第1章§3 第1課時(shí)　平均值不等式

1、.§3平均值不等式第1課時(shí)平均值不等式1理解兩個(gè)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值易錯(cuò)、易誤點(diǎn)2掌握平均值不等式性質(zhì)定理，能用性質(zhì)定理證明簡(jiǎn)單的不等式重點(diǎn)、難點(diǎn)根底·初探教材整理平均值不等式閱讀教材P10P12“考慮交流以上部分，完成以下問(wèn)題1定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，有a2b22ab當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“號(hào)2定理2：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a，b，有當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值3定理3：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有a3b3c33abc當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“號(hào)4定理4：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平

2、均值不小于它們的幾何平均值判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1x2.2ex2.3當(dāng)a，b，c不全為正數(shù)時(shí)，成立43.【解析】1×當(dāng)x>0時(shí)，x2，當(dāng)x<0時(shí)，x2.2因?yàn)閑x>0，ex2，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)3×如a1，bc1時(shí)，但1.這時(shí)有<.4×當(dāng)a，b，c同號(hào)時(shí)，均為正數(shù)，有3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)【答案】1×23×4×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型平均值不等式的條件斷定命題：任意x0，lg

3、x2；任意xR，ax2a>0且a1；任意x，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命題有ABCD【精彩點(diǎn)撥】關(guān)鍵看是否滿足平均值不等式【自主解答】在，中，lg xR，sin x1,1，不能確定lg x0與sin x0，因此，是假命題在中，ax0，ax2 2，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)，故是真命題在中，當(dāng)x時(shí)，tan x0，有tan x2，且x時(shí)取等號(hào)，故是真命題【答案】C此題主要涉及平均值不等式成立的條件及取等號(hào)的條件.在定理1和定理2中，“ab是等號(hào)成立的充要條件.但兩個(gè)定理有區(qū)別又有聯(lián)絡(luò)：(1)是a2b22ab的特例，但二者適用范圍不同，前者要求a，b均為正數(shù)，后者只要求a，bR；(

4、2)a，b大于0是的充分不必要條件；a，b為實(shí)數(shù)是a2b22ab的充要條件.再練一題1設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab0，以下不等式中一定成立的個(gè)數(shù)是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910010】2；ab2；ab.A1 B2C3D4【解析】ab0，22，成立；a，b0時(shí)，不成立；，成立；當(dāng)a1，b2時(shí)，不成立因此，成立【答案】B證明簡(jiǎn)單的不等式1a，b，cR.求證：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；2設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.【精彩點(diǎn)撥】此題考察平均值不等式及不等式的性質(zhì)等根底知識(shí)，同時(shí)考察推理論證才能解答此題需要先觀察所求式子的構(gòu)造，然后拆成平均值不等式的和，再進(jìn)展證明【自主解答】1a4b42a2b2，

5、同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，將以上三個(gè)不等式相加得：a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2.2當(dāng)a>0，b>0時(shí)，ab2，22c.同理：22b，22a.將以上三個(gè)不等式相加得：22abc，abc.平均值不等式具有將“和式和“積式互相轉(zhuǎn)化的放縮功能，常常用于證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的構(gòu)造特點(diǎn)，選擇好利用平均值不等式的切入點(diǎn).但應(yīng)注意連續(xù)屢次使用平均值不等式定理的等號(hào)成立的條件是否保持一致.再練一題2設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：abc227.【證明】a0，b0，c0，abc30，從而abc290，又

6、30，abc23·927.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立故原不等式成立探究共研型平均值不等式的變式及條件不等式的證明探究1不等式，成立的條件都是a，b，c為正數(shù)，在條件ba>0成立時(shí)，a，b之間有怎樣的大小關(guān)系？【提示】ab.探究2假設(shè)問(wèn)題中一端出現(xiàn)“和式，另一端出現(xiàn)“積式時(shí)，這便是應(yīng)用不等式的“題眼，那么假設(shè)條件中有“和式為1時(shí)，應(yīng)如何考慮？【提示】應(yīng)用平均值不等式時(shí)，一定要注意條件a>0，b>0，c>0.假設(shè)有“和式為1時(shí)，常反過(guò)來(lái)應(yīng)用“1的代換，即把“1化成“和，再試著應(yīng)用平均值不等式a0，b0，c0，求證：1 ；2abc【精彩點(diǎn)撥】1式兩端均是“和，不能直

7、接利用平均值不等式，解決的關(guān)鍵是對(duì) 的處理，先考慮平方關(guān)系，化難為易；2注意兩邊都是“和式，可利用1題的結(jié)論【自主解答】1a2b22ab，2a2b2ab2， .又a0，b0， .2由1得 ab同理：bc，ac三式相加得：abc當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取“號(hào)1第2問(wèn)利用了第1問(wèn)的結(jié)論 ，記住這一結(jié)論可幫我們找到解題思路，但此不等式要給予證明2一般地，數(shù)學(xué)中的定理、公式提醒了假設(shè)干量之間的本質(zhì)聯(lián)絡(luò)，但不能定格于某種特殊形式，因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是ab，還可以是a2ba0，2ba等解題時(shí)不僅要會(huì)利用原來(lái)的形式，而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用再練一題3a

8、，b0，且ab1，求證：.【證明】因?yàn)閍，b0，且ab1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以ab4，a2b2ab22ab12ab12×，8.a2b2448，所以.構(gòu)建·體系1“a0且b0是“ab2成立的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且xyz6，那么lg xlg ylg z的取值范圍是A，lg 6B，3lg 2Clg 6，D3lg 2，【解析】6xyz3，xyz8，lg xlg ylg zlg xyzlg 83lg 2.【答案】B3設(shè)ab0，把，a，b按從大到小的順序排列是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910011】【解析】ab0，ab.【答案】ab4不等式2成立的充要條件是