高等數(shù)學(xué)向量代數(shù)與空間解析幾何總結(jié)

1、一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)習(xí)習(xí) 題題 課課向量的向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積向量的積向量的積向量概念向量概念（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)1 1、向量的概念、向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負(fù)向量、負(fù)向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、(1) 加法：加法：cba 2 2、向量的線性運(yùn)算、向

2、量的線性運(yùn)算dba ab(2) 減法：減法：cba dba (3) 向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法：設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標(biāo)軸上的分向量：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法向量

3、的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式)1coscoscos(222 4 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其其中

4、中 為為a與與b的的夾夾角角(點(diǎn)積、內(nèi)積點(diǎn)積、內(nèi)積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式5 5、向量積、向量積 sin|bac 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系.(叉積、外積叉積、外積)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba zyxzyxbbbaaakjiba

5、ba/zzyyxxbababa 請歸納向量的數(shù)量積和向量積在幾何中的用途（1）數(shù)量積求向量的模：求兩向量的夾角：.|) 1 (2aaa cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 請歸納向量的數(shù)量積和向量積在幾何中的用途（續(xù)）（1）數(shù)量積求一個向量在另一個向量上的投影：兩向量垂直的充要條件為兩向量垂直的充要條件為. 3|Pr bbaajb ba0 zzyyxxbababa請歸納向量的數(shù)量積和向量積在幾何中的用途（續(xù)）（2）向量積求與兩個非共線向量a、b同時垂直的向量n,可取其中是某個非零的數(shù)（通常在不考慮向量模的大小時可取 =1）；

6、nab 請歸納向量的數(shù)量積和向量積在幾何中的用途（續(xù)）（2）向量積幾何上幾何上|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.abbac ba) 2 (/. 0 ba)0, 0( ba直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數(shù)方程參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程 點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程一般方程一般方程空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o1 1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zy

7、xxyoz空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系共有一個原點(diǎn)共有一個原點(diǎn),三個坐標(biāo)軸三個坐標(biāo)軸,三個坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面,八個卦限八個卦限. 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式:曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：(1) 曲面曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形.2 2、曲面

8、、曲面(2) 不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；研究空間曲面的兩個基本問題：研究空間曲面的兩個基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時，求曲面方程.1 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸.方程特點(diǎn)方程特點(diǎn):0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為

9、軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx2 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線叫柱，動直線叫柱面的面的母線母線.從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐

10、坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.(1) 平面平面 xy (3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4) 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax(2) 圓柱面圓柱面 222Ryx 3 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同號同號與與qpzqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同號同號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓

11、錐面）圓錐面222zyx 3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間曲線如圖空間曲線一般方程為一般方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程： 00),(zyxH曲線在曲線在 面上的投影曲線為面上的投影曲線為xoy 0

12、0),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面4 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體空間立體曲面曲面4 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 DzCyBxA0:22222 DzC

13、yBxA4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 5 5、空間直線、空間直線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程xyzo1 2 LxyzosL0M M 3 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程 ptzzntyymtxx000)

14、,(0000zyxM,pnms 直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式4 兩直線的夾角兩直線的夾角5 兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直線與平面的夾角直線與平面的夾角222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式)20( 7 直線與平面的位置關(guān)系

15、直線與平面的位置關(guān)系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm二、典型例題二、典型例題例例1 1解解共共面面且且，使使，求求一一單單位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 設(shè)設(shè)由題設(shè)條件得由題設(shè)條件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1

16、 , 5 ,1 n其法向量其法向量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由題設(shè)知由題設(shè)知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx例例3 3解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都都相相交交的的直直線線且且與與兩兩直直線線求求過過點(diǎn)點(diǎn) 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為 1243:,12:21tztytxLtztytxL的的交交點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為與與設(shè)設(shè)所所求求直直

17、線線21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線與與BAM).(00為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)故故 BMAM 即有即有,00對對應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同同在在直直線線和和點(diǎn)點(diǎn)LBM的方程為的方程為故故 L.211111 zyx例例4 4解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直

18、線求直線 zyxzyxzyxL的平面束方程為的平面束方程為過直線過直線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 例例5 5解解.,1101:求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的方方程程軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周繞繞直直線線zzyxL ), 1(111zyM設(shè)設(shè)直直線線上上一一點(diǎn)點(diǎn),11zy 有有位位置置到到達(dá)達(dá)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)后后),(), 1(111zyxMzyM由于

19、高度不變由于高度不變,1zz 有有,1不不因因旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而改改變變軸軸的的距距離離到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為. 1222 zyxabaxabxabax)(lim,60為非零向量，證明、已知例)()(lim)(lim00abxaxabxaabxaxabxaxx 解解：axabxax2)(lim220 axabxbaxax22lim22220 abxbax22lim20 .aba 的最小值。時，滿足關(guān)系式：求當(dāng)常數(shù)向量：已知例rcbacrcjibjia),(,3,37cba 解：解： sincb sinbr si

20、nbar 10 ba又又. 1min r例例8 8、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)A(1,2,5)A(1,2,5)，B(-2,0,-3), C(1,-3,0)B(-2,0,-3), C(1,-3,0)，求點(diǎn)，求點(diǎn)D(4,3,0)D(4,3,0)關(guān)于平面關(guān)于平面ABCABC的對稱點(diǎn)。的對稱點(diǎn)。解解 平面平面ABC: 2x+y-z+1=0ABC: 2x+y-z+1=0過過D D且垂直于平面的直線為且垂直于平面的直線為 tztytxzyx324:,11324即即設(shè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（4+2t,3+t,-t)4+2t,3+t,-t)，有距離公式，有距離公式103421)()3()24(2 tttt=4(t=

