函數(shù)與導(dǎo)數(shù)MicrosoftWord文檔

1、一. 定義域1.基本: 定義域通常實(shí)際背景和使式子有意義兩部確定,I>分母0.II>偶次方根被開(kāi)方數(shù)非負(fù).III>定義式中的規(guī)定(a=1(a0).Iv>求交集.2.復(fù)合函數(shù)定義式:I>若f(x)定義式為a,b則fg(x)有ag(x)b,II> fg(x) 定義域指x的取值范圍(如fg(x) 定義式為a,b則axb,III>已知fg(x)的解析式求f(t)定義域:先求f(t)的解析式,再求t范圍.IV>.已知fg(x)的解析式,求fh(x)定義域: 先求f(t) 定義域?yàn)閍,b再由ah(x)b求x范圍.總之定義域是自變量x的取值范圍.二.值域常用方

2、法L(1)配方法(形如y=ax+bx+c(a0)型)(2)分離常數(shù)法(形如y=(分子次數(shù)分母次數(shù))化成y=k+形式,以(h,k)為中心的反比例函數(shù))(3)判別式法(形如y=(能化為一元二次方程)(4)換元法(形如y=ax+b+或y=此類型用三角換元型,此類還可以用單調(diào)性或?qū)?shù)方法求解)(5)圖像法(形如y=型)(6)單調(diào)性(7)反函數(shù)(形如y=)(8)均值不等式(9) 導(dǎo)數(shù) 常用均值不等式的應(yīng)用L(1)x+2(x>0), x+-2(x<0)(2)x(1-2x)=.2x.(1-2x)(3)x+=x+(4)x(1-2x)=(5)(6)以上均注意“配式”及“等號(hào)”成立的條件三函數(shù)的單調(diào)性

3、(1) 定義:對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x).(i) 如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)變量的值則就說(shuō)f(x)在此區(qū)間上是增(或減)函數(shù)(ii)若y=f(x)在某區(qū)間上是增(或減) 函數(shù),就說(shuō)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫f(x)的單調(diào)區(qū)間.(iii)對(duì)于些點(diǎn)不連續(xù)的函數(shù),單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點(diǎn),如y=在x=0不屬于定義域,故它只能在單調(diào)減區(qū)間(2) 單調(diào)性判定方法:1>從圖象上略觀察2>用定義(步驟:I>設(shè)II>作差I(lǐng)II>看號(hào)碼3>轉(zhuǎn)化為熟知函數(shù)4>導(dǎo)數(shù)5>復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(若6>配式(適合于抽象函數(shù))(構(gòu)造法)(說(shuō)明:

4、奇,偶函數(shù)只需判斷原點(diǎn)左(或右)側(cè)單調(diào)性,另一部份利用其性質(zhì)判定)(3) 最值(1)I>定義:<1>(即M在值域內(nèi)),則稱f(x)在a,b上的最大(或最小)值為M.<2>從圖像上看最高(或最低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為最大(或最小)值.其中稱為最大(或最小)值點(diǎn)。II>求最值方法與求值域方法類似.但注意二者區(qū)別,如f(x)在(a,b)有值域,不一定有最值(.4).重要結(jié)論I>反比例函數(shù)II>圖像 (1) (2) (3) (4) y=x+ 用途:求最值III>.1.一次函數(shù)，二次函數(shù):1.> 一次函數(shù)的解析式:y=kx+b(k0),b叫一次函數(shù)y在

5、軸上的截距。圖像和性質(zhì)。2>. 二次函數(shù)的三種表示形式:y=ax+bx+c=a(x+)+=a(x-) (x-x)(a0),圖像和性質(zhì),及a,b,c的作用,例如a確定開(kāi)口方向,形狀,開(kāi)口大小,a.2>二次函數(shù)是偶函數(shù)b=0.推廣:多行式為偶函數(shù)奇次項(xiàng)系數(shù)為0; 多行式為奇函數(shù)偶次項(xiàng)系數(shù)為0(包括常數(shù)項(xiàng)). 2.二次函數(shù)最值問(wèn)題: 二次函數(shù)在p,q上最值問(wèn)題（分對(duì)稱軸在區(qū)間左，中，右三種情況討論）.3.恒成立問(wèn)題 I> 1>注意的區(qū)別.例如 I>使f(x)取遍所有正數(shù),定義域只需f(x)>0即可II>.定義域?yàn)镽f(x)>0恒成立其解集為R。說(shuō)明:1

