第2章 2.1　柯西不等式

1、.2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其參數(shù)配方法的證明1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義.2.通過(guò)運(yùn)用柯西不等式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.根底·初探教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實(shí)數(shù)，那么aabba1b1a2b22.2.柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，那么|·|.3.柯西不等式的三角不等式：|.4.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，an，b1，b2，bn為實(shí)數(shù)，那么aaabbb|a1b1a2b2anbn|，其中等號(hào)成立當(dāng)某bj0時(shí)，認(rèn)為aj0，j1,2

2、，n.教材整理2參數(shù)配方法利用二次三項(xiàng)式的判別式證明柯西不等式的方法稱為參數(shù)配方法.不等式xy9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，那么正實(shí)數(shù)a的最小值為A.2B.4C.6D.8【解析】由柯西不等式可求出xy12，當(dāng)x1，y時(shí)，xy的最小值是12，故只需129，即a4即可.【答案】B質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型利用柯西不等式證明不等式a，b，x，y都是正數(shù)，且ab1，求證：ax1bx2bx1ax2x1x2.【精彩點(diǎn)撥】假如對(duì)不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要證明的結(jié)論.假設(shè)把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)

3、的兩項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，再應(yīng)用柯西不等式即可得證.【自主解答】a，b，x，y大于0，ax1bx2bx1ax2ax1bx2ax2bx1ab2ab2x1x2.又因?yàn)閍b1，所以ab2x1x2x1x2，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)成立.所以ax1bx2bx1ax2x1x2.1.利用二維形式的柯西不等式證明時(shí)，要抓住柯西不等式的構(gòu)造特征，必要時(shí)，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形.2.變形往往要求具有很高的技巧，必須擅長(zhǎng)分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到打破口.再練一題1.設(shè)x1，x2，xn為正數(shù)，求證：x1x2xnn2.【證明】由柯西不等式

4、得x1x2xnn2，x1x2xnn2.利用柯西不等式求最值設(shè)xyz1，求函數(shù)u2x23y2z2的最小值.【精彩點(diǎn)撥】由xyz1以及u2x23y2z2的形式，聯(lián)想柯西不等式，構(gòu)造因式解決問(wèn)題.【自主解答】由xyz·x·y1·z.根據(jù)柯西不等式，有·2x23y2z22x23y2z2，因此1xyz22x23y2z2，u2x23y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號(hào)成立.x，y，z代入xyz1，得x，y，z時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)u2x23y2z2的最小值是.1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等號(hào)成立的條件，而且要擅長(zhǎng)對(duì)目的函數(shù)配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.2.常用的配湊的

5、技巧有：1巧拆常數(shù)；2重新安排某些項(xiàng)的次序；3適當(dāng)添項(xiàng)；4適當(dāng)改變構(gòu)造，從而到達(dá)運(yùn)用柯西不等式求最值.再練一題2.假設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y2z29，那么x2y3z的最大值是_.【解析】由柯西不等式得x2y3z212232·x2y2z214×9，故x2y3z3，所以x2y3z的最大值是3.【答案】3運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】“恒成立問(wèn)題需求的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值.【自主解答】x>0，y>0，z>0，且xyzxyz，1.又，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，即xyz時(shí)等號(hào)成立，的最大

6、值為.故恒成立時(shí)，應(yīng)有.因此的取值范圍是.此題也是通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化應(yīng)用柯西不等式，由此可見(jiàn)，應(yīng)用柯西不等式，首先要對(duì)不等式形式、條件純熟掌握，然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性的應(yīng)用定理.再練一題3.函數(shù)fx2.假設(shè)關(guān)于x的不等式fx|m2|恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】由柯西不等式得222212·|22|25，所以fx25.當(dāng)且僅當(dāng)，即x4時(shí)，等號(hào)成立.又不等式fx|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7或m3.故m的取值范圍為，37，.探究共研型柯西不等式的應(yīng)用探究1在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號(hào)的條件可以寫(xiě)成嗎？【提示】不可以.當(dāng)b·d0時(shí)，柯西不等式成立，但不成

7、立.探究2在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3.那么二維柯西不等式的三角形式又是怎樣表達(dá)的呢？【提示】根據(jù)二維柯西不等式的幾何意義，在ABC中，三角形式的柯西不等式為.探究3在一般形式的柯西不等式中，等號(hào)成立的條件記為aikbii1,2,3，n，可以嗎？【提示】不可以.假設(shè)bi0而ai0，那么k不存在.探究4利用柯西不等式時(shí)，常用的變形技巧有哪些？【提示】柯西不等式形式優(yōu)美，有重要的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)用柯西不等式解題的關(guān)鍵是恰到好處的變形，常用的變形技巧有：1等價(jià)變形，將要解決的不等式問(wèn)題作等價(jià)變形，構(gòu)造出幾個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與另n個(gè)實(shí)數(shù)平方和的乘積的形

8、式.2配輔助式，為了應(yīng)用柯西不等式，有時(shí)要根據(jù)所證不等式的構(gòu)造特征，結(jié)合柯西不等式等號(hào)成立的條件，配湊適當(dāng)?shù)妮o助式，使問(wèn)題獲證.3適當(dāng)換元，有時(shí)根據(jù)所證不等式的構(gòu)造特征適當(dāng)換元，轉(zhuǎn)化為容易應(yīng)用柯西不等式的構(gòu)造特征，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解.4配系數(shù)，為了應(yīng)用柯西不等式溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)絡(luò)，有時(shí)要通過(guò)巧配系數(shù)來(lái)完成.3x22y26，求證：2xy.【精彩點(diǎn)撥】將不等式2xy的左邊湊成柯西不等式的形式，然后證明.【自主解答】2xy·x·y.由柯西不等式得2xy2x2y23x22y26×11，于是2xy，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.再練一題4.x2y1，那么x2y2的最小值為_(kāi).【

9、解析】1x2y，1x2y2122x2y2.當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)，取等號(hào)，x2y2min.【答案】構(gòu)建·體系1.設(shè)x，yR，且2x3y13，那么x2y2的最小值為A.B.169C.13D.0【解析】2x3y22232x2y2，x2y213.【答案】C2.2x2y21，那么2xy的最大值是A.B.2 C.D.3【解析】2xy·x1×y ，當(dāng)且僅當(dāng)yx，即xy時(shí)等號(hào)成立.【答案】C3.假設(shè)a，bR，且a2b210，那么ab的取值范圍是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000032】A.2，2B.2，2C.，D.，【解析】a2b21212ab2，|ab|2，ab2，2.【答案】A4.設(shè)a，b，c為正數(shù)，那么abc的最小值為_(kāi).【解析】a，b，c為正數(shù)，abc222121，當(dāng)且僅當(dāng)kk>0時(shí)等號(hào)成立.故abc的最小值是121.【答案】