21、4(舍去舍去0 0）對稱點(diǎn)為（對稱點(diǎn)為（-4-4，-2-2，4 4）。）。例例9 9、求證兩直線、求證兩直線,021100332 yxzyx 06702zxyx相交，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)及包含兩直線的平面。相交，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)及包含兩直線的平面。解：解：直線的標(biāo)準(zhǔn)式是直線的標(biāo)準(zhǔn)式是 7621:,7112101:21zyxLtzyxL令：令：,672324對對應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)相相等等與與 zyxtztytx1, 0671722110 tttt有解有解方程組方程組兩直線的交點(diǎn)兩直線的交點(diǎn)(1,2,-1)(1,2,-1)包含兩直線的平面：包含兩直線的平面：x+3y+z-6=0 x+3y+z-6=0。向量共共面

22、面7, 2 , 1,7, 2 , 1,7 , 1 ,102121 ppss兩直線相交。兩直線相交。例例1010. .求直線求直線11111: zyxl在平面在平面012: zyx上的投影上的投影直線直線l l0 0的方程，并求的方程，并求l l0 0繞繞 y y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。解法解法1 1 設(shè)經(jīng)過設(shè)經(jīng)過l l且垂直于且垂直于的平面方程為的平面方程為0)1()1(:1 zCByxA則由條件可知則由條件可知0, 02 CBACBA由此解得由此解得. 2:3:1: CBA于是于是1 1的方程為的方程為0123 zyx從而從而l l0 0的方程為：的方程為： ,

23、 0123, 012zyxzyx即即 )1(21,2yzyx于是于是l l0 0繞繞y y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程為軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程為2222)1(414 yyzx( A,B,Cs, n )解法解法2 2 由于直線由于直線l l的方程可寫為的方程可寫為 , 01, 01zyyx所以過直線所以過直線l l的平面方程可設(shè)為的平面方程可設(shè)為, 0)1(1 zyyx即即0)1()1( zyx由它與平面由它與平面垂直，得垂直，得, 02)1(1 . 2 于是經(jīng)過直線于是經(jīng)過直線l l且垂直于且垂直于的平面方程為的平面方程為0123 zyx從而從而l l0 0： , 0123, 012zyxzyx

24、（下同解法一）（下同解法一）l 的方向向量為的方向向量為s=1,1, s=1,1, 11，的法線向量為的法線向量為n=1n=1，1 1，22經(jīng)過經(jīng)過 l 且垂直于且垂直于的平面的平面1 1的法線向量為的法線向量為kjikjinsn232111111 又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 1經(jīng)過經(jīng)過l ，1 1當(dāng)然經(jīng)過當(dāng)然經(jīng)過l l上的點(diǎn)（上的點(diǎn)（1 1，0 0，1 1），所以），所以 1 1的方程為的方程為, 0)1(2)0(3)1( zyx即即0123 zyx（下同解法一）（下同解法一）解法解法3 3一一、 選選擇擇題題： 1 1、 若若a，b為為共共線線的的單單位位向向量量， 則則它它們們的的數(shù)數(shù)量量積積 ba

25、 （ ）. . （A A） 1 1； （B B）- -1 1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、 向向量量 ba與與二二向向量量a及及b的的位位置置關(guān)關(guān)系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共線線；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題 3 3、設(shè)設(shè)向向量量Q與與三三軸軸正正向向夾夾角角依依次次為為 ,，當(dāng)當(dāng) 0cos 時時，有有（ ）4 4、設(shè)設(shè)向向量量Q 與與三三軸軸正正向向夾夾角角依依次次為為 ,當(dāng)當(dāng) 1cos 時時有有（ ）面面面面面面面；面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面面

26、面面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 設(shè)平面方程為、 設(shè)平面方程為0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 則則 平面平面（ ）. .（A A） 軸軸平行于平行于 x；（B B） 軸軸平行于平行于 y；（C C） 軸軸經(jīng)過經(jīng)過 y；（D D） 軸軸垂直于垂直于 y. .7 7、設(shè)直線方程為、設(shè)直線方程為 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA, ,則直線則直線（ ）. .（A A） 過原點(diǎn)；過原點(diǎn)； （B B

27、）軸軸平行于平行于 z； （C C）軸軸垂直于垂直于 y； （D D）軸軸平行于平行于 x. .8 8、曲曲面面052 xyzxyz與與直直線線351 yx 710 z的的交交點(diǎn)點(diǎn)是是（ ）. .（A A）)4,1,2(,)3,2,1( ；（B B）)3,2,1(；（C C）)4,3,2(；（D D）.)4,1,2( 9 9、已知球面經(jīng)過、已知球面經(jīng)過)1,3,0( 且與且與xoy面交成圓周面交成圓周 01622zyx，則此球面的方程是，則此球面的方程是（ ）. . （A A）0166222 zzyx； （B B）016222 zzyx； （C C）0166222 zzyx； （D D）0166222 zzyx. .1010、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是 （ ）. . （A A）12