洛倫茲力經(jīng)典例題(有解析)

1、洛侖茲力典型例題例1一個(gè)帶電粒子，沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入一勻強(qiáng)磁場(chǎng).粒子的一段徑跡如圖所示，徑跡上的每一小段都可近似看成圓弧.由于帶電粒子使沿途的空氣電離，粒子的能量逐漸減?。◣щ娏坎蛔儯?從圖中情況可以確定A.粒子從a至1Jb,帶正電B.粒子從b到a,帶正電C.粒子從a到b,帶負(fù)電D.粒子從b到a,帶負(fù)電L分析粒子的能量逐漸減小，即五卜二!m/減小.速率逐漸減小.據(jù)上R=my/qB,由于q不變，粒子的軌道半徑逐漸減小，由此斷定粒子從b到a運(yùn)動(dòng).再利用左手定則確定粒子帶正電.答B(yǎng).例2在圖中虛線所圍的區(qū)域內(nèi)，存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).已知從左方水平射入的電子，穿過這

2、區(qū)域時(shí)未發(fā)生偏轉(zhuǎn)，設(shè)重力可忽略不計(jì)，則在這區(qū)域中的E和B的方向可能是A. E和B都沿水平方向，并與電子運(yùn)動(dòng)的方向相同B. E和B都沿水平方向，并與電子運(yùn)動(dòng)的方向相反C. E豎直向上，B垂直紙面向外D. E豎直向上，B垂直紙面向里II分析不計(jì)重力時(shí)，電子進(jìn)入該區(qū)域后僅受電場(chǎng)力Fe和洛侖茲力Fb作用.要求電子穿過該區(qū)域時(shí)不發(fā)生偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)力和洛侖茲力的合力應(yīng)等于零或合力方向與電子速度方向在同一條直線上.當(dāng)E和B都沿水平方向，并與電子運(yùn)動(dòng)的方向相同時(shí)，洛侖茲力Fb等于零，電子僅受與其運(yùn)動(dòng)方向相反的電場(chǎng)力Fe作用，將作勻減速直線運(yùn)動(dòng)通過該區(qū)域.當(dāng)E和B都沿水平方向，并與電子運(yùn)動(dòng)的方向相反時(shí)，F(xiàn)b=0,電子

3、僅受與其運(yùn)動(dòng)方向相同的電場(chǎng)力作用，將作勻加速直線運(yùn)動(dòng)通過該區(qū)域.當(dāng)E豎直向上，B垂直紙面向外時(shí)，電場(chǎng)力Fe豎直向下，洛侖茲力FB豎直向上.若滿足條件,=琦,即qE=quB,或V二盤時(shí).電子作勻遞宜線運(yùn)上動(dòng)通過該區(qū)域.當(dāng)E豎直向上，B垂直紙面向里時(shí)，F(xiàn)E和Fb都豎直向下，電子不可能在該區(qū)域中作直線運(yùn)動(dòng).答A、B、C.例3如圖1所示，被U=1000V的電壓加速的電子從電子槍中發(fā)射出來，沿直線a方向運(yùn)動(dòng)，要求擊中在a=/3方向，距槍口d=5cm的目標(biāo)M,已知磁場(chǎng)垂直于由直線a和M所決定的平面，求磁感強(qiáng)度.分析電子離開槍口后受洛侖茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求擊中目標(biāo)M,必須加上垂直紙面向內(nèi)的磁場(chǎng)，如圖

4、2所示.通過幾何方法確定圓心后就可迎刃而解了.解由圖得電子圓軌道半徑r=d/2sina電子被加速后速度牙二電子作圓弧運(yùn)動(dòng)時(shí)Q=r_2XanH/32X091乂10-3UX10s=005'J15XW1?T=3,7X10T說明帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心位置的確定十分重要.本題中通過幾何方法找出圓心一一PM的垂直平分線與過P點(diǎn)垂直速度方向的直線的交點(diǎn)O,即為圓心.當(dāng)帶電粒子從有界磁場(chǎng)邊緣射入和射出時(shí)，通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作速度方向的垂線，其交點(diǎn)就是圓心.例4兩塊長為L、間距為d的平行金屬板水平放置，處于方向垂直紙面向外、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為m、電量為e的質(zhì)子從左端正

