初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽講座第19講--豐富的圖形世界

1、第十九講 豐富的圖形世界 我們生活在一個(gè)數(shù)字化時(shí)代，也生活在一個(gè)圖形的世界里，圖形有黑色的，也有彩色的；有靜止的，也有運(yùn)動(dòng)的；有平面的，有立體的；有具體的，有抽象的，它既可以是藝術(shù)中的繪畫和雕塑，也可以是科學(xué)上的表達(dá)或記錄 數(shù)學(xué)既研究數(shù)，又研究形，數(shù)與形是數(shù)學(xué)這棵大樹上的不同分支，這兩者互相結(jié)合，常常有助于問題的解決 歷史上一些著名科學(xué)家，如阿基米德、牛頓、羅素、愛因斯坦，都曾被歐基里德幾何迷住過，早在公元前四世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家柏拉圖曾在他設(shè)立哲學(xué)科學(xué)院的大門上寫著：“不懂幾何的人，不準(zhǔn)入門在學(xué)習(xí)幾何的起始階段，我們可以自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、操作，在觀察和實(shí)驗(yàn)中，掌握知識的來龍去脈，學(xué)到發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法

2、，感受到發(fā)現(xiàn)的歡樂，促進(jìn)科學(xué)思維能力的提高例題【例1】 爸爸給女兒圓圓買了一個(gè)圓柱形的生日蛋糕，圓圓想把蛋糕切成大小不一定相等的假設(shè)干塊(不少于10塊)，分給l0個(gè)小朋友，假設(shè)沿豎直方向切分這塊蛋糕，至少需要切 刀 (“希望杯邀請賽試題) 思路點(diǎn)撥 把蛋糕看作一個(gè)圓面，每切一刀在蛋糕上留下的刀印可以看作一條線段，于是問題轉(zhuǎn)化為：在一個(gè)圓內(nèi)畫兩個(gè)端點(diǎn)在圓周上的線段，這些線段把圓分成假設(shè)干局部，問至少畫幾條線段才可以把圓分成不少于10局部注：小學(xué)階段學(xué)的是實(shí)驗(yàn)幾何，即時(shí)一些簡單圖形性質(zhì)的認(rèn)識，往往是通過觀察和實(shí)驗(yàn)，對一些圖形的研究也僅側(cè)重于面積和體積的計(jì)算，只告訴你應(yīng)該這樣，并沒有告訴你為什么這樣

3、，并沒向你介紹證明結(jié)論的普遍性，更沒教你證明結(jié)論普遍性的方法 初中學(xué)習(xí)的是推理幾何，是在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)開展能力，使你學(xué)習(xí)邏輯分析、論證的方法，使你逐步具備可持續(xù)開展的能力 愛因斯坦曾說：“推理的這種可贊嘆的勝利，使人類理智獲得了為取得以后成就所必需的信心 【例2】 圖中有一個(gè)正方體的紙盒，在它的三個(gè)側(cè)面分別畫有三角形、正方形和圓，現(xiàn)用一把剪刀沿著它的棱剪成一個(gè)平面圖形，那么展開圖應(yīng)當(dāng)是( )思路點(diǎn)撥 展開與折疊是兩個(gè)步驟相反的過程，只需驗(yàn)證展開圖能否折成符合要求的正方體的前、后、左、右、上、下六個(gè)面【例3】 棱長為a的正方體，擺放成如下列圖的形狀 (1)如果這一物體擺放三層，試求該物體的外表積

4、； (2)依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下20層，求該物體的外表積 (河北省競賽題) 思路點(diǎn)撥 由題中圖示，從上、下、左、右、前、后等六個(gè)方向直視的平面圖相同，每個(gè)方向上均有6個(gè)等面積的小正方形【例4】 用橡皮泥做一個(gè)棱長為4cm的正方體 (1)如圖，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長為1cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥塊的外表積為 cm； (2)如果在第(1)題打孔后，再在正面中心位置處(按圖中的虛線)從前到后打一個(gè)邊長為lcm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的外表積為 cm2； (3)如果把第(2)題中從前到后所打的正方形通孔擴(kuò)成一個(gè)長xcm、寬lcm的長方形通孔，能不能使所得橡皮

5、泥塊的外表積為130cm2？如果能，請求出x；如果不能，請說明理由 (第16屆江蘇省競賽題)思路點(diǎn)撥 對于(3)，擴(kuò)孔有不同的方案，通過一一列舉、計(jì)算比較，求x的值注：學(xué)習(xí)幾何的方法與學(xué)習(xí)算術(shù)、代數(shù)相比有較大突變，我們應(yīng)通過剪拼、折疊，設(shè)計(jì)等操作活動(dòng)，去感受圖形運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，還應(yīng)注意利用圖形直觀，仔細(xì)觀察從圖形的結(jié)構(gòu)分析，提高抽象、概括能力 【例5】 請以給定的圖形“OO、(兩個(gè)圓、兩個(gè)三角形、兩條平行線段)為構(gòu)件，構(gòu)思盡可能多獨(dú)特且有意義的圖形，并寫上一兩句貼切、詼諧的解說詞 (俞學(xué)明等著?根底教育新概念一創(chuàng)造教育?)思路點(diǎn)撥 解答本例需要利用給定的6個(gè)元素，充分展開想象的翅膀，組合成各種有

