2019年全國重點(diǎn)高中初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬試題(4套)含答案解析

1、2019 年全國重點(diǎn)高中自主招生數(shù)學(xué)模擬試題1一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）1（4 分）在 “百度”搜索引擎中輸入 “永安”二字，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個(gè)數(shù)約為 61600000，數(shù) 61600000 用科學(xué)記數(shù)法表示正確的為（） A61.6×107B6.16×108C 6.16×107D0.616×1082（4 分）下列運(yùn)算正確的是（）Aa3÷ a2=aBa3+a2=a5 C（ a3）2=a5Da2?a3=a63（4 分）一元二次方程 x24x+4=0 的根的情況為（） A只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

2、C有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D沒有實(shí)數(shù)根4（4 分）若雙曲線 y=分布在二、四象限，則 k 的值可為（）A0B1C2D35（4 分）在正方形網(wǎng)格中， ABC的位置如圖，則 cosB 的值為（）ABCD6（ 4 分）下列函數(shù)： y=3x；y=2x 1；y=x2+2x+3其中 y 的值隨 x 值的增大而增大的函數(shù)有（）A4 個(gè) B3 個(gè) C2 個(gè) D1 個(gè)7（ 4 分）按下面的程序計(jì)算， 若開始輸入的值 x 為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為 656，則滿足條件的 x 的不同值最多有（）A2 個(gè) B3 個(gè) C4 個(gè) D5 個(gè)第 6 頁（共 94 頁）8（4 分）已知關(guān)于 x 的不等式組的解集中任意一個(gè) x 的值均

3、不在 0x4 的范圍內(nèi)，則 a 的取值范圍是（）Aa5 或 a 2B 2a5C 2a5Da5 或 a 29（ 4 分）如圖，已知點(diǎn) A 是以 MN 為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn) B 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是半徑 ON 上的點(diǎn)若 O 的半徑為 l，則 AP+BP 的最小值為（ ）A2BCD110（ 4 分）如圖，直角三角形 ABC位于第一象限， AB=3， AC=2，直角頂點(diǎn) A 在直線 y=x 上，其中 A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，且兩條直角邊 AB、AC分別平行于 x 軸、y 軸，若雙曲線 （k0）與 ABC有交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是（ ）A1k5 BCD二、填空題（本大題共 6 小題，每小題

4、4 分，共 24 分）11（ 4 分）不透明的口袋中有 2 個(gè)黑球， 1 個(gè)白球，它們除顏色外其它均相同，從中先后兩次摸出一個(gè)球（第一次摸出后不放回），則兩次都摸到黑球的概率是12（4 分）若 x，y 為實(shí)數(shù)，且滿足（x3）2+ =0，則（ ）2017 的值是 13（ 4 分）計(jì)算： x（x+2）（ x+1）（ x 1） =14（ 4 分）如圖，點(diǎn) A，B，C，D 在 O 上，點(diǎn) O 在 D 的內(nèi)部，四邊形 OABC為平行四邊形，則 OAD+OCD=°15（ 4 分）有這么一個(gè)數(shù)字游戲：第一步：取一個(gè)自然數(shù)n1=5，計(jì)算 n12+1 得 a1； 第二步：算出 a1 的各位數(shù)字之和，得

5、 n2，計(jì)算 n222+1 得 a ；第三步：算出 a2 的各位數(shù)字之和，得 n3，再計(jì)算 n32+1 得 a3； 依此類推，則 a2017=16（ 4 分）矩形紙片 ABCD中， AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點(diǎn) B 落在邊 CD上的 B處，折痕為 AE、在折痕 AE上存在一點(diǎn) P 到邊 CD的距離與到點(diǎn) B 的距離相等，則此相等距離為三、解答題（本大題共 9 小題，共計(jì) 86 分）17（ 7 分）計(jì)算： | 2| （ 2）0+（ ） 218（ 7 分）先化簡，再求值：÷（ a），其中 a=2，b=119（ 8 分）如圖，正方形 ABCD的邊 CD 在正方形 ECGF的邊 CE

6、上，連結(jié) BE、 DG（1） ）求證： BE=DG且 BE DG；（2） ）圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請(qǐng)說明理由20（ 8 分）釣魚島歷來就是我們中國的固有領(lǐng)土，是神圣不可侵犯的！如圖是釣魚島中某個(gè)島礁上的斜坡 AC，我海監(jiān)船在海面上與點(diǎn) C距離 200 米的 D 處， 測(cè)得島礁頂端 A 的仰角為 26.6 °，以及該斜坡坡度是tan =，求該島礁的高 AB（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)： sin26.6 °0.45，cos26.6 °0.89，tan26.6°0.50）21（8 分）據(jù)報(bào)載，在 “百萬家庭