5、中A處水平射入（如圖）.為使質(zhì)子飛離磁場(chǎng)而不打在金屬板上，入射速度為.分析審清題意可知，質(zhì)子臨界軌跡有兩條：沿半徑為R的圓弧AB及沿半徑為r的圓弧AC.解根據(jù)R2=L2+(Rd/2)2,得41?+即R=4d.又懺胭m故當(dāng)沿選翎運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度、BeC4L2+73當(dāng)沿AC礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)時(shí)，r=d/4,速度)Bed說明若不注意兩種可能軌跡，就會(huì)出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤.例5三個(gè)速度大小不同的同種帶電粒子，沿同一方向從圖1長方形區(qū)域的勻90°、60°、30.則它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為強(qiáng)磁場(chǎng)上邊緣射入，當(dāng)它們從下邊緣飛出時(shí)對(duì)入射方向的偏角分別為A.B.C.Ts0一F分析同種粒子以不同速度射入同一勻強(qiáng)磁

6、場(chǎng)中后，做圓運(yùn)動(dòng)的周期相同.由出射方向?qū)θ肷浞较虻钠谴笮】芍?，速度為V1的粒子在磁場(chǎng)中的1T1軌跡為4圓周，歷0tti=彳速度叼.內(nèi)的粒子在磁中的軌道都小于I圓周.T歷時(shí)都不到恥下可見時(shí)間之比的可能情況只能是cite.為了進(jìn)一步確定帶電粒子飛經(jīng)磁場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角與時(shí)間的關(guān)系，可作一般分析.如圖2,設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡為曲線MN.通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作速度方向的垂線相交得圓心。.由幾何關(guān)系知，圓弧MN所對(duì)的圓心角等于出射速度方向?qū)θ肷渌俣确较虻钠莂.粒子通討磁場(chǎng)的時(shí)間MbT RQ t 1VVa m 口v qB因此，同種粒子以不同速度射入磁場(chǎng)，經(jīng)歷的時(shí)間與它們的偏角a成正比，即ti：t2：t3=

7、90°：60°：30=3:2：1.答C.例6在xoy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電量為e）,從坐標(biāo)。不斷以相同速率V0沿不同方向射入第一象限，如圖1所示.現(xiàn)加一個(gè)垂直于xoy平面向內(nèi)、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積.分析電子在磁場(chǎng)申做半徑為區(qū)=巴詈的勻速圓周運(yùn)動(dòng).沿了軸正方向包從O點(diǎn)射入的電子做1/4圓周運(yùn)動(dòng)后（圓心在x軸上A點(diǎn)）沿x正方向運(yùn)動(dòng)，軌跡上任一點(diǎn)均滿足坐標(biāo)方程（Rx）2+乎=R2,如圖2中圖線I;而沿與x軸任意角a（90>a>0）射入的電子轉(zhuǎn)過一段較短弧，例如OP或OQ等也將沿x

8、正方向運(yùn)動(dòng)，于是P點(diǎn)（圓心在A'）、Q點(diǎn)（圓心在A）等均滿足坐標(biāo)方程X2+ ( R y) 2 = R2.更應(yīng)注意的是此方程也恰是半徑為R、圓心在y軸上C點(diǎn)的圓n上任一點(diǎn)的坐標(biāo)方程.數(shù)學(xué)上的相同規(guī)律揭示了物理的相關(guān)情景.解顯然，所有射向第一象限與x軸成任意角的電子，經(jīng)過磁場(chǎng)一段圓弧運(yùn)動(dòng)，均在與弧II的交點(diǎn)處開始向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，如圖中P、Q點(diǎn)等.故該磁場(chǎng)分布的最小范圍應(yīng)是I、R兩圓弧的交集，等效為圖3中兩弓形面積之和，即f (gV)TT 2 nivn12 'eB '例7如圖1所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng).現(xiàn)從矩形區(qū)域ad

9、邊的中點(diǎn)。處垂直磁場(chǎng)射入一速度方向跟ad邊夾角為30°、大小為V0的帶電粒子.已知粒子質(zhì)量為m,電量為q,ad邊長為L,重力影響忽略不計(jì).（1）試求粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的vo的大小范圍（2）問粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間是多少）在這種情況下，粒子從磁場(chǎng)區(qū)域的某條邊射出，試求射出點(diǎn)在這條邊上的范圍.分析設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中正好經(jīng)過cd邊（相切），從ab邊射出時(shí)速度為vi,軌跡如圖2所示.有以下關(guān)系：Bqvj=m據(jù)幾何關(guān)系分析得R=L.ad邊射出時(shí)速度為V2,則又設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中正好經(jīng)過.ab邊（相切），從據(jù)幾何關(guān)系分析得及=，.©解Q）由,兩式求得溟L皿.m由金兩式求得叼=