6、意義的圖形此外，還要有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的文學(xué)修養(yǎng)學(xué)力訓(xùn)練1 如圖，將標(biāo)號為A、B、C、D的正方形沿圖中的虛線剪開后得到標(biāo)號為P、Q、M、N的4組圖形，試按照“哪個(gè)正方形剪開后得到哪組圖形的對應(yīng)關(guān)系，填空 A與 對應(yīng)；B與對應(yīng)；C與 對應(yīng)；D與 對應(yīng) (江西省中考題)2圖是一個(gè)正方體形狀的紙盒，把它沿某些棱剪開并攤平在桌面上，可得到圖的圖形，如果把圖的紙片重新恢復(fù)成圖的紙盒，那么與點(diǎn)G重合的點(diǎn)是 (江蘇省競賽題) 3你可以依次剪6張正方形紙片拼成如圖示意的圖形如果你所拼得的圖形中正方形的面積為1，且正方形與正方形的面積相等，那么正方形的面積為 4一個(gè)正方體的每個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，

7、5，6根據(jù)圖中該正方體A、B、C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，可推出“?處的數(shù)字是 5我們從不同的方向觀察同物體時(shí)，可能看到不同的圖形如圖，圖是由假設(shè)干個(gè)小正方體所搭成的幾何體，圖是從圖的上面看這個(gè)幾何體所看到的圖形，那么從圖的左面看這個(gè)幾何體所看到的圖形是( ) (無錫市中考題) 6下面幾個(gè)圖片都是由6個(gè)相同的正方形組成的，其中不能折成正方體的是( )(連云港市中考題)7圖是一個(gè)水平放置的小正方體木塊，圖、是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個(gè)疊放的圖形時(shí)，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是( ) (寧波市中考題) A25 D66 C91 D1208一個(gè)畫家有14個(gè)邊長為1米的正方體

8、，他在地面上把它擺成如圖的形式，然后，他把露出的外表都染上顏色，那么被她染上顏色的面積有( )平方米A21 B24 C33 D37 E429如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹，它是由一個(gè)正方形不斷“生長而得的，找出它的“生長規(guī)律，并畫出一個(gè)更大的“枝繁葉茂的畢達(dá)哥拉斯樹10現(xiàn)有兩塊可以重疊的三角板，在相等長的兩邊重合時(shí)，能拼出多少種不同的三角形?畫圖說明11把兩個(gè)長3cm、寬2cra、高lcm的小長方體先粘合成一個(gè)大長方體，再把它切成兩個(gè)大小相同的小長方體，最后一個(gè)小長方體的外表積最多可比起初一個(gè)小長方體的外表積大 cm212一個(gè)長方體的長、寬、高分別為9cm、6cm、5 cm，先從這個(gè)長方體上盡可能大地切

9、下一個(gè)正方體，再從剩余局部上盡可能大地切下一個(gè)正方體，最后再從第二次的剩余局部上盡可能大地切下一個(gè)正方體，那么，經(jīng)三次切割后剩余局部的體積為 cm213把正方體的六個(gè)面分別涂上不同顏色，并畫上朵數(shù)不等的花，各面上的顏色與花的朵數(shù)情況列表如下：顏色紅黃藍(lán)白紫綠花的朵數(shù)123456現(xiàn)將上述大小相同、顏色、花朵分布完全一樣的四個(gè)正方體拼成一個(gè)平面放置的長方體，那么長方體的下底共有 朵花14如圖是正方體分割后的一局部，它的另一局部是以下列圖形中的( ) (山西省中考題) 15小華用如下列圖的膠滾沿從左到右的方向?qū)D案滾涂到墻上，以下給出的四個(gè)圖案中，符合圖示膠滾涂出的圖案是( ) (江蘇省鎮(zhèn)江市中考題

10、)16圖(a)是圖(b)中立方體的平面展開圖，圖(a)與圖(b)中的箭頭位置和方向是一致的，那么圖(a)中的線段AB與圖(b)中對應(yīng)的線段是( ) (江蘇省競賽題) Ae Bh Ck Dd17用火柴擺出正方形，用多少根火柴才能擺出6個(gè)正方形?盡可能多地設(shè)想各種方案，(注：要求擺出的6個(gè)正方形中每個(gè)正方形的邊長限于一根火柴的長)18商標(biāo)是刻在或印在商品外表或包裝上的一種標(biāo)志記號，它使該商品同其他商品有所區(qū)別，因此，某種商品的商標(biāo)是該商品的象征，須向國家有關(guān)部門登記，備案的商標(biāo)稱作注冊商標(biāo)，它受國家法律保護(hù)，隨著商品經(jīng)濟(jì)的開展，商標(biāo)的設(shè)計(jì)成為一項(xiàng)重要的商業(yè)業(yè)務(wù)工程，由于幾何圖形構(gòu)成的商標(biāo)具有簡明、和諧、對稱等特點(diǎn)，所以深為商標(biāo)設(shè)計(jì)者所青睞(1)畫出你所熟悉的由幾