7、低碳行，垃圾分類要先行 ”活動(dòng)中，某地區(qū)的一個(gè)環(huán)保組織在 2014 年 4 月份隨機(jī)問卷了一些民眾，對(duì)垃極分類所持態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪成扇形圖（如圖） （ 1 ）扇形圖中，表示持“一般 ”態(tài)度的民眾所占比例的扇形的圓心角度數(shù)是；（ 2）調(diào)查中，如果把所持態(tài)度中的 “很贊同 ”和“贊同”統(tǒng)稱為 “支持”， 2016 年 4月，該環(huán)保組織又進(jìn)行了一次同樣的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)“垃圾分類支持者 ”占到了調(diào)查人數(shù)的 84.7%，那么這兩年里 “垃圾分類支持者 ”的年平均增長率大約是多少？22（ 10 分）如圖， RtABC中 C=90°， AC=4，BC=3；半徑為 1 的 P 的圓心 P在 A

8、C邊上移動(dòng)（1） ）當(dāng) AP 為多長時(shí)， P 與 AB相切？（如有需要，可用圖 1 分析）（2） ）如圖 2，當(dāng)P 運(yùn)動(dòng)到與邊 BC相交時(shí)，記交點(diǎn)為 E，連結(jié) PE，并作PDAC交 AB 于點(diǎn) D，問：四邊形 PDBE可能為平行四邊形嗎？若可能，求出此時(shí)AP的長；若不可能，說明理由23（10 分）如圖是二次函數(shù) y=（x+m）2+k 的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M（ 1，4）（1） ）求出圖象與 x 軸的交點(diǎn) A，B（A 在 B 的左邊）的坐標(biāo)；與 y 軸的交點(diǎn) C 坐標(biāo)，并畫出二次函數(shù)的草圖；（2） ）將二次函數(shù)的圖象在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)

9、你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， b 的取值范圍24（ 14 分）如圖，在半徑為 2 的扇形 AOB中， AOB=120°，點(diǎn) C是弧 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn) A、B 重合），ODAC，OEBC，垂足分別為 D、E（1） ）當(dāng)點(diǎn) C是弧 AB中點(diǎn)時(shí)（如圖），求線段 OD 的長度；（2） ）觀察圖，點(diǎn) C 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)， DOE的邊、角有哪些保持不變？求出不變的量；（3） ）設(shè) OD=x， DOE的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍25（14 分）已知二次函數(shù) y=ax22ax+c 的圖象與 x 軸交于

10、 A（ 1，0）、B 兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 M（）根據(jù)圖象，解不等式 ax22ax+c 0；（）若點(diǎn) D（ 3，6）在二次函數(shù)的圖象上，試問：線段 OB上是否存在 N 點(diǎn)， 使得 ADB=BMN？若存在，求出 N 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）1（4 分）在 “百度”搜索引擎中輸入 “永安”二字，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個(gè)數(shù)約為 61600000，數(shù) 61600000 用科學(xué)記數(shù)法表示正確的為（） A61.6×107B6.16×108C 6.16×107D0.616×108【分析】科學(xué)

11、記數(shù)法的表示形式為 a× 10n 的形式，其中 1| a| 10，n 為整數(shù)確定 n 的值時(shí)，要看把原數(shù)變成 a 時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位， n 的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值 1 時(shí)， n 是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值 1 時(shí)， n 是負(fù)數(shù)【解答】 解： 61 600 000=6.16×107，故選： C【點(diǎn)評(píng)】 此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n 的形式，其中 1| a| 10，n 為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a 的值以及 n 的值2（4 分）下列運(yùn)算正確的是（）Aa3÷ a2=aBa3+a2=a5 C（ a3）2=a5

12、Da2?a3=a6【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除， 底數(shù)不變指數(shù)相減； 冪的乘方， 底數(shù)不變指數(shù)相乘； 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解【解答】 解： A、a3÷ a2=a，正確；B、a3 與 a2 是相加，不是相乘，所以不能利用同底數(shù)冪的乘法計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、應(yīng)為（ a3） 2=a3×2=a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、應(yīng)為 a2?a3=a2+3=a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 故選： A【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵第 7 頁（共 94 頁）3（4 分）一元二次方程 x24x+4=0 的根的情況為（）

