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文檔簡(jiǎn)介
1、.2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其參數(shù)配方法的證明1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義.2.通過(guò)運(yùn)用柯西不等式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.根底·初探教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a1,a2,b1,b2均為實(shí)數(shù),那么aabba1b1a2b22.2.柯西不等式的向量形式:設(shè),為平面上的兩個(gè)向量,那么|·|.3.柯西不等式的三角不等式:|.4.柯西不等式的一般形式:設(shè)a1,a2,an,b1,b2,bn為實(shí)數(shù),那么aaabbb|a1b1a2b2anbn|,其中等號(hào)成立當(dāng)某bj0時(shí),認(rèn)為aj0,j1,2
2、,n.教材整理2參數(shù)配方法利用二次三項(xiàng)式的判別式證明柯西不等式的方法稱為參數(shù)配方法.不等式xy9對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y恒成立,那么正實(shí)數(shù)a的最小值為A.2B.4C.6D.8【解析】由柯西不等式可求出xy12,當(dāng)x1,y時(shí),xy的最小值是12,故只需129,即a4即可.【答案】B質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后,請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄,并與“小伙伴們討論交流:疑問(wèn)1: 解惑: 疑問(wèn)2: 解惑: 疑問(wèn)3: 解惑: 小組合作型利用柯西不等式證明不等式a,b,x,y都是正數(shù),且ab1,求證:ax1bx2bx1ax2x1x2.【精彩點(diǎn)撥】假如對(duì)不等式左端直接用柯西不等式,得不到所要證明的結(jié)論.假設(shè)把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)
3、的兩項(xiàng)對(duì)調(diào)一下,再應(yīng)用柯西不等式即可得證.【自主解答】a,b,x,y大于0,ax1bx2bx1ax2ax1bx2ax2bx1ab2ab2x1x2.又因?yàn)閍b1,所以ab2x1x2x1x2,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)成立.所以ax1bx2bx1ax2x1x2.1.利用二維形式的柯西不等式證明時(shí),要抓住柯西不等式的構(gòu)造特征,必要時(shí),需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形.2.變形往往要求具有很高的技巧,必須擅長(zhǎng)分析題目的特征,根據(jù)題設(shè)條件,綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),找到打破口.再練一題1.設(shè)x1,x2,xn為正數(shù),求證:x1x2xnn2.【證明】由柯西不等式
4、得x1x2xnn2,x1x2xnn2.利用柯西不等式求最值設(shè)xyz1,求函數(shù)u2x23y2z2的最小值.【精彩點(diǎn)撥】由xyz1以及u2x23y2z2的形式,聯(lián)想柯西不等式,構(gòu)造因式解決問(wèn)題.【自主解答】由xyz·x·y1·z.根據(jù)柯西不等式,有·2x23y2z22x23y2z2,因此1xyz22x23y2z2,u2x23y2z2,當(dāng)且僅當(dāng)x,y,z時(shí)等號(hào)成立.x,y,z代入xyz1,得x,y,z時(shí),等號(hào)成立.故函數(shù)u2x23y2z2的最小值是.1.利用柯西不等式求最值,不但要注意等號(hào)成立的條件,而且要擅長(zhǎng)對(duì)目的函數(shù)配湊,保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.2.常用的配湊的
5、技巧有:1巧拆常數(shù);2重新安排某些項(xiàng)的次序;3適當(dāng)添項(xiàng);4適當(dāng)改變構(gòu)造,從而到達(dá)運(yùn)用柯西不等式求最值.再練一題2.假設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2y2z29,那么x2y3z的最大值是_.【解析】由柯西不等式得x2y3z212232·x2y2z214×9,故x2y3z3,所以x2y3z的最大值是3.【答案】3運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍正數(shù)x,y,z滿足xyzxyz,且不等式恒成立,求的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】“恒成立問(wèn)題需求的最大值,設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值.【自主解答】x>0,y>0,z>0,且xyzxyz,1.又,當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí),即xyz時(shí)等號(hào)成立,的最大
