計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)思考題（陳耀輝）--綜合練習(xí)題多元線性回歸模型

1、第二部分：多元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的情形相同。主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、模型的估計(jì)、模型的檢驗(yàn)以及模型在預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用等方面。只不過為了多元建模的需要，在基本假設(shè)方面以及檢驗(yàn)方面有所擴(kuò)充。本章仍重點(diǎn)介紹了多元線性回歸模型的基本假設(shè)、估計(jì)方法以及檢驗(yàn)程序。與一元回歸分析相比，多元回歸分析的基本假設(shè)中引入了多個(gè)解釋變量間不存在（完全）多重共線性這一假設(shè)；在檢驗(yàn)部分，一方面引入了修正的可決系數(shù)，另一方面引入了對(duì)多個(gè)解釋變量是否對(duì)被解釋變量有顯著線性影響關(guān)系的聯(lián)合性F檢驗(yàn)，并討論了F檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系。本章的另

2、一個(gè)重點(diǎn)是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學(xué)習(xí)非線性模型如何轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的常見類型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟(jì)含義。本章第三個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)是關(guān)于模型的約束性檢驗(yàn)問題，包括參數(shù)的線性約束與非線性約束檢驗(yàn)。參數(shù)的線性約束檢驗(yàn)包括對(duì)參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)、對(duì)模型增加或減少解釋變量的檢驗(yàn)以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)三方面的內(nèi)容，其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)與鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)兩種類型的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)都是以F檢驗(yàn)為主要檢驗(yàn)工具，以受約束模型與無約束模型是否有顯著差異為檢驗(yàn)基點(diǎn)。參數(shù)的非線性約束檢驗(yàn)主要包括最大似然比檢驗(yàn)、沃爾德檢驗(yàn)與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)。它們?nèi)砸怨烙?jì)無約束模型與受約束模型為基礎(chǔ)

3、，但以最大似然原理進(jìn)行估計(jì)，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個(gè)數(shù)為自由度的分布為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布特征。非線性約束檢驗(yàn)中的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)在后面的章節(jié)中多次使用。二、典型例題分析例1某地區(qū)通過一個(gè)樣本容量為722的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動(dòng)力受教育的一個(gè)回歸方程為 R2=0.214式中，edu為勞動(dòng)力受教育年數(shù)，sibs為該勞動(dòng)力家庭中兄弟姐妹的個(gè)數(shù)，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問（1）sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測(cè)的受教育水平減少一年，需要sibs增加多少？（2）請(qǐng)對(duì)medu的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉?。?）如果兩個(gè)勞動(dòng)力都沒有兄弟姐妹，但

4、其中一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為12年，另一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？解答：（1）預(yù)期sibs對(duì)勞動(dòng)者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個(gè)孩子接受教育的時(shí)間會(huì)越短。根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計(jì)值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加1個(gè)兄弟姐妹，受教育年數(shù)會(huì)減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時(shí)間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個(gè)。（2）medu的系數(shù)表示當(dāng)兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時(shí)，母親每增加1年受教育的機(jī)會(huì)，其子女作為勞動(dòng)者就會(huì)預(yù)期增加0.131年的教育機(jī)

5、會(huì)。（3）首先計(jì)算兩人受教育的年數(shù)分別為10.36+0.131´12+0.210´12=14.45210.36+0.131´16+0.210´16=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷售額（X1）與利潤(rùn)占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個(gè)有32容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下：其中括號(hào)中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。（1）解釋log(X1)的系數(shù)。如果X1增加10%，估計(jì)Y會(huì)變化多少個(gè)百分點(diǎn)？這在經(jīng)濟(jì)上是一個(gè)很大的影響嗎？（2）針對(duì)R&

6、D強(qiáng)度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖X1而變化的假設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個(gè)檢驗(yàn)。（3）利潤(rùn)占銷售額的比重X2對(duì)R&D強(qiáng)度Y是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響？解答：（1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時(shí)，log(x1)變化1個(gè)單位，Y變化的單位數(shù)，即DY=0.32Dlog(X1)»0.32(DX1/X1)=0.32´100%，換言之，當(dāng)企業(yè)銷售X1增長(zhǎng)100%時(shí)，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會(huì)增加0.32個(gè)百分點(diǎn)。由此，如果X1增加10%，Y會(huì)增加0.032個(gè)百分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個(gè)較大的影響。（2）針對(duì)備擇假設(shè)H1：，檢驗(yàn)原假設(shè)H

