斷裂力學(xué)講義ch3-線彈性斷裂力學(xué)_new2_427108896

1、第三章：線彈性斷裂力學(xué)第三章：線彈性斷裂力學(xué)斷裂模式及對(duì)稱性分析斷裂模式及對(duì)稱性分析三型裂紋裂尖場(chǎng)的漸近解三型裂紋裂尖場(chǎng)的漸近解復(fù)變函數(shù)（回顧）復(fù)變函數(shù)（回顧）三型裂紋裂尖場(chǎng)的解三型裂紋裂尖場(chǎng)的解應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力強(qiáng)度因子KK-G關(guān)系關(guān)系計(jì)算計(jì)算K的常用方法的常用方法討論討論0,3, 3321u332032 u反平面剪切問(wèn)題（一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題）反平面剪切問(wèn)題（一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題）整理可得調(diào)和方程（或由整理可得調(diào)和方程（或由NavierNavier方程直接簡(jiǎn)化）方程直接簡(jiǎn)化）漸近解漸近解為什么有如此漸近的形式？為什么有如此漸近的形式？M.L. Williams. On the stress di

2、stribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957). 133uru0 as0iur分離變量法分離變量法 33,urR r u222333322210uRRRuuurrrr2223333222110uuuurrrr2222322321101urRrRRrRru George Rankine IrwinG.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a

3、plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力強(qiáng)度因子KI,II,III與與G之間的關(guān)系之間的關(guān)系G 與裂紋延伸時(shí)與裂紋延伸時(shí)能量的變化能量的變化有關(guān)有關(guān)KI,II,III僅與僅與裂紋尖端區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)度裂紋尖端區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)有關(guān)KI,II,III與與G之間的關(guān)系之間的關(guān)系?1eeUUGABa 2212032,0lim2,0,0IIIrIIIKrKrrKr首先假設(shè)固定位移加載首先假設(shè)固定位移加載針對(duì)針對(duì)III型裂紋型裂紋1x2xu uu u aB113210lim2,0IIIxKxx1+-+23313131122,=

4、2,=IIIKuuaxuaxuaxax A1x2x a32131000321311001limlim,021lim,0,aABaaaaUUGxu dxaaxuaxdxa 3211,02IIIKxx22IIIKG針對(duì)針對(duì)I、II、III型裂紋型裂紋2222IIIIIIKEKKG如果不是固定位移載荷加載（如固定力），是何結(jié)論？如果不是固定位移載荷加載（如固定力），是何結(jié)論？ 1x2x a1x2xu uu u a 2112MiKaOxxIIIIIIMi3, 2, 111111,2,124MiiiiIIKaaaxuuaxuaxuaxIIII 211002111001lim,021lim,0,aiiaa

5、iiaGxu dxaxuaxdxa 【作業(yè)題作業(yè)題3-5】21110,0,aiitipG axuaxdxwa 復(fù)合型裂紋復(fù)合型裂紋dddFUaGFddUdawtip1x2x a1x2xu uu u aFF2222IIIIIIKKKGE可由能量平衡來(lái)理解可由能量平衡來(lái)理解逐漸放松保持力過(guò)程逐漸放松保持力過(guò)程這種假設(shè)裂紋閉合張開(kāi)的虛擬過(guò)程的分析仍然適用。這種假設(shè)裂紋閉合張開(kāi)的虛擬過(guò)程的分析仍然適用。 裂紋擴(kuò)展裂紋擴(kuò)展q 能量釋放率和應(yīng)力強(qiáng)度因子關(guān)系是假定能量釋放率和應(yīng)力強(qiáng)度因子關(guān)系是假定裂紋呈直線延伸裂紋呈直線延伸下得下得到的。到的。q 在在II型和型和III型加載下裂紋擴(kuò)展往往會(huì)發(fā)生拐折和分叉。

6、對(duì)很型加載下裂紋擴(kuò)展往往會(huì)發(fā)生拐折和分叉。對(duì)很多材料的實(shí)驗(yàn)觀察表明，多材料的實(shí)驗(yàn)觀察表明，裂紋實(shí)際的擴(kuò)展路徑會(huì)逐漸轉(zhuǎn)向?yàn)榱鸭y實(shí)際的擴(kuò)展路徑會(huì)逐漸轉(zhuǎn)向?yàn)镮型斷裂占優(yōu)的路徑。型斷裂占優(yōu)的路徑。q 此外，此外，I型斷裂最為危險(xiǎn)。型斷裂最為危險(xiǎn)。2222IIIIIIKEKKGEKGI2平面應(yīng)變斷裂韌性：平面應(yīng)變斷裂韌性：實(shí)驗(yàn)測(cè)量應(yīng)力強(qiáng)度因子實(shí)驗(yàn)測(cè)量應(yīng)力強(qiáng)度因子電測(cè)法電測(cè)法光彈法光彈法熱彈性法（熱彈性法（Thermoelastic Method）數(shù)字圖像相關(guān)（數(shù)字圖像相關(guān)（Digital image correlation）裂尖應(yīng)變裂尖應(yīng)變裂尖溫度場(chǎng)裂尖溫度場(chǎng)裂尖位移場(chǎng)裂尖位移場(chǎng)裂尖主應(yīng)力裂尖主應(yīng)力臨界