6、.a>f(x)(或<f(x)恒成立,而f(x)的最值不易求,可對(duì)a分類討論求解,合適部分取,不合適部分舉反例舍之(尤其與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題).23說(shuō)明：若f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)y=f(x)圖象位于y=g(x)圖象上方2>恒成立3>一元二次不等式(或方程)在p,q恒成立(或有解)求參數(shù)范圍問(wèn)題的處理策略:i>分離變量法.ii>數(shù)行結(jié)合iii>對(duì)“對(duì)稱軸”在p,q左,中,右討論找最值iiii>根的分布(實(shí)質(zhì)是用函數(shù)的觀點(diǎn)解決方程或不等式，一元二次不等式(或方程)對(duì)“,對(duì)稱軸與端點(diǎn)關(guān)系, 端點(diǎn)與函數(shù)值符號(hào)” 討論；一般情況根的

7、分布和零點(diǎn)問(wèn)題解題方法：一元二次問(wèn)題（見(jiàn)下面）；數(shù)形結(jié)合；分離常數(shù)法)(1)i>一元二次方程在R上有解ii>一元二次方程在上有解及韋達(dá)定理求解iii>一元二次方程在p,q 有解,據(jù)在p,q有無(wú)根,一根, 兩根 討論.(2)i>一元二次不等式在R上恒成立及二項(xiàng)式系數(shù)符號(hào)ii>一元二次不等式在p,q恒成立可用述 iiiii方法求解。說(shuō)明：解題歸納:<1>與函數(shù)f(x) 相關(guān):i>若f(x)定義域?yàn)锳且f(x)在集合B上有意義,則BA.ii> f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間為A且f(x)在區(qū)間B上單調(diào)增(或減), 則BA.i>.ii>關(guān)

8、鍵字是“在”. 例如：集合與恒成立關(guān)系：集合A在B上恒成立BA；f(x)在a,b上單調(diào)遞增 0在a,b上恒成立；其中恒成立問(wèn)題解題方法：（1）分離常數(shù)法（2）數(shù)形結(jié)合（3）根的分布（函數(shù)觀點(diǎn)）。(iii>若f(x)值域?yàn)锳且f(x)取值范圍為B,則AB.四函數(shù)奇偶性L(1)定義: 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且f(-x)=±f(x)稱偶(或奇) 函數(shù)(2)性質(zhì)1>奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱且f(x)=f(x)反只亦然.2>兩奇(或偶) 函數(shù)之積(或商)為偶函數(shù);一奇一偶 函數(shù)之積(或商)為奇函數(shù)3>I>f(x)為奇函數(shù)且x=0處有定義f(0)=0II&

9、gt;f(x)為奇函數(shù):若0,+則f(x)在R;若(0,+則f(x)只能說(shuō)在(3) 復(fù)合函數(shù)的奇偶性:I>f(x)為偶函數(shù)則f-(x+1)=f(-x-1)=f(x+1);f(x+1)為偶函數(shù),設(shè)g(x)=f(x+1)則g(-x)=g(x)即f(-x+1)=f(x+1)II>f(x)為奇函數(shù),則f-(x+1)=-f(x+1);f(x+1)為奇函數(shù)則f(-x+1)=-f(x+1)(4)判定方法:1>定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且f(-x)=±f(x)(或變行式).2>圖象法3>性質(zhì)五函數(shù)周期性(1) 定義:當(dāng)x在定義域每一個(gè)值都有f(x+T)=f(x)則T為f(x)的

10、一個(gè)周期(x+T必須在定義域)(2)性質(zhì):I>若T為f(x)的一個(gè)周期則nT亦為f(x)周期;無(wú)數(shù)個(gè)周期中,其中最小正的周期叫最小正周期(不是所有周期函數(shù)都有最小正周期).沒(méi)有特殊說(shuō)明一般指最小正周期II>由定義f(x+T)=f(x)知x系數(shù)相同可考慮周期如f(x+a)=-f(x)或或等可由f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)T=2aIII>y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)則f(x)恒為0,這樣的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)(定義域不定)（3）周期的求法:I>定義II>性質(zhì):據(jù)f(x)與同周期III>圖像法六、圖像變換 1.平移變換(只與x,y有關(guān),即向負(fù)軸方向移為“+