6、值為.故恒成立時(shí),應(yīng)有.因此的取值范圍是.此題也是通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化應(yīng)用柯西不等式,由此可見(jiàn),應(yīng)用柯西不等式,首先要對(duì)不等式形式、條件純熟掌握,然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性的應(yīng)用定理.再練一題3.函數(shù)fx2.假設(shè)關(guān)于x的不等式fx|m2|恒成立,務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】由柯西不等式得222212·|22|25,所以fx25.當(dāng)且僅當(dāng),即x4時(shí),等號(hào)成立.又不等式fx|m2|恒成立,所以|m2|5,解得m7或m3.故m的取值范圍為,37,.探究共研型柯西不等式的應(yīng)用探究1在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中,取等號(hào)的條件可以寫(xiě)成嗎?【提示】不可以.當(dāng)b·d0時(shí),柯西不等式成立,但不成
7、立.探究2在平面直角坐標(biāo)系中,假設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3.那么二維柯西不等式的三角形式又是怎樣表達(dá)的呢?【提示】根據(jù)二維柯西不等式的幾何意義,在ABC中,三角形式的柯西不等式為.探究3在一般形式的柯西不等式中,等號(hào)成立的條件記為aikbii1,2,3,n,可以嗎?【提示】不可以.假設(shè)bi0而ai0,那么k不存在.探究4利用柯西不等式時(shí),常用的變形技巧有哪些?【提示】柯西不等式形式優(yōu)美,有重要的應(yīng)用價(jià)值,應(yīng)用柯西不等式解題的關(guān)鍵是恰到好處的變形,常用的變形技巧有:1等價(jià)變形,將要解決的不等式問(wèn)題作等價(jià)變形,構(gòu)造出幾個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與另n個(gè)實(shí)數(shù)平方和的乘積的形
8、式.2配輔助式,為了應(yīng)用柯西不等式,有時(shí)要根據(jù)所證不等式的構(gòu)造特征,結(jié)合柯西不等式等號(hào)成立的條件,配湊適當(dāng)?shù)妮o助式,使問(wèn)題獲證.3適當(dāng)換元,有時(shí)根據(jù)所證不等式的構(gòu)造特征適當(dāng)換元,轉(zhuǎn)化為容易應(yīng)用柯西不等式的構(gòu)造特征,使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解.4配系數(shù),為了應(yīng)用柯西不等式溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)絡(luò),有時(shí)要通過(guò)巧配系數(shù)來(lái)完成.3x22y26,求證:2xy.【精彩點(diǎn)撥】將不等式2xy的左邊湊成柯西不等式的形式,然后證明.【自主解答】2xy·x·y.由柯西不等式得2xy2x2y23x22y26×11,于是2xy,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.再練一題4.x2y1,那么x2y2的最小值為_(kāi).【
9、解析】1x2y,1x2y2122x2y2.當(dāng)且僅當(dāng)x,y時(shí),取等號(hào),x2y2min.【答案】構(gòu)建·體系1.設(shè)x,yR,且2x3y13,那么x2y2的最小值為A.B.169C.13D.0【解析】2x3y22232x2y2,x2y213.【答案】C2.2x2y21,那么2xy的最大值是A.B.2 C.D.3【解析】2xy·x1×y ,當(dāng)且僅當(dāng)yx,即xy時(shí)等號(hào)成立.【答案】C3.假設(shè)a,bR,且a2b210,那么ab的取值范圍是 【導(dǎo)學(xué)號(hào):38000032】A.2,2B.2,2C.,D.,【解析】a2b21212ab2,|ab|2,ab2,2.【答案】A4.設(shè)a,b,c為正數(shù),那么abc的最小值為_(kāi).【解析】a,b,c為正數(shù),abc222121,當(dāng)且僅當(dāng)kk>0時(shí)等號(hào)成立.故abc的最小值是121.【答案】
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