7、0：。易知計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值為t=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的t 分布的臨界值為1.699（單側(cè)），計(jì)算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著R&D強(qiáng)度不隨銷售額的增加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311，計(jì)算的t 值小于該值，拒絕原假設(shè)，意味著R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而增加。（3）對(duì)X2，參數(shù)估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)值為0.05/0.46=1.087，它比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對(duì)Y在統(tǒng)計(jì)上沒有顯著的影響。例3下表為有關(guān)經(jīng)批準(zhǔn)的私人住房單位及其決定因素的4個(gè)模型的估計(jì)量和相關(guān)統(tǒng)計(jì)值（

8、括號(hào)內(nèi)為p-值）（如果某項(xiàng)為空，則意味著模型中沒有此變量）。數(shù)據(jù)為美國(guó)40個(gè)城市的數(shù)據(jù)。模型如下：式中housing實(shí)際頒發(fā)的建筑許可證數(shù)量，density每平方英里的人口密度，value自由房屋的均值（單位：百美元），income平均家庭的收入（單位：千美元），popchang19801992年的人口增長(zhǎng)百分比，unemp失業(yè)率，localtax人均交納的地方稅，statetax人均繳納的州稅變量模型A模型B模型C模型DC813 (0.74)-392 (0.81)-1279 (0.34)-973 (0.44)Density0.075 (0.43)0.062 (0.32) 0.042 (0.4

9、7)Value-0.855 (0.13)-0.873 (0.11)-0.994 (0.06)-0.778 (0.07)Income110.41 (0.14)133.03 (0.04)125.71 (0.05)116.60 (0.06)Popchang26.77 (0.11)29.19 (0.06)29.41 (0.001)24.86 (0.08)Unemp-76.55 (0.48)Localtax-0.061 (0.95)Statetax-1.006 (0.40)-1.004 (0.37)RSS4.763e+74.843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220

10、.3121.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6（1） 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯中的每一個(gè)回歸系數(shù)在10%水平下是否為零（括號(hào)中的值為雙邊備擇p-值）。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？（2） 在模型A中，在10%水平下檢驗(yàn)聯(lián)合假設(shè)H0：bi =0(i=1,5,6,7)。說明被擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，說明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。說明你的結(jié)論。（3） 哪個(gè)模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標(biāo)準(zhǔn)。（4） 說明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號(hào)是“錯(cuò)誤的”。說明你的預(yù)期符號(hào)并解釋原因。確認(rèn)其

11、是否為正確符號(hào)。解答：（1）直接給出了P-值，所以沒有必要計(jì)算t-統(tǒng)計(jì)值以及查t分布表。根據(jù)題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè)。由于表中所有參數(shù)的p-值都超過了10%，所以沒有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所有解釋變量，則會(huì)得到非常奇怪的結(jié)果。其實(shí)正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時(shí)一定要謹(jǐn)慎，要有所選擇。本例中，value、income、popchang的p-值僅比0.1稍大一點(diǎn)，在略掉unemp、localtax、statetax的模型C中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。（2）針對(duì)聯(lián)合假設(shè)H0：bi =0(i=1,5,6,7)的備擇假設(shè)為H1：bi =0(i=1

12、,5,6,7) 中至少有一個(gè)不為零。檢驗(yàn)假設(shè)H0，實(shí)際上就是參數(shù)的約束性檢驗(yàn)，非約束模型為模型A，約束模型為模型D，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為顯然，在H0假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為（4，32）的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間。顯然，計(jì)算的F值小于臨界值，我們不能拒絕H0，所以i(i=1,5,6,7)是聯(lián)合不顯著的。(3）模型D中的3個(gè)解釋變量全部通過顯著性檢驗(yàn)。盡管R2與殘差平方和較大，但相對(duì)來說其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)的模型。（4）隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會(huì)隨之增加。所以可以預(yù)期3>0，事實(shí)上其估計(jì)值確是大于零的。同樣地，隨著人口