11、”,向正軸方向移為“-”) y=f(x)y=f(x)+k(或y=f(x)-k) 2.伸縮變換(只與x,y系數(shù)即x,y前面系數(shù)變化值與伸縮變化倍數(shù)互為倒數(shù))3對(duì)稱變換：一、特殊對(duì)稱及軸對(duì)稱變換1>關(guān)于原點(diǎn),x軸,y軸,y=x,y=-x對(duì)稱特征2>作圖：I>y=f(x)圖象可將y=f(x)圖象x軸下方圖沿x軸翻折到x軸上方,其余部分不變.II>y=f(x)作y=f(x)的x0的圖象,再作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象 III>y=;均關(guān)于直線kx+b=0對(duì)稱。3>.軸對(duì)稱(1)特例:y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱(2)一般情況f(a+x)=f(b-x)y=f(a+x)與y=f(

12、b-x)兩圖象關(guān)于x+a=b-x即x=對(duì)稱4>復(fù)合函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題:y=f(2x)關(guān)于x=1對(duì)稱,則y=f(x)關(guān)于x=2×1=2對(duì)稱;y=f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱則y=f(2x)關(guān)于2x=1即x=.5>.一般對(duì)稱I）軸對(duì)稱為PP為中垂線二、.中心對(duì)稱問(wèn)題:（1）關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱,證明方法I>即證;II>(常用于抽象函數(shù)) 在y=f(x)上成中心對(duì)稱,即證y=f(x)上任兩點(diǎn)關(guān)于(a,b)對(duì)稱（2）若f(a+x)=-f(b-x),則y=f(x)關(guān)于(,0)對(duì)稱;y=f(x)關(guān)于M(a,b)對(duì)稱f(a+x)+f(a-x)=2b;歸納：I）中心對(duì)稱問(wèn)題:f(x

13、)+f(2a-x)=2b的對(duì)稱中心II）中心對(duì)稱:點(diǎn)O為的中點(diǎn)4作圖方法I描點(diǎn)法II變換作圖（平移，對(duì)稱，伸縮） 圖 (1) 圖 (2)5解題歸納：(1)對(duì)稱與周期的綜合:y=f(x)關(guān)于(a,0)和(b,0)對(duì)稱,則y=f(x)以2(b-a)為周期；y=f(x) 關(guān)于(a,c)及x=b對(duì)稱,則y=f(x)以T=4(b-a)(b>a)為周期;f(x)為奇，偶函數(shù)且關(guān)于x=a對(duì)稱;則y=f(x)分別以T=4a,2a為周期。y=f(x)關(guān)于x=m和x=n對(duì)稱,則y=f(x)以T=2m-n周期.歸納：對(duì)稱與周期關(guān)系：有兩對(duì)稱，則必為周期函數(shù)，可利用三角圖象記憶。（2）x系數(shù)互為相反數(shù)可考慮對(duì)稱

14、,x系數(shù)相同可考慮周期.(3)已知y=f(x)在某區(qū)間上解析式求另一區(qū)間上解析式方法:方法1:利用周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式內(nèi);方法2:圖象法(尤其是一次,二次函數(shù))七、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法:求根；存在性定理；數(shù)形結(jié)合八.由導(dǎo)數(shù)圖像可得原函數(shù)(1)單調(diào)性(2)極值(3)凹凸性，如,如九.三次函數(shù)與四次函數(shù)相關(guān)結(jié)論1>有唯一對(duì)稱中心, 對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)與其導(dǎo)數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.2>.以對(duì)稱中心為切點(diǎn)的切線有且僅有一條.如y=,對(duì)稱中心為(0,0),中心為切點(diǎn)的切線僅有x軸.3>.設(shè)f(x)的對(duì)稱中心為（P在f(x)的圖象上）是圖象上關(guān)于P的兩對(duì)稱點(diǎn)，則由對(duì)稱性可知，f(x)在A

15、,B兩點(diǎn)處斜率相等，即；從而求點(diǎn)的坐標(biāo)。說(shuō)明:I >之根為三次多項(xiàng)式對(duì)稱中心的橫坐標(biāo); 為四次多項(xiàng)式對(duì)稱軸.II>對(duì)圓或圓錐曲線求導(dǎo)可利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法進(jìn)行.(與大學(xué)有關(guān)知識(shí)還有中值定理（零點(diǎn)存在性定理）,兩邊夾法則,洛比達(dá)法則,二階求導(dǎo)).十有關(guān)切線問(wèn)題I>（）為切線上另一點(diǎn)。PII>P在y=f(x)外,設(shè)切點(diǎn)為III>切線斜率k不存在時(shí),利用數(shù)形結(jié)合求解IV>.注意在點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)P切線區(qū)別.十一.單調(diào)性I>(充分性)設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若則f(x)為增(或減)函數(shù)(適合于求已知函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間)II>(必要性)已知函數(shù)f(x)