13、A只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D沒有實(shí)數(shù)根【分析】把 a=1，b=4，c=4 代入判別式 =b24ac 進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況【解答】 解：一元二次方程 x24x+4=0， =（ 4）24×1×4=0，方程有兩相等實(shí)數(shù)根 故選： B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式， 一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系： （1） 0? 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2） =0? 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3） 0? 方程沒有實(shí)數(shù)根4（4 分）若雙曲線 y=分布在二、四象限，則 k 的值可為（）A0B1C2D3【分析】根據(jù)反比例函數(shù) y=的性質(zhì)得

14、到 k 1 0，然后解不等式得到 k 的范圍，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷【解答】 解：根據(jù)題意得 k10， 解得 k1故選： A【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了反比例函數(shù) y=（k 0）的性質(zhì)：當(dāng) k 0，圖象分布在第一、三象限；當(dāng) k 0，圖象分布在第二、四象限5（4 分）在正方形網(wǎng)格中， ABC的位置如圖，則 cosB 的值為（）第 52 頁（共 94 頁）ABCD【分析】 利用網(wǎng)格特點(diǎn)構(gòu)建RtABD，利用勾股定理計(jì)算出 AB，然后利用余弦的定義求解【解答】 解：如圖，在 ABD中， AD=3，BD=4，AB=5，cosB= 故選： D【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解直角三角形：靈活運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義6

15、（ 4 分）下列函數(shù)： y=3x；y=2x 1；y=x2+2x+3其中 y 的值隨 x 值的增大而增大的函數(shù)有（）A4 個(gè) B3 個(gè) C2 個(gè) D1 個(gè)【分析】 分清每個(gè)函數(shù)的類別，根據(jù)函數(shù)的增減性，逐一判斷【解答】 解： y=3x， 30，y 隨 x 的增大而減??；y=2x1， 2 0， y 隨 x 的增大而增大； 1 0，圖象在第二、四象限，當(dāng) x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；y=x2+2x+3 當(dāng) x1 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，當(dāng) x1 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小符合題意，故選 C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性7（ 4 分）按下面的程序計(jì)算，

16、 若開始輸入的值 x 為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為 656，則滿足條件的 x 的不同值最多有（）A2 個(gè) B3 個(gè) C4 個(gè) D5 個(gè)【分析】根據(jù)最后輸出的結(jié)果，可計(jì)算出它前面的那個(gè)數(shù)，依此類推，可將符合題意的那個(gè)最小的正數(shù)求出【解答】 解：最后輸出的數(shù)為 656， 5x+1=656，得： x=1310， 5x+1=131，得： x=26 0， 5x+1=26，得： x=50， 5x+1=5，得： x=0.8 0； 5x+1=0.8，得： x=0.04 0，不符合題意， 故 x 的值可取 131， 26，5，0.8 共 4 個(gè) 故選： C【點(diǎn)評(píng)】本題立意新穎，借助新運(yùn)算，實(shí)際考查一元一次方程的解法

17、；解一元一次方程常見的過程有去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化為1 等8（4 分）已知關(guān)于 x 的不等式組的解集中任意一個(gè) x 的值均不在 0 x4 的范圍內(nèi)，則 a 的取值范圍是（）Aa5 或 a 2B 2a5C 2a5Da5 或 a 2【分析】 根據(jù)解不等式組，可得不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解集是與0 x4 的關(guān)系，可得答案【解答】 解：解，得a1xa+2，由不等式組的解集中任意一個(gè) x 的值均不在 0x4 的范圍內(nèi)，得a+2 0 或 a14， 解得 a5 或 a 2， 故選： D【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了不等式的解集，利用解集中任意一個(gè)x 的值均不在 0x4的范圍內(nèi)得出不等式是解題關(guān)鍵9（ 4 分）如圖

18、，已知點(diǎn) A 是以 MN 為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是半徑 ON 上的點(diǎn)若 O 的半徑為 l，則 AP+BP 的最小值為（）A2BCD1【分析】本題是要在 MN 上找一點(diǎn) P，使 PA+PB的值最小，設(shè) A是 A 關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn)，連接 A，B與 MN 的交點(diǎn)即為點(diǎn) P此時(shí) PA+PB=AB是最小值，可證 OAB是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果 1【解答】 解：作點(diǎn) A 關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn) A，連接 A，B交 MN 于點(diǎn) P，則 PA+PB最小，連接 OA，AA， OB，點(diǎn) A 與 A關(guān)于 MN 對(duì)稱，點(diǎn) A 是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)， AON= AON=6

