1上的數(shù)都不是不等式

7、的解設在A點左側(cè)有一點A1，到A，B兩點的間隔 和為3，A1對應數(shù)軸上的x.1x1x3，得x.同理設B點右側(cè)有一點B1到A，B兩點間隔 和為3，B1對應數(shù)軸上的x，x1x13.x.從數(shù)軸上可看到，點A1，B1之間的點到A，B的間隔 之和都小于3；點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A，B的間隔 之和都大于3.所以原不等式的解集是.法二：當x1時，原不等式可以化為x1x13，解得x.當1<x<1時，原不等式可以化為x1x13，即23，不成立，無解當x1時，原不等式可以化為x1x13，所以x.綜上所述，原不等式的解集為.法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x1|30.構(gòu)造函數(shù)y|x1|x1|

8、3，即y作出函數(shù)的圖象，如下圖：函數(shù)的零點是，.從圖象可知，當x或x時，y0，即|x1|x1|30.解得原不等式的解集為.這三種解法是解含有兩個絕對值和差不等式常用的方法，解法一中關鍵是找到特殊點，解法二中的分類討論要遵循“不重不漏的原那么，解法三那么要準確畫出函數(shù)圖象，并準確找出零點.再練一題2解不等式|2x1|<|x|1.【解】當x0時，原不等式可化為2x1x1，解得x0，與x0矛盾，此時無解；當0x時，原不等式可化為2x1x1，解得x0，又0x，從而有0x；當x時，原不等式化為2x1x1，x2.因此x2.綜合知，原不等式的解集是x|0x2探究共研型含參數(shù)的不等式探究1函數(shù)fx|xa

9、|xb|的最小值是什么？當|ab|c時，不等式|xa|xb|c的解集是什么？【提示】因為|xa|xb|xaxb|ab|.當|ab|c時，不等式|xa|xb|c的解集為R.事實上，對于一切xR，有|xa|xb|xaxb|ab|c.探究2對于afx在R上恒成立求a的取值范圍時，如何轉(zhuǎn)化求解？對于afx呢？對于a>fx的解集為，求a的取值范圍時如何轉(zhuǎn)化求解，對于a<fx呢？【提示】afx恒成立afxmax.afx恒成立afxmin.a>fx解集為afx恒成立a<fx解集為afx恒成立探究3對于afx有解求a的范圍時，如何轉(zhuǎn)化求解？afx有解呢？【提示】afx有解afxmin.

10、afx有解afxmax.函數(shù)fx|xa|.1假設不等式fx3的解集為x|1x5，務實數(shù)a的值；2在1的條件下，假設fxfx5m對一實在數(shù)x恒成立，務實數(shù)m的取值范圍【精彩點撥】1解fx3，由集合相等，求a.2求yfxfx5的最小值，確定m的范圍【自主解答】1由fx3，得|xa|3，解得a3xa3.又不等式fx3的解集為x|1x5，所以解得a2.2法一由1知a2，此時fx|x2|，設gxfxfx5|x2|x3|，于是gx利用gx的單調(diào)性，易知gx的最小值為5.因此gxfxfx5m對xR恒成立，知實數(shù)m的取值范圍是，5法二當a2時，fx|x2|.設gxfxfx5|x2|x3|.由|x2|x3|x2

11、x3|5當且僅當3x2時等號成立，得gx的最小值為5.因此，假設gxfxfx5m恒成立，應有實數(shù)m的取值范圍是，51第2問求解的關鍵是轉(zhuǎn)化為求fxfx5的最小值，法一是運用分類討論思想，利用函數(shù)的單調(diào)性；法二是利用絕對值不等式的性質(zhì)應注意等號成立的條件2將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、浸透，這是命題的新動向，解題時應強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈敏應用再練一題3假設關于x的不等式|x2|x1|a的解集為，務實數(shù)a的取值范圍【解】法一：令y1|x2|x1|，y2a.y1y1，y2的圖象如下圖由圖可知，當a<3時，|x2|x1|a的解集為.法二：|x2|x1|表示數(shù)軸上的

12、點Ax到B2和C1兩點的間隔 之和，而|BC|3，所以A到B，C兩點的間隔 之和的最小值為3.即對一切xR，總有|x2|x1|3.因為|x2|x1|a的解集為，所以只需a<3即可，所以a的取值范圍是a<3.構(gòu)建·體系1不等式|x|·12x0的解集是A.B，0C.D【解析】原不等式等價于解得x且x0，即x，0.【答案】B2不等式|x2|x2的解集是A，2B，C2，D，22，【解析】原不等式同解于x20，即x2.【答案】A3集合AxR|x1|<2，Z為整數(shù)集，那么集合AZ中所有元素的和等于_【解析】AxR|x1|<2xR|1<x<3集合A中包含的整數(shù)有0,1,2，故AZ0,1,2【答案】34在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為_. 【導學號：94910008】【解析】由于|x2|1|1，即1|x2|11，即|x2|2，所以2x22，所以0x4.【答案】0,45設函數(shù)fx