16、在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或減),則.III>(充要性) 已知函數(shù)f(x) 在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或減),則且不恒為0(適合于求參數(shù)范圍)極值點(diǎn)處特征I>代數(shù)特征: =0或不存在.II>幾何特征:=0或不存在.(4)I>可導(dǎo)函數(shù)f(x)在處存在極值=0且在兩側(cè)異號(hào).II>函數(shù)f(x) 在處存在極值=0且在兩側(cè)異號(hào)或不存在,如右圖.5. =0既不是函數(shù)f(x)在處取極值的充分條件,也不是必要條件.6解題小結(jié):I> (0,1)恒成立,則 a0 若在 0,1 恒成立則 a<0。II>端點(diǎn)處連續(xù),則加“”.III>兩單調(diào)區(qū)間一般不能用“”, 應(yīng)單獨(dú)

17、寫用“和”字連接.IV>若f(x) 存在極值且=>0而不是0.V>區(qū)間端點(diǎn)不能為極值點(diǎn),但可以為最值點(diǎn)十二.導(dǎo)函應(yīng)用:1>單調(diào)性.2>極值和最值.3>在物理上應(yīng)用 (如；).4>近似計(jì)算().5>不等式:I>證不等式(函數(shù)不等式證明方法1>.單調(diào)性.2>導(dǎo)數(shù):步驟:構(gòu)造函數(shù)F(x),利用導(dǎo)數(shù)求最值,據(jù)F(x)或F（x）進(jìn)行證明.II>求參數(shù)a的范圍:如a>f(x)恒成立(利用導(dǎo)數(shù)畫草圖求f(x)最值或當(dāng)f(x)最值不易求時(shí),有時(shí)進(jìn)行分類討論或.7>判斷方程的根的情況I>可利用中值定理.II>求參數(shù)a

18、的范圍:如利用導(dǎo)數(shù)畫草圖(當(dāng)x或開(kāi)區(qū)間時(shí),有時(shí)利用極限找其變化情況):據(jù)數(shù)形結(jié)合a=f(x)(即a可分離出來(lái))或構(gòu)造函數(shù)F(x)=0(即a不易分離出來(lái))利用極值符號(hào)求解(包括兩曲線有交點(diǎn)的題型).十三.定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用:1、求曲邊梯形的面積;S=2、 物理上的應(yīng)用;路程：s=vt=v(t)位移s=;路程S=.功;W=FSF(x) W=(力與位移同向，F(xiàn)（x）0)典型例題 1、（2013年重慶（理）若,則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )A.和內(nèi) B.和內(nèi) C.和內(nèi) D.和內(nèi)2、2013年高考四川卷（理）設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若曲線上存在使得,則的取值范圍是( )(A) (B) (C) (

19、D)3、（2013年大綱版（理）已知函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)?A) (B) (C) (D)4、（2013年高考四川卷（理）函數(shù)的圖象大致是( )5、（2013年遼寧（理）已知函設(shè)表示中的較大值,表示中的較小值,記得最小值為得最小值為,則 (A) (B) (C) (D)6、（2013年安徽（理）若函數(shù)有極值點(diǎn),且,則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是(A)3 (B)4 (C) 5 (D)67、（2013年高考新課標(biāo)1（理）若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則的最大值是_.8、（2013年高考湖南卷（理）設(shè)函數(shù)(1)記集合,則所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi).(2)若_.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))若9、（2013年安徽（理）設(shè)函數(shù),其中,區(qū)間()求的長(zhǎng)度(注:區(qū)間的長(zhǎng)度定義為);()給定常數(shù),當(dāng)時(shí),求長(zhǎng)度的最小值.10、（2013年高考湖北卷（理）已知為常數(shù),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則（）AB CD11、（2013年遼寧（理）設(shè)（）A有極大值,無(wú)極小值B有極小值,無(wú)極大值 C既有極大值又有極小值D既無(wú)極大值也無(wú)極小值12、（2013