19、76;0 ，PA=PA，點(diǎn) B 是弧 AN的中點(diǎn)， BON=3°0， AOB= AO+NBON=9°0 ，又 OA=OA =1， AB= PA+PB=PA+PB=AB= 故選： C【點(diǎn)評(píng)】正確確定 P 點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵， 確定點(diǎn) P 的位置這類題在課本中有原題，因此加強(qiáng)課本題目的訓(xùn)練至關(guān)重要10（ 4 分）如圖，直角三角形 ABC位于第一象限， AB=3， AC=2，直角頂點(diǎn) A 在直線 y=x 上，其中 A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，且兩條直角邊 AB、AC分別平行于 x 軸、y 軸，若雙曲線 （k0）與 ABC有交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是（ ）A1k5 BCD【分析】 把

20、A 點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出 k 的最小值；當(dāng)反比例函數(shù)和直線BC相交時(shí)，求出 b24ac 的值，得出 k 的最大值【解答】 解：在 y=x 中，令 x=1，則 y=1，則 A 的坐標(biāo)是（ 1，1），把（ 1，1）代入 y=得： k=1；C的坐標(biāo)是（ 1，3），B 的坐標(biāo)是（ 4，1），設(shè)直線 BC的解析式是 y=kx+b，則，解得：，則函數(shù)的解析式是： y= x+，根據(jù)題意，得： = x+ ，即 2x211x+3k=0，=121 24k 0， 解得： k則 k 的范圍是： 1k故選： B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)， 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式， 根的判別式等知識(shí)點(diǎn)， 解此題的關(guān)鍵是理解

21、題意進(jìn)而求出k 的值題目較好，難度適當(dāng)二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分）11（ 4 分）不透明的口袋中有 2 個(gè)黑球， 1 個(gè)白球，它們除顏色外其它均相同，從中先后兩次摸出一個(gè)球（第一次摸出后不放回） ，則兩次都摸到黑球的概率是【分析】先畫出樹狀圖展示所有9 種等可能的結(jié)果， 再找出兩次都摸到黑球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解【解答】 解：畫樹狀圖：，共有 6 種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到黑球的結(jié)果為2 種， 所以兩次都摸到黑球的概率 =故答案為 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法： 先利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出 n，再從中選出符合事件 A 或

22、B 的結(jié)果數(shù)目 m，然后根據(jù)概率的公式計(jì)算概率12（ 4 分）若 x，y 為實(shí)數(shù)，且滿足（ x 3）2+=0，則（）2017 的值是1【分析】 直接利用偶次方的性質(zhì)以及算術(shù)平方根的性質(zhì)得出x， y 的值，進(jìn)而得出答案【解答】 解：（ x 3） 2+=0，x=3， y=3，則（）2017=（ 1）2017=1， 故答案為： 1【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了偶次方的性質(zhì)以及算術(shù)平方根的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵13（ 4 分）計(jì)算： x（x+2）（ x+1）（ x 1） =2x+1【分析】原式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式， 以及平方差公式化簡， 去括號(hào)合并即可得到結(jié)果【解答】 解：原式 =x2+2x x

23、2+1=2x+1 故答案為： 2x+1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式， 以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式， 熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵14（ 4 分）如圖，點(diǎn) A，B，C，D 在 O 上，點(diǎn) O 在 D 的內(nèi)部，四邊形 OABC為平行四邊形，則 OAD+OCD=60°【分析】 利用四邊形 OABC為平行四邊形，可得 AOC=B， OAB= OCB， OAB+ B=180°利用四邊形 ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，可得 D+B=180°利用同弧所對(duì)的圓周角和圓心角可得 D= AOC，求出 D=60°，進(jìn)而即可得出【解答】 解：四邊形 OABC為平行四邊形， AOC=

24、B， OAB=OCB， OAB+B=180°四邊形 ABCD是圓的內(nèi)接四邊形， D+ B=180°又 D= AOC， 3 D=180°，解得 D=60° OAB=OCB=18°0 B=60° OAD+OCD=36°0（ D+B+OAB+OCB）=360°（60°+120°+60°+60°）=60°故答案為： 60【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、 圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、 同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題15（ 4 分）有這么一個(gè)數(shù)字游戲：第一步：取一個(gè)自