10、上3m因此，帶電粒子從ab邊射出磁場(chǎng)的V0的大小范圍為V1>0>2r,即處U>嬖.m3m（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中的周期2兀R27lm帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡占圓周比值最大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長.據(jù)幾何關(guān)系知.當(dāng)。V%學(xué)時(shí)最長時(shí)間二巖.這種情況下帶電粒子從ad邊射出，射出點(diǎn)的范圍為距。點(diǎn)上方0至1之問.例8如圖所示，在一矩形區(qū)域內(nèi)存在互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng).電場(chǎng)強(qiáng)度為E、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,復(fù)合場(chǎng)的水平寬度d,豎直方向足夠長.現(xiàn)有一束電量為q、質(zhì)量為m的a粒子，初速度v0各不相同，沿電場(chǎng)方向進(jìn)入場(chǎng)區(qū)，能逸出場(chǎng)區(qū)的a粒子的動(dòng)能增量日為A.q(B+BdB.qEd/BC.Eqd分析a粒子重

11、力可以忽略不計(jì).a粒子進(jìn)入電磁場(chǎng)時(shí)，除受電場(chǎng)力外還受到洛侖茲力作用，因此a粒子速度大小變化，速度方向也變化.洛侖茲力對(duì)電荷不做功，電場(chǎng)力對(duì)電荷做功.運(yùn)動(dòng)電荷從左進(jìn)從右出.根據(jù)動(dòng)能定理w=am,即*=Eqd,選項(xiàng)C正確.如果運(yùn)動(dòng)電荷從左進(jìn)左出，電場(chǎng)力做功為零，那么選項(xiàng)D正確.例9如圖1所示，在空間存在著水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).電場(chǎng)強(qiáng)度為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.在某點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)帶電液滴a,它運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)處，恰與一個(gè)原來處于靜止的液滴b相撞.撞后兩液體合為一體，沿水平方向做直線運(yùn)動(dòng).已知液滴a的質(zhì)量是液滴b的質(zhì)量的2倍，液滴a所帶電量是液滴b所帶電量的4倍.求兩液滴初始位置的高度差h

12、.（設(shè)a、b之間的靜電力可以不計(jì).）分析由帶電液滴a的運(yùn)動(dòng)軌跡可知它受到一個(gè)指向曲率中心的洛侖茲力，由運(yùn)動(dòng)方向、洛侖茲力方向和磁場(chǎng)方向可判斷出液滴a帶負(fù)電荷.液滴b靜止時(shí)，靜電力與重力平衡，可知它帶正電荷.本題包含三個(gè)過程，一個(gè)是液滴a由靜止釋放到運(yùn)動(dòng)至b處，其間合外力（靜電力和重力）對(duì)液滴a做功，使它動(dòng)能增加.另一個(gè)是碰撞過程，液滴a與b相碰,動(dòng)量守恒.第三個(gè)過程是水平方向直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向合外力為零.qE/n4#3qE3IC圖2解設(shè)a的質(zhì)量為2m,帶電量為-4q,b的質(zhì)量為m,帶電量為q.碰前：a液滴（4Eq+2mg）h（圖冽©b液滴Eq=鳴（圖2b）碰撞：2mvi=3mv2,碰

13、后：3Eq+3mg=3qvB.（圖2c）3E由式解得“=,代入式解得h=音例10如圖所示，在x軸上方是垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下方是方向與y軸正方向相反的場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，已知沿x軸方向跟坐標(biāo)原點(diǎn)相距為l處有一垂直于x軸的屏MN.現(xiàn)有一質(zhì)量m、帶電量為負(fù)q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng).如果想使粒子垂直打在光屏MN上，那么：（1）電荷從坐標(biāo)原點(diǎn)射入時(shí)速度應(yīng)為多大（2）電荷從射入磁場(chǎng)到垂直打在屏上要多少時(shí)間分析粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿半圓做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度為零，然后又做反方向勻加速直線運(yùn)動(dòng).仍以初速率垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，再沿新的半圓做勻速圓周運(yùn)