13、的增加，住房需求也會(huì)隨之增加，所以我們預(yù)期4>0，事實(shí)其估計(jì)值也是如此。隨著房屋價(jià)格的上升，我們預(yù)期對(duì)住房的需求人數(shù)減少，即我們預(yù)期3估計(jì)值的符號(hào)為負(fù)，回歸結(jié)果與直覺相符。出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降。雖然模型A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。 4、在經(jīng)典線性模型基本假定下，對(duì)含有三個(gè)自變量的多元回歸模型：你想檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是H0：。 （1）用的方差及其協(xié)方差求出。 （2）寫出檢驗(yàn)H0：的t統(tǒng)計(jì)量。 （3）如果定義，寫出一個(gè)涉及b0、q、b2和b3的回歸方程，以便能直接得到q估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤。解答： （1）由數(shù)理

14、統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知 （2）由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知，其中為的標(biāo)準(zhǔn)差。 （3）由知，代入原模型得這就是所需的模型，其中q估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤都能通過對(duì)該模型進(jìn)行估計(jì)得到。三、習(xí)題（一）基本知識(shí)類題型3-1解釋下列概念：1) 多元線性回歸2) 虛變量3) 正規(guī)方程組4) 無偏性5) 一致性6) 參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間7) 被解釋變量預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間8) 受約束回歸9) 無約束回歸10) 參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)3-2觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數(shù)是否呈線性？或都是？或都不是？1)2)3)4)5)6)7) 3-3多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區(qū)別？3-4為什么說最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無偏估計(jì)量？多元

15、線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計(jì)的條件是什么？3-5多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么？試說明在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性和有效性的過程中，哪些基本假設(shè)起了作用？ 3-6請(qǐng)說明區(qū)間估計(jì)的含義。 （二）基本證明與問答類題型3-7什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型：，的正規(guī)方程組，及其推導(dǎo)過程。3-8對(duì)于多元線性回歸模型，證明：（1）（2）3-9為什么從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型得到的預(yù)測(cè)值不是一個(gè)確定的值？預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間和置信度的含義是什么？在相同的置信度下如何才能縮小置信區(qū)間？為什么？ 3-10在多元線性回歸分析中，檢驗(yàn)與檢驗(yàn)有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否有

16、等價(jià)的作用？3-11設(shè)有模型：，試在下列條件下：（1）（2）分別求出和的最小二乘估計(jì)量。3-12多元線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 1,2,n (2.11.1)的矩陣形式是什么？其中每個(gè)矩陣的含義是什么？熟練地寫出用矩陣表示的該模型的普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量，并證明在滿足基本假設(shè)的情況下該普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量是無偏和有效的估計(jì)量。 3-13有如下生產(chǎn)函數(shù)：（0.257） (0.219) 其中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。請(qǐng)檢驗(yàn)以下零假設(shè)：（1）產(chǎn)出量的資本彈性和勞動(dòng)彈性是等同的；（2）存在不變規(guī)模收益，即 。3-14對(duì)模型應(yīng)用OLS法，得到回歸方程如下：要求：證明殘差與不相關(guān)，即：。3-15 3-16考慮下列兩

17、個(gè)模型：、要求：（1）證明： ， ，（2）證明：殘差的最小二乘估計(jì)量相同，即：（3）在何種情況下，模型的擬合優(yōu)度會(huì)小于模型擬合優(yōu)度。 3-17假設(shè)要求你建立一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來說明在學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個(gè)學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩個(gè)可能的解釋性方程：方程A： 方程B： 其中：某天慢跑者的人數(shù) 該天降雨的英寸數(shù)該天日照的小時(shí)數(shù)該天的最高溫度（按華氏溫度）第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)請(qǐng)回答下列問題：（1）這兩個(gè)方程你認(rèn)為哪個(gè)更合理些，為什么？（2）為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計(jì)相同變量的系數(shù)得到不同的符號(hào)？3-18對(duì)下列模型： （1） （2