25、然數(shù)n1=5，計(jì)算 n12+1 得 a1； 第二步：算出 a1 的各位數(shù)字之和，得 n2，計(jì)算 n222+1 得 a ；第三步：算出 a2 的各位數(shù)字之和，得 n3，再計(jì)算 n32+1 得 a3； 依此類推，則 a2017=26【分析】根據(jù)題意可以分別求得 a1，a2，a3，a4，從而可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，三個(gè)一循環(huán)，從而可以求得 a2017 的值【解答】 解：由題意可得， a1=52+1=26， a2=（2+6） 2+1=65， a3=（6+5） 2+1=122， a4=（1+2+2）2+1=26， 2017÷ 3=6721， a2017=26， 故答案為： 26【點(diǎn)評(píng)】本題考查

26、規(guī)律性：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出前幾個(gè)數(shù)，觀察數(shù)的變化特點(diǎn)，求出 a2017 的值16（ 4 分）矩形紙片 ABCD中， AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點(diǎn) B 落在邊 CD上的 B處，折痕為 AE、在折痕 AE上存在一點(diǎn) P 到邊 CD的距離與到點(diǎn) B 的距離相等，則此相等距離為【分析】 由翻折的性質(zhì)知， BP=B，P而要點(diǎn) P到 CD的距離等于 PB，則該垂線段必為 PB，故有 PBCD，延長 AE交 DC的延長線于點(diǎn) F，由于 DFAB，則 F=BAE= BA，E所以 BF=BA=AB，=而5 BPAD，利用平行線分線段成比例定理（或相似三角形的性質(zhì)）即可求得BP的長，

27、由此得解【解答】解：方法 1：根據(jù)折疊的性質(zhì)知： BP=PB，若點(diǎn) P到 CD的距離等于 PB，則此距離必與BP相同，所以該距離必為PB延長 AE 交 DC 的延長線于F由題意知： AB=AB=，5 BAE= BA；E在 RtABD中， AB=，5 AD=4，故 BD=；3由于 DFAB，則 F=BAE， 又 BAE=BA，E F=BA，EFB=AB；=5PB CD，ADCD，PB AD，即， 解得 PB=2.；5方法 2：過 B做 CD的垂線交 AE于 P點(diǎn)，連接 PB，易于說明， P 即是符合題意的在 RtABD中， AB=，5所以 CB=2設(shè) BE=a，CE=4a又 EB=EB=，a在

28、RtECB中（ 4 a）2+22=a2解得 a=2.5，AD=4，故 BD=3連接 BB，由對(duì)稱性可知， BG=BG， EPBB， BEB，P BEG B P，G BE=B，P四邊形 BPBE為平行四邊形，又 BE=EB所以四邊形 BPBE是菱形所以 PB=BE=a=2.5故所求距離為 2.5故此相等的距離為 2.5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、 圖形的翻折變換以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)PB就是所求的 P 到 CD的距離三、解答題（本大題共 9 小題，共計(jì) 86 分）17（ 7 分）計(jì)算： | 2| （ 2）0+（ ） 2【分析】 根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪

29、可以解答本題【解答】 解： | 2| （ 2）0+（） 2=21+4=5【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法18（ 7 分）先化簡，再求值：÷（ a），其中 a=2，b=1【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a(bǔ) 與 b 的值代入計(jì)算即可求出值【解答】 解：原式 =÷=?=，當(dāng) a=2，b=1 時(shí)，原式 =1【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵19（ 8 分）如圖，正方形 ABCD的邊 CD 在正方形 ECGF的邊 CE上，連結(jié)

30、BE、 DG（1） ）求證： BE=DG且 BE DG；（2） ）圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請(qǐng)說明理由【分析】（1）由正方形的性質(zhì)，可證得 BCE DCG，則可證得 BE=DG，延長 GD交 BE于點(diǎn) H，則可證得 BHG=90°；（ 2）由（ 1）的證可求得答案【解答】（1）證明：延長 GD交 BE于點(diǎn) H，如圖，四邊形 ABCD、CEFG為正方形， BCE=DCG， CE=CG，BC=CG， BCE DCG（ SAS），BE=DG， BEC= DGC， BEC+EBC=9°0， EBC+DGC=9°0， B