14、動(dòng)，如此周而復(fù)始地運(yùn)動(dòng)，直至最后在磁場(chǎng)中沿1/4圓周做勻速率運(yùn)動(dòng)垂直打在光屏MN上為止.解（1）如圖所示，要使粒子垂直打在光屏MN上，必須n2R+R=1又qvB=m2,(2)解得k潦扁'LlL2J.（2）粒子運(yùn)動(dòng)總時(shí)間由在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間tl和在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2兩部分構(gòu)成.T:2n+1),一412兀m2=2t0=口2=2口2aE1(2n+1)E'+1)兀m2nBi十12qB(2n+1)E例11如圖所示，以正方形abco為邊界的區(qū)域內(nèi)有平行于x軸指向負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，正方形邊長為L,帶電粒子（不計(jì)重力）從oc邊的中點(diǎn)D以某一初速度平行于y軸的正方向射入場(chǎng)區(qū)

15、，恰好沿直線從ab邊射出場(chǎng)區(qū).如果撤去磁場(chǎng)，保留電場(chǎng)，粒子仍以上述初速度從D點(diǎn)射入場(chǎng)區(qū)，則從bc邊上的P點(diǎn)射出場(chǎng)區(qū).假設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=h;如果撤去電場(chǎng)，保留磁場(chǎng)，粒子仍以上述的初速度從D點(diǎn)射入場(chǎng)區(qū)，在l有不同取值的情況下，求粒子射出場(chǎng)區(qū)時(shí)，出射點(diǎn)在場(chǎng)區(qū)邊界上的分布范圍.分析設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,粒子的電量為q,質(zhì)量為m,初速度為v.當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，帶電粒子所受電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力平衡，做直線運(yùn)動(dòng).若撤去磁場(chǎng)，則粒子向右做拋物線運(yùn)動(dòng)，從bc邊上的p點(diǎn)射出場(chǎng)區(qū).若撤去電場(chǎng)，保留磁場(chǎng)，則粒子做反時(shí)針方向圓周運(yùn)動(dòng)，從y軸上的某點(diǎn)射出場(chǎng)區(qū).也可能從x軸上某點(diǎn)射出.解當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，

16、據(jù)題意有qBv=qE撤去磁場(chǎng)，電偏轉(zhuǎn)距離為撤去電場(chǎng)，磁偏轉(zhuǎn)距離為y=依-(R-L/2)二qBv=©K式聯(lián)立求得R=haZL若要從o點(diǎn)射出，則y=0,R=LZ4,由式得卜=1_/2.若要從能點(diǎn)射出，由式得41=1匚故不能從a點(diǎn)射出;由式可知：當(dāng)h之時(shí)，出射點(diǎn)在縱軸上；當(dāng)h=L時(shí)，由(5)式得y二,L為縱坐標(biāo)的最大值；當(dāng)寺亡hL時(shí)，然0,出射點(diǎn)在縱軸上的分布范因?yàn)閁-1石空加為y-y-1/4由式可知當(dāng)打1/2時(shí),縱坐標(biāo)y=Cb出射點(diǎn)在橫軸上0-L/2之,.工I.L141l同，其坐標(biāo)知=例12兩塊板長1=、間距d=水平放置的平行板，板間加有垂直紙面向里,B二的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和如圖1(b)所示的電

17、壓.當(dāng)t=0時(shí)，有一質(zhì)量m=2X1015kg、電量q=1xiG10C帶正電荷的粒子，以速度v0=4X10m/s從兩板正中央沿與板面平行的方向射入.不計(jì)重力的影響，畫出粒子在板間的運(yùn)動(dòng)軌跡.,UA<iq，v+ ? u .f"。BX K M'-Afc ：15-1.00.&-III!IIT012345S/X10圖1分析板間加上電壓時(shí)，同時(shí)存在的勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)U15X1CP03N/C7X11N/C.粒子射入后受到的電場(chǎng)力FE和磁場(chǎng)力FB分別為Fe=qE=1XICT1°X5X103bT=5X1尸瓦Fs=qBv0=1X10-mX1,25X4X103Ni=5X1Q-7N.它們的方向正好相反，互相平衡，所以在兩板間加有電壓的各段時(shí)間內(nèi)（01X10S；23X10S；45XWs；）,帶電粒子依入射方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).板間不加電壓時(shí)，粒子僅受洛侖茲力作用，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng).解粒子在洛侖茲力作用下做勻速