7、狀態(tài)安全I(xiàn)CIKK基于應(yīng)力強(qiáng)度因子的斷裂準(zhǔn)則基于應(yīng)力強(qiáng)度因子的斷裂準(zhǔn)則KIC 材料的斷裂韌性材料的斷裂韌性（Fracture toughness）實(shí)驗(yàn)測(cè)量實(shí)驗(yàn)測(cè)量KICASTMCompact tension (CT)Single edge notch bend (SENB)22.5ICyKB22.5ICyKa平面應(yīng)變平面應(yīng)變Crack mouth opening displacement (CMOD)QQPaKfWB W此前，只討論了裂尖的漸近解，這里將討論如何結(jié)合幾何和載此前，只討論了裂尖的漸近解，這里將討論如何結(jié)合幾何和載荷條件來(lái)確定應(yīng)力強(qiáng)度因子。主要有以下一些方法：荷條件來(lái)確定應(yīng)力強(qiáng)度因

8、子。主要有以下一些方法：v Westergaard應(yīng)力函數(shù)法（應(yīng)力函數(shù)法（ Westergaard stress function）v 權(quán)函數(shù)法（權(quán)函數(shù)法（Weight function）v 線性疊加法線性疊加法 （Principle of superposition）0 ,2lim12101xxKixM應(yīng)力強(qiáng)度因子求解應(yīng)力強(qiáng)度因子求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算：應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算：IIIIIIMi3, 2, 1Westergaard應(yīng)力函數(shù)法（應(yīng)力函數(shù)法（ Westergaard stress function）之前的解析函數(shù)構(gòu)造時(shí)只關(guān)心裂尖處的之前的解析函數(shù)構(gòu)造時(shí)只關(guān)心裂尖處的漸近場(chǎng)漸近場(chǎng)及邊界條

9、件，及邊界條件，Westergaard應(yīng)力函數(shù)方法將滿足所有邊界，并能給出應(yīng)力函數(shù)方法將滿足所有邊界，并能給出全場(chǎng)解。全場(chǎng)解。I、II型裂紋型裂紋40F ReFzzz dz112212Re 2Re 2Imzzz122Re2Imuzuz34Planestrain3Planestress1應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)位移場(chǎng)Westergaard應(yīng)力函數(shù)法（應(yīng)力函數(shù)法（ Westergaard stress function） dzzzzFRe00112，x,1x 0ImIm0022 xxzzzzzz,2FF Azzzx 02yvxuxvyu zzAz zzZI 2在前面的平面問(wèn)題求解中在前面

10、的平面問(wèn)題求解中,需要確定兩個(gè)解析函數(shù)需要確定兩個(gè)解析函數(shù) (z)和和 (z) ，其實(shí)在對(duì)稱和，其實(shí)在對(duì)稱和反對(duì)稱特例下，可利用反對(duì)稱特例下，可利用Westergaard函數(shù)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)解析函數(shù)的求解。函數(shù)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)解析函數(shù)的求解。以以I型問(wèn)題為例：型問(wèn)題為例： 利用了對(duì)稱性利用了對(duì)稱性A為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)解析延拓（定義見(jiàn)下頁(yè)）：解析延拓（定義見(jiàn)下頁(yè)）： I型裂紋的型裂紋的Westergaard應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)： AZxZIIImRe211 AZxZIIImRe222 IZx Re212 121ImRe212AxZxdzZuII 222ReIm212AxZxdzZuII用用Weste