31、HG=9°0，即 BEDG；（ 2）解：存在，把 BCE繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°可得到 DCG【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證得BCE DCG是解題的關(guān)鍵20（ 8 分）釣魚島歷來就是我們中國的固有領(lǐng)土，是神圣不可侵犯的！如圖是釣魚島中某個(gè)島礁上的斜坡 AC，我海監(jiān)船在海面上與點(diǎn) C距離 200 米的 D 處， 測(cè)得島礁頂端 A 的仰角為 26.6 °，以及該斜坡坡度是tan =，求該島礁的高 AB（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)： sin26.6 °0.45，cos26.6 °0.89，tan26.6°0

32、.50）【分析】 根據(jù) tan =，可設(shè) AB=3x（米），BC=4x（米），繼而表示出 AB、BD 的長度，再由 tan26.6 °0.50，可得關(guān)于 x 的方程，解出即可得出答案【解答】 解：在 RtABC中，故可設(shè) AB=3x（米），BC=4x（米），在 RtADB 中， D=26.6°，BD=200+4x（米），解得： x=100，則 3x=300答：該島礁的高 AB 為 300 米【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形， 利用三角函數(shù)的定義，表示相關(guān)線段的長度21（8 分）據(jù)報(bào)載，在 “百萬家庭低碳行，垃圾分類要先行 ”活動(dòng)中，某地

33、區(qū)的一個(gè)環(huán)保組織在 2014 年 4 月份隨機(jī)問卷了一些民眾，對(duì)垃極分類所持態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪成扇形圖（如圖） （ 1）扇形圖中，表示持“一般 ”態(tài)度的民眾所占比例的扇形的圓心角度數(shù)是36° ；（ 2）調(diào)查中，如果把所持態(tài)度中的 “很贊同 ”和“贊同”統(tǒng)稱為 “支持”， 2016 年 4月，該環(huán)保組織又進(jìn)行了一次同樣的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)“垃圾分類支持者 ”占到了調(diào)查人數(shù)的 84.7%，那么這兩年里 “垃圾分類支持者 ”的年平均增長率大約是多少？【分析】（1）求出持 “一般”態(tài)度的民眾占的百分比，乘以 360 即可得到結(jié)果；（ 2）設(shè)這兩年里 “垃圾分類支持者 ”的年平均增長率是 x，

34、根據(jù)題意列出方程， 求出方程的解即可得到結(jié)果【解答】 解：（1）根據(jù)題意得： 360°×（ 120%39%31%）=36°，故答案為： 36°；（ 2）設(shè)這兩年里 “垃圾分類支持者 ”的年平均增長率大約是x， 根據(jù)題意得： 70%（ 1+x）2=84.7%，解得： x1=0.1=10%， x2= 2.1（不符合題意，舍去） ，則這兩年里 “垃圾分類支持者 ”的年平均增長率 10%【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，扇形統(tǒng)計(jì)圖，以及用樣本估計(jì)總體， 弄清題意是解本題的關(guān)鍵22（ 10 分）如圖， RtABC中 C=90°， AC=4，BC=3

35、；半徑為 1 的 P 的圓心 P在 AC邊上移動(dòng)（1） ）當(dāng) AP 為多長時(shí)， P 與 AB相切？（如有需要，可用圖 1 分析）（2） ）如圖 2，當(dāng)P 運(yùn)動(dòng)到與邊 BC相交時(shí)，記交點(diǎn)為 E，連結(jié) PE，并作PDAC交 AB 于點(diǎn) D，問：四邊形 PDBE可能為平行四邊形嗎？若可能，求出此時(shí)AP的長；若不可能，說明理由【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出當(dāng)PF=1時(shí)， P 與 AB 相切，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可；（ 2）根據(jù)平行四邊形的判定，得出當(dāng)PEAB 時(shí)，四邊形 PDBE是平行四邊形， 由 PE AB得， PCE ACB，進(jìn)而求出即可【解答】 解：（1）過 P 作 PF AB于點(diǎn)

36、 F由 P的半徑為 1 得，當(dāng) PF=1時(shí)， P 與 AB相切 由 A 是公共角， PFA=C=90°，得 APF ABC， ，其中，由 AC=4、BC=3得 AB=5AP= ；（ 2）由 PDAC，C=90°，得 PDBC，當(dāng) PEAB 時(shí)，四邊形 PDBE是平行四邊形 由 PE AB得，PCE ACB，設(shè) AP=x，得 PC=4 x由 PE=1，AB=5得， 解得 x=，因此，四邊形 PDBE是平行四邊形，此時(shí) AP的長為【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用平行四邊形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵23（10 分）如圖是二次函數(shù) y