18、）求出的最小二乘估計(jì)值；并將結(jié)果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計(jì)值作比較：（3） ，你認(rèn)為哪一個(gè)估計(jì)值更好？3-19假定以校園內(nèi)食堂每天賣出的盒飯數(shù)量作為被解釋變量，盒飯價(jià)格、氣溫、附近餐廳的盒飯價(jià)格、學(xué)校當(dāng)日的學(xué)生數(shù)量（單位：千人）作為解釋變量，進(jìn)行回歸分析；假設(shè)不管是否有假期，食堂都營(yíng)業(yè)。不幸的是，食堂內(nèi)的計(jì)算機(jī)被一次病毒侵犯，所有的存儲(chǔ)丟失，無法恢復(fù)，你不能說出獨(dú)立變量分別代表著哪一項(xiàng)！下面是回歸結(jié)果（括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差）： （2.6） (6.3) (0.61) (5.9) 要求：（1）試判定每項(xiàng)結(jié)果對(duì)應(yīng)著哪一個(gè)變量？（2）對(duì)你的判定結(jié)論做出說明。 （三）基本計(jì)算類題型3-20試對(duì)二元線

19、性回歸模型： ，（）作回歸分析，要求：（1）求出未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)量；（2）求出隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)量；（3）對(duì)樣本回歸方程作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；（4）對(duì)總體回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)；（5）對(duì)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)；（6）當(dāng)時(shí)，寫出和Y0的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。3-21下表給出三變量模型的回歸結(jié)果：方差來源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值(MSS)來自回歸(ESS)65965來自殘差(RSS)_總離差(TSS)6604214要求：（1）樣本容量是多少？（2）求RSS？（3）ESS和RSS的自由度各是多少？（4）求和？（5）檢驗(yàn)假設(shè)：和對(duì)無影響。你用什么假設(shè)檢驗(yàn)？為什么？（6）根據(jù)

20、以上信息，你能否確定和各自對(duì)的貢獻(xiàn)嗎？3-22下面給出依據(jù)15個(gè)觀察值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)： ， ， ， ， ， ， 其中小寫字母代表了各值與其樣本均值的離差。要求：（1）估計(jì)三個(gè)多元回歸系數(shù)；（2）估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差；并求出與？（3）估計(jì)、95%的置信區(qū)間；（4）在下，檢驗(yàn)估計(jì)的每個(gè)回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性（雙邊檢驗(yàn)）；（5）檢驗(yàn)在下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。3-23考慮以下方程（括號(hào)內(nèi)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）：（0.080） (0.072) (0.658) 其中：年的每位雇員的工資和薪水年的物價(jià)水平年的失業(yè)率要求：（1）對(duì)個(gè)人收入估計(jì)的斜率系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；（盡量在做本題之前不參考結(jié)果）（2）討論

21、在理論上的正確性，對(duì)本模型的正確性進(jìn)行討論；是否應(yīng)從方程中刪除？為什么？3-24下表是某種商品的需求量、價(jià)格和消費(fèi)者收入十年的時(shí)間序列資料：年份12345678910需求量（噸）Y59190654506236064700674006444068000724007571070680價(jià)格(元)X123.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68收入(元)X27620091200106700111600119000129200143400159600180000193000要求：（1）已知商品需求量是其價(jià)格和消費(fèi)者收入的函數(shù)，試求對(duì)和的最小二乘回歸

22、方程：（2）求的總變差中未被和解釋的部分，并對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；（3）對(duì)回歸參數(shù)，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。3-25參考習(xí)題2-28給出的數(shù)據(jù)，要求：（1）建立一個(gè)多元回歸模型，解釋MBA畢業(yè)生的平均初職工資，并且求出回歸結(jié)果；（2）如果模型中包括了GPA和GMAT分?jǐn)?shù)這兩個(gè)解釋變量，先驗(yàn)地，你可能會(huì)遇到什么問題，為什么？（3）如果學(xué)費(fèi)這一變量的系數(shù)為正、并且在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，是否表示進(jìn)入最昂貴的商業(yè)學(xué)校是值得的。學(xué)費(fèi)這個(gè)變量可用什么來代替？ 3-26經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用于購(gòu)買書籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和其家庭收入水平有關(guān)，對(duì)18名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：學(xué)生序號(hào)購(gòu)買書籍及課外讀物支出（元/年）受教育年限 （年）家庭月可支配收入（元/月）1450.54171.22507.74174.23613.95204.34563.44218.75501.54219.46781.57240.47541.84273.58611.15294.891222.110330.210793.27333.111660.85366.012792.76350.