方差為什么要除以n-1

1、?我的愛與不愛樣本方差為什么是除以n - 1不要bs話說這個問題從中學(xué)開始就困擾著我，可是課本上通常都是語焉不 詳一筆帶過，似乎是很顯然的樣子，搞得我一度無限懷疑自己的智商。最近仔 細看了看書，整理了一下思路，終于把它推倒了。趕緊記下來，請各位過路的 大牛指教。下面的推倒過程需要兩個結(jié)論，在這里不加證明了，基本上概率書上都有。(1)對于任意兩個隨機變量X,Y都有E(X+Y) = E(X) + E(Y)，和的期望等于期望的和(2) V(X) = E(XA2)- E(X)A2，方差等于平方的期望減去期望的平方。(3)若X,Y 獨立，有 V(X+Y) = V(X) + V(Y)。另外還有 E(aX+

2、b) = aE(X) + b, V(aX+b) = aA2*V(X)從頭來說，有這么個隨機變量X，我們不知道它的分布，但是我們可以獲得很 多個滿足同樣分布的樣本Xi，現(xiàn)在我們要從這些樣本里估計這個隨機分布的一 些信息，比如它的均值(所謂總體均值)和方差(所謂總體方差)。當(dāng)然我們 想讓我們的估計盡可能地準(zhǔn)確，判斷準(zhǔn)確與否的一個標(biāo)準(zhǔn)(不是唯一標(biāo)準(zhǔn))就 是看它是不是“無偏估計(unbiased estimation)，所謂無偏估計就是說這個估計的期望值(每個樣本都是一個隨機變量，估計值是由這樣樣本算出來 的，所以也是個隨機變量，也有期望方差等等概念)就是真實值。比如最簡單的，樣本均值:.=就是一個無

3、偏估計，因為我們可以證明:匚U -:;:Eg = E(皿倍)=謬(央兀)=*出兀)=P這里第三個等號用到了結(jié)論(1)。這個樣本均值比較自然而符合直觀，加起來一除自然是平均值。但下面不太符 合直觀的來了，樣本方差的無偏估計是疣=占必兀-凡)這里的就是上面那個樣本均值。這里就比較別扭了，因為感覺上應(yīng)該是除以n才對，怎么會冒出一個n-1來？但是下面我們可以證明 . ：.:. 一：推倒前還需要一個東西， 的方差：卜X)= v(i兀)=占=呼下面可以開始了：這里后面那個E分成了三部分，第一部分出4胛U 龍兇U 叩的+ E鄧=如+ P3)這里第二個等號利用結(jié)論(2)關(guān)于第二部分和第三部分，實際上有曰二兀耳

4、2曰刀二乂勺=訶凡勺這個只要把代入展開就可以發(fā)現(xiàn)，所以后面兩項就只剩下了f：m，而= T(凡十曰兀護三弓十護代入起來就有 -。故得證。最后說一句，“無偏”不是必須的，比如我們就除以n了： S = (X1+X2+ +Xn)/n，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)n趨于無窮時，這個S 和前面的樣本方差是無限趨近 的，這樣的結(jié)果實際上也是不錯的。標(biāo)簽：樣本方差，統(tǒng)計代入起來就有J -故得。最后說一句，“無偏”不是必須的，比如我們就除以n了： S = (X1+X2+ +Xn)/n，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)n趨于無窮時，這個S 和前面的樣本方差是無限趨近 的，這樣的結(jié)果實際上也是不錯的。標(biāo)簽：樣本方差，統(tǒng)計這篇文章發(fā)布于 2009年10月1

5、0日，星期六，00:14，歸類于 所謂學(xué)術(shù)。您可以跟 蹤這篇文章的評論通過RSS 2.0 feed。 您可以留下評論，或者從您的站點trackback 。6條評論發(fā)表在“樣本方差為什么是除以n - 1上spri ng 說：2009-10-10 于 10:20思路很清晰，贊?？闯鲆粋€小錯誤：“推倒”應(yīng)為“推導(dǎo)”，容易曲解。RoBa 說：2009-10-10 于 11:58其實我是故意的nimda 說：2009-10-10 于 12:15偶原來也對這個有疑問后來不知道看啥搞清楚了-crazyc ony說：2009-10-12 于 08:41您上概率課的時候沒有好好聽講=,=，我記得美女老師給我們解釋了為 啥是n-1 了，嘻嘻嘻madon gfly說：2009-10-13 于 14:45呵呵，如果不是故意把“推導(dǎo)”說成“推倒”，我也不會看完的了darks un 說：2009-10-14 于 11:21我們誤差分析課