11、rgaard應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力、位移應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力、位移應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)位移場(chǎng) zzZI 2 2IzzAZz112212Re 2Re 2Imzzz122Re2Imuzuz當(dāng)當(dāng) x2= 0時(shí)剪應(yīng)力為零，這意味著時(shí)剪應(yīng)力為零，這意味著裂紋面是主平面裂紋面是主平面。I型裂紋型裂紋012, 02122axxi AZxZIIImRe222 0Re1 AxZI12,0 xa xax1 22IR zR zZAAzazaza1122,z 例：雙軸載荷下含中心裂紋的無(wú)窮大板例：雙軸載荷下含中心裂紋的無(wú)窮大板是是ZI(z)兩個(gè)枝點(diǎn)，可猜測(cè)兩個(gè)枝點(diǎn)，可猜測(cè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件：無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件：自由裂紋表面：自由

12、裂紋表面：22IzzZzazaza AZxZIIImRe211 AZxZIIImRe2221x2x【作業(yè)題作業(yè)題3-6】雙軸加載，但水雙軸加載，但水平與豎直方向遠(yuǎn)平與豎直方向遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力不同場(chǎng)應(yīng)力不同一旦一旦Westergaard函數(shù)已知，便可知道全場(chǎng)解函數(shù)已知，便可知道全場(chǎng)解12,0 xa x22IzZza 1221221ReIxZxxa轉(zhuǎn)換坐標(biāo)到裂尖轉(zhuǎn)換坐標(biāo)到裂尖1rxaI型裂紋：型裂紋：1xra1220011lim,0lim22rrxaarxaxarar220lim 2,0IrKrra IKa 112ReImIIZxZ222ReImIIZxZ IZx Re2121212ReIm2IIuZ d

13、zxZ2212ImRe2IIuZ dzxZ應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)位移場(chǎng)裂紋面上裂紋面上221ReIZx21Im4IuZ dz lim2IIzaKZzza2sin21sin2IZaWzW還可用還可用Westergaard函數(shù)法考察共行和共列多個(gè)裂紋的相互作用（參見(jiàn)函數(shù)法考察共行和共列多個(gè)裂紋的相互作用（參見(jiàn)Koiter，1959的工作）。的工作）。如何猜測(cè)如何猜測(cè)Westergaard函數(shù)？函數(shù)？【題題3-7】對(duì)于周期性分布的共行、共列裂紋，如何提邊界條件？并利對(duì)于周期性分布的共行、共列裂紋，如何提邊界條件？并利用用Westergaard函數(shù)證明裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子。函數(shù)證明裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子。2tan2

14、IWaKaaW 2x1x共行裂紋的交互作用為共行裂紋的交互作用為加強(qiáng)各自的應(yīng)力強(qiáng)度因子加強(qiáng)各自的應(yīng)力強(qiáng)度因子，而共列裂紋則起，而共列裂紋則起相互屏相互屏蔽作用蔽作用。ab1122Im2IIZ22111222IIIIiiZx Z 12242IIIIIIuiuiZz dziZz dzx Zz II裂紋的裂紋的Westergaard應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 2IIZziz裂紋面上裂紋面上應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)位移場(chǎng)12ReIIZ11Im4IIuZ dz22IIzZzaII型中心裂紋承受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻剪切型中心裂紋承受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻剪切IIKa2211111,04uxaxxa lim2IIIIzaKi Zzza3231III

15、iZ3ImIIIuZIII型型裂紋的復(fù)變函數(shù)表示方法裂紋的復(fù)變函數(shù)表示方法應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)位移場(chǎng)位移場(chǎng)III型中心裂紋承受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻剪切型中心裂紋承受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻剪切22IIIzZza2231111,0uxaxxa IIIKa為了統(tǒng)一為了統(tǒng)一 lim2IIIIIIzaKZzza根據(jù)邊界條件猜測(cè)根據(jù)邊界條件猜測(cè)Westergaard函數(shù)函數(shù)邊界條件邊界條件32120,0 xa x321231,0 x x 3231IIIiZ11Re00 ,IIIZzxixaIIIZz 11IIIIIIZzazaZzaza 22IIIzZza裂紋面裂紋面無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)III型裂紋面上承受集中力型裂紋面上承受集中力1IIIZza

16、za1IIIZzaza 0IIIZz0IIITZzbizb0IIITZzbizb22IIITTZzaza zbzazb0IIITzbiZizb2222IIITabZzazb0IIITzbiZizb 附：復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)附：復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)22zaIII型半無(wú)限場(chǎng)裂紋面上承受集中力型半無(wú)限場(chǎng)裂紋面上承受集中力10IIIZzziIIITZzbezbiIIITZzbezbIIITZz zbiIIITzbeZizbIIITbZz zbiIIITzbeZizb dAhfdhtKA權(quán)函數(shù)法權(quán)函數(shù)法顧名思義，加權(quán)累加，所以要求線彈性顧名思義，加權(quán)累加，所以要求線彈性Bueckner, H.F., “A Nove