37、=（x+m）2+k 的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 M（ 1，4）（1） ）求出圖象與 x 軸的交點(diǎn) A，B（A 在 B 的左邊）的坐標(biāo)；與 y 軸的交點(diǎn) C 坐標(biāo)，并畫出二次函數(shù)的草圖；（2） ）將二次函數(shù)的圖象在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， b 的取值范圍【分析】（1）將拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的頂點(diǎn)式中，即可得出拋物線解析式，再根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)建立方程求解即可得出結(jié)論；（ 2）確定出直線 y=x+b 與新的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的分界點(diǎn)，即可得出結(jié)論【解答】 解：（1） M（ 1，

38、 4）是二次函數(shù) y=（x+m） 2+k 的頂點(diǎn)坐標(biāo)，y=（x1）2 4=x22x+3， 令 y=0， x22x3=0，x=1 或 x=3， A（ 1，0）， B（ 3， 0），令 x=0，y=3， C（ 0， 3），草圖如圖 1 所示（ 2）如圖 1，當(dāng)直線 y=x+b 經(jīng)過 A（ 1，0）時(shí)， 1+b=0， b=1，當(dāng)直線 y=x+b 經(jīng)過 B（3，0）時(shí)， 3+b=0， b=3，由圖 1 圖象知符合題意的 b 的取值范圍為 3 b 1【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的畫法，確定出拋物線表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵24（ 14 分）如圖，在半徑為 2 的

39、扇形 AOB中， AOB=120°，點(diǎn) C是弧 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn) A、B 重合），ODAC，OEBC，垂足分別為 D、E（1） ）當(dāng)點(diǎn) C是弧 AB中點(diǎn)時(shí)（如圖），求線段 OD 的長度；（2） ）觀察圖，點(diǎn) C 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)， DOE的邊、角有哪些保持不變？求出不變的量；（3） ）設(shè) OD=x， DOE的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍【分析】（1）求出 OD，根據(jù)勾股定理求出 OD即可；（2） ）過點(diǎn) O 作 AB的垂直平分線， 與 AB交于點(diǎn) F，與弧 AB 交于點(diǎn) M ，求出AF，得出 AB 長度，根據(jù)垂徑定理得出D、E 分別

40、是 AC、BC中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線 求出即可，（3） ）作出 DOE的邊 OE上的高 DG，利用三角函數(shù)求出 DG，即可【解答】 解：（1）如圖，連接 OC，點(diǎn) C是弧 AB中點(diǎn)， AOB=12°0， AOC=BOC= AOB=6°0，OD AC，OA=OC， ADO=9°0， AOD= COD= AOC=3°0，OD=OA×cosAOD=2×cos30°=/（2） ）存在， DE是不變的， DOE也是不變的，理由是：如圖，連接AB，OC，過點(diǎn) O 作 AB 的垂線，則 AF=BF= AB，OM 平分 AOB與弧 AB，在

41、 RtAOF中， AOF=6°0， OA=2，AF=， OF=1，AB=2AF=2，由垂徑定理可知，點(diǎn) D、E 分別是 AC和 CB的中點(diǎn)， DE是 ABC的中位線， DE= AB=；OD AC， COD= AOC，OEBC， COE= BOC， DOE=COD+ COE= AOC+BOC= AOB=6°0（3） ）如圖 3，過點(diǎn) D 作 DGOE于 G， OGD=9°0由（ 2）有，點(diǎn) C在弧 AB上運(yùn)動(dòng)， DOE始終不變， DOE=6°0，在 RtOGD中， OD=x， DOE=6°0， DG=OD×sin DOE=x×

42、=x，OG= x，由（ 2）知， DE=，根據(jù)勾股定理得， EG=OE=OG+EG= x+2y=S DOE=OE×DG= × （x+）×x=（ x +x）當(dāng)點(diǎn) C和點(diǎn) A 重合時(shí)， x 最大，最大的 x=OD=OA=2，當(dāng)點(diǎn) C和點(diǎn) B 重合時(shí)如圖， x 最小，最小的 x=OD=OF=1，x 的取值范圍為 1 x 2即： y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為（x2+x）（1x2）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線， 垂徑定理， 勾股定理的應(yīng)用， 三角形的面積， 函數(shù)的自變量的取值范圍的確定， 題目是一道比較典型的題目， 難度適中， 解本題的關(guān)鍵是確定出 DOE中的不變量25（

