難點(diǎn)突破立體圖形的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題

1、2019屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案18：難點(diǎn)突破：立體圖形的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)與概念：1球的截面：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截面是圓大圓：截面過(guò)球心，半徑等于球半徑（截面圓中最大）；小圓：截面不過(guò)球心2球心和截面圓心的連線垂直于截面3球心到截面的距離與球半徑及截面圓半徑的關(guān)系：4幾何體的外接球：幾何體的頂點(diǎn)都在球面上；幾何體的內(nèi)切球：球與幾何體的各個(gè)面都相切二、多面體的外接球（球包體）模型1：球包直柱（直錐）：有垂直于底面的側(cè)棱（有垂底側(cè)邊棱）球包直柱球徑公式：，（為底面外接圓半徑）球包正方體球包長(zhǎng)方體球包四棱柱球包三棱柱球包直錐三棱錐四棱錐速算 模型2：“

2、頂點(diǎn)連心”錐：錐體的頂點(diǎn)及球心在底面的投影都是底面多邊形外接圓的圓心（兩心一頂連成線）實(shí)例：正棱錐球徑計(jì)算方程：，（為棱錐的高，為底面外接圓半徑）特別地，（1）邊長(zhǎng)為正四面體的外接球半徑：_（2）底面邊長(zhǎng)為，高為的正三棱錐的外接球半徑：_（3）底面邊長(zhǎng)為，高為的正四棱錐的外接球半徑：_例：1（2017年全國(guó)卷III第8題）已知圓柱的高為，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A B C D 【解析】模式辨識(shí)：“球包體”中的“垂底側(cè)邊棱（母線）”類型，底面半徑為，則由得：， 2（2010年全國(guó)新課標(biāo)卷第10題）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，

3、則該球的表面積為A B C D 【解析】“球包體”中的“垂底側(cè)邊棱”類型，所以該球的表面積答案B3（2014年全國(guó)大綱卷第8題）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為A B C D 【解析】模式辨識(shí)：“球包體”中的“頂點(diǎn)連心錐”，則，所以，答案：A 4（2013年全國(guó)卷I第6題）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為A B C D【解析】設(shè)水面與球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）為，球心為，則垂直于正方體的上表面，依題意到正方體上表面的距離為，球與正方體

4、上表面相交圓的半徑，有：，所以球的體積三、定心大法：球心在過(guò)截面圓的圓心且垂直于截面圓所在平面的直線上兩圓定心法：如下圖，過(guò)兩個(gè)截面圓的圓心分別作相應(yīng)截面圓的垂線，由兩垂線的交點(diǎn)確定圓心例2：1已知邊長(zhǎng)為的棱形中，現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得二面角為，此時(shí)點(diǎn)，在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A B C D 2在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為_(kāi)3在邊長(zhǎng)為的菱形中，沿對(duì)角線將菱形折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)四、正多面體的內(nèi)切球（體中球）錐體的內(nèi)切球：_圓錐的內(nèi)切球：邊長(zhǎng)為的正方體：等邊圓柱（母線）：邊長(zhǎng)的正八面體：五、正多面體的“切邊球”（與所有的棱都相切的球

5、）正四面體邊長(zhǎng)為，球半徑正方體邊長(zhǎng)為，球半徑正四面體邊長(zhǎng)為，球半徑例3：1一個(gè)球的外切正方體的全面積為，則球的體積為_(kāi)2某圓錐的截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)3（2016年全國(guó)卷III第10題）在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，則的最大值是A BC D【解析】考查直三棱柱中截面的內(nèi)切圓為球的大圓的情景，有，故當(dāng)球半徑為時(shí)球的體積最大為答案B練習(xí)：1（2015年全國(guó)卷II第9題）已知，是球的球面上兩點(diǎn)，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為A B C D 2（2016年福建漳州市5月質(zhì)檢）三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐的外接球的表面

6、積為（）A B C D3（2014年湖南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ）A B C D 4（2013年遼寧卷理10）已知三棱柱的個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球的半徑為（）A B C D 5（2012年全國(guó)新課標(biāo)卷第11題）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A B C D 6在正三棱錐中，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（）AB C D7已知底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ）A B C D 8（2017年福建省質(zhì)檢）空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且，若，則該球的半徑等于A B C D9若三棱錐的最長(zhǎng)的棱，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是_10（2008年高考浙江卷理14）已知球的面上四點(diǎn)、，平面，則球的體積為_(kāi)11（2016年?yáng)|北三省三校聯(lián)考）三棱柱各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，側(cè)棱與底面垂直，則這個(gè)球的表面積為_(kāi)12在三棱柱中，側(cè)棱垂直底面，且三棱柱的體積為，則三棱柱的外接球表面積為_(kāi)13在正三棱錐中，分別是棱、的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是_14在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)15（2