凸四邊形外接橢圓存在性的證明

1、凸四邊形外接橢圓存在性的證明王欽敏余明芳本文曾發(fā)表于?福建中學(xué)數(shù)學(xué)?三角形均有外接圓，而凸四邊形在對(duì)角互補(bǔ)的條件下也存在外接圓，這是人們所熟知的,進(jìn)一步地我們可以考察三角形與凸四邊形外接橢圓的存在性問(wèn)題，在本文中我們用幾何的方法對(duì)這個(gè)問(wèn)題作出肯定的答復(fù)，有下面的定理: 定理 任一凸四邊形均存在外接橢圓 證明：如圖，四邊形 ABCD是任一凸 四邊形，如果它的對(duì)角互補(bǔ)，那么它有外接 圓，我們可把外接圓看作是凸四邊形的一 個(gè)特殊的外接橢圓.如果凸四邊形ABCD的對(duì)角不互補(bǔ)， 那么必有一對(duì)角和小于180，不妨設(shè).A . C ： 180 ,由于凸四邊形是給定的，故 BAC,. DAC,. BCA,. D

2、CA均為定角，設(shè)它們分別等于一、假設(shè)>1, >2, >3與：,均不等于90，那么可在面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作直線EF _ AC , 與AB和AD的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) E與點(diǎn)F，設(shè)凸四邊形 ABCD在通過(guò)EF的某一個(gè)平 面上的射影是凸四邊形 A B C D ，這時(shí)顯然 ACA是兩個(gè)面所成二面角的平面角，設(shè)為 ，以下證明，當(dāng)取某一適當(dāng)值時(shí)，可使得凸四邊形A B C D 的對(duì)角互補(bǔ).ECAC，朋AC.tg EACECAC=tg： iCOS :同理可得tg FACtg： 2tg. eaf jg EAC . tg FAC1 tgEA CtgFA Ccos ： tg： i tg： 2cos2

3、 : - tg 1tg 2類似地，可得tg BCDJcos tg： 3 tg： 4cos2 : -tg： 3tg： 4欲使凸四邊形 ABCD 的對(duì)角互補(bǔ)，僅需tgC EAF BCD) = 0,故tg EAF tg BCD =0，即cos：(tgr tg： 2)cos：(tg： 3 tg： 4)cos2 ： -tg： itg： 2cos2 : -tg：,tg： 4；90 , cos戸匯0,故可解得tg i tg 2 tg 3 tg 4cos 一 ©10 20 3 tgm © 3© 4©1 m ,因此，只要取適當(dāng)?shù)闹禎M足這個(gè)等式，即可使凸四邊形 ABCD 的

4、對(duì)角互補(bǔ)，這里, 凸四邊形A B C D有外接圓，假設(shè)以該外接圓為底作一圓柱，貝U A,B,C與D四點(diǎn)定會(huì)落在 該圓柱的側(cè)面上，而面ABCD在側(cè)面上截出一個(gè)橢圓， 這個(gè)橢圓是凸四邊形 ABCD的一個(gè) 外接橢圓.需要說(shuō)明的是，在上述證明過(guò)程中，假設(shè)出現(xiàn).BCD" = /EAF =90 ,那么因EEAC EFAC =90，故 cos ：二 tgrtg，同理有 cos ：二.tg 3tg 4，所以只 要取1滿足其中某一個(gè)等式即可.假設(shè)1,2,3與>4中有一個(gè)角是直角，不妨設(shè)為>4，那么點(diǎn)D, D ,F三點(diǎn)重合，在上述證明過(guò)程中，c oH stg BCD - -ctg B CA,由同樣的方式可得tgsc o ：s= .tgtg,