17、l Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545.Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758.James R. Rice為什么用機(jī)械總勢(shì)能？（

18、勒讓德變換來(lái)改變變量）為什么用機(jī)械總勢(shì)能？（勒讓德變換來(lái)改變變量） 12P0P2122aK2EPK,*K*u*2PuEhKa dAhfdhtKA2;PuKhxaaE把上述想法連續(xù)化，可得如下求解步驟：把上述想法連續(xù)化，可得如下求解步驟：（1 1）對(duì)一裂紋幾何，若已知一種載荷下的解）對(duì)一裂紋幾何，若已知一種載荷下的解權(quán)函數(shù)定義為權(quán)函數(shù)定義為（2 2）利用權(quán)函數(shù)可計(jì)算其它載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子）利用權(quán)函數(shù)可計(jì)算其它載荷下的應(yīng)力強(qiáng)度因子不需要知道權(quán)函數(shù)的全場(chǎng)值，只不需要知道權(quán)函數(shù)的全場(chǎng)值，只需計(jì)算與需計(jì)算與t 、f 載荷功共軛的部分載荷功共軛的部分權(quán)函數(shù)的分布值。權(quán)函數(shù)的分布值。（3 3）該載荷下的位

19、移場(chǎng)滿足）該載荷下的位移場(chǎng)滿足權(quán)函數(shù)是唯一的，與加載狀態(tài)無(wú)關(guān)，僅表示裂紋構(gòu)型的特征！權(quán)函數(shù)是唯一的，與加載狀態(tài)無(wú)關(guān)，僅表示裂紋構(gòu)型的特征！左端還是右端的應(yīng)力強(qiáng)度因子？左端還是右端的應(yīng)力強(qiáng)度因子？ 【題題3-8】如何計(jì)算左端的應(yīng)力強(qiáng)度因子？（仍用此坐標(biāo)系表達(dá)）如何計(jì)算左端的應(yīng)力強(qiáng)度因子？（仍用此坐標(biāo)系表達(dá)）無(wú)限長(zhǎng)裂紋無(wú)限長(zhǎng)裂紋半無(wú)限長(zhǎng)裂紋半無(wú)限長(zhǎng)裂紋Green函數(shù)函數(shù)權(quán)函數(shù)方法也可用于三維裂紋權(quán)函數(shù)方法也可用于三維裂紋線性疊加法線性疊加法對(duì)于對(duì)于線彈性材料線彈性材料，只要，只要斷裂模式是一致的斷裂模式是一致的，應(yīng)力強(qiáng)度因子也可以疊加。，應(yīng)力強(qiáng)度因子也可以疊加。( )( )( )( )abcbII

20、IIKKKK已知已知b、c的應(yīng)力強(qiáng)度因子，如何求的應(yīng)力強(qiáng)度因子，如何求a的強(qiáng)度因子？的強(qiáng)度因子？線性疊加法線性疊加法思考題？思考題？討討 論論漸近解漸近解與與全場(chǎng)解全場(chǎng)解的比較的比較2211,02IKxxa1221221,0 xxxa漸近解漸近解全場(chǎng)解全場(chǎng)解K主導(dǎo)區(qū)域主導(dǎo)區(qū)域222222FKKF43KKa坐標(biāo)在裂紋中心KKll為最小的特征尺度小小 結(jié)結(jié) （二）（二）vK與與G之間的關(guān)系之間的關(guān)系v求解求解K的方法的方法Westergaard函數(shù)法、權(quán)函數(shù)法、線函數(shù)法、權(quán)函數(shù)法、線性疊加法性疊加法v討論關(guān)于漸近解與全場(chǎng)解的比較討論關(guān)于漸近解與全場(chǎng)解的比較作作 業(yè)業(yè) 題題【作業(yè)題作業(yè)題3-5】：仿照講義中：仿照講義中III型裂紋型裂紋KIII與與G之間的推導(dǎo)，獨(dú)立推導(dǎo)之間的推導(dǎo)，獨(dú)立推導(dǎo)I、II型裂紋型裂紋KI 、KII與與G之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。（1）給出）給出A圖中裂尖使裂紋閉合的應(yīng)力表示；圖中裂尖使裂紋閉合的應(yīng)力表示；（2）給出）給出B圖中裂尖上下表面的位移差表示；圖中裂尖上下表面的位移差表示；（3）代入如下公式計(jì)算）代入如下公式計(jì)算KI 、KII與與G之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。211002111001lim,021lim,0,aiiaaiiaGxu