43、14 分）已知二次函數(shù) y=ax22ax+c 的圖象與 x 軸交于 A（ 1，0）、B 兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 M（）根據(jù)圖象，解不等式 ax22ax+c 0；（）若點(diǎn) D（ 3，6）在二次函數(shù)的圖象上，試問：線段 OB上是否存在 N 點(diǎn)， 使得 ADB=BMN？若存在，求出 N 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由【分析】（）根據(jù)圖象確定出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)，然后找出函數(shù)圖象在x 軸上方的 x 的取值范圍即可；（）根據(jù)點(diǎn) A、D 的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求出頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)，存在 N（t，0）（0t 3），過點(diǎn) D 作 DEx 軸于點(diǎn) E，

44、設(shè)對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 F，根據(jù)點(diǎn) D、B、M 的坐標(biāo)求出 DBA=MBN=4°5 ，再結(jié)合 ADB= BMN 證明 ADB和 NMB 相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可【解答】 解：（）函數(shù) y=ax22ax+c 圖象的對(duì)稱軸為直線 x=1， A、B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱， 又 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1，0），B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3，0），由圖可知，二次函數(shù)開口向上， a 0，所以，不等式 ax22ax+c 0 的解集為 x 1 或 x3；（）存在點(diǎn) N（ ，0），使得 ADB=BMN理由如下： A（ 1， 0）、D（ 3， 6）都在此函數(shù)圖象上，解得，此二次函數(shù)的解

45、析式為： y=x2 x=（ x 1）22， 函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 M（ 1， 2），假設(shè)線段 OB上存在 N（t，0）（ 0 t3）點(diǎn)，使得 ADB=BMN，過 D 作 DEx 軸于 E，設(shè)對(duì)稱軸與 x 軸相交于點(diǎn) F， D（ 3，6）， B（ 3， 0），M（ 1， 2）， DE=6， BE=OB+OE=6，MF=2，BF=31=2， DEB、 BMF為等腰直角三角形， DBA= MBN=4°5 ，又 ADB=BMN， ADB NMB，=，即=，解得 t=，所以，線段 OB上存在點(diǎn) N（，0），使得 ADB=BMN【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查， 主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性， 利用

46、函數(shù)圖象求不等式的解集， 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式， 以及相似三角形的判定與性質(zhì)，（）中根據(jù)數(shù)據(jù)的特殊性求出 DEB、 BMF 為等腰直角三角形，從而得到 DBA= MBN=4°5 是解題的關(guān)鍵2019 年全國重點(diǎn)高中自主招生數(shù)學(xué)模擬試題2一、填空題（每小題 5 分，共 40 分）1（5 分）方程組的解是2（5 分）若對(duì)任意實(shí)數(shù) x 不等式 axb 都成立，那么 a，b 的取值范圍為3 （ 5 分）設(shè) 1 x 2 ，則 | x 2| | x|+| x+2| 的最大值與最小值之差為4（ 5 分）兩個(gè)反比例函數(shù) y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示點(diǎn)P1 ，P2，P3、P2007 在反

47、比例函數(shù) y=上，它們的橫坐標(biāo)分別為 x1、x2、x3、x2007， 縱坐標(biāo)分別是 1， 3， 5共 2007 個(gè)連續(xù)奇數(shù)，過 P1，P2，P3、P2007 分別作 y軸的平行線， 與 y=的圖象交點(diǎn)依次為 Q1（x1，y1）、Q1（ x2，y2）、Q2（x2007， y2007），則| P2007Q2007| =5（5 分）如圖，圓錐的母線長是 3，底面半徑是 1，A 是底面圓周上一點(diǎn)，從 A點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到 A 點(diǎn)的最短的路線長是6（ 5 分）有一張矩形紙片 ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊使 A、C 兩點(diǎn)重合，那么折痕長是7（5 分）已知 3，a，4，b，5 這五個(gè)數(shù)據(jù)

48、，其中 a，b 是方程 x23x+2=0 的兩個(gè)根，則這五個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是8（ 5 分）若拋物線 y=2x2px+4p+1 中不管 p 取何值時(shí)都通過定點(diǎn)， 則定點(diǎn)坐標(biāo)為二、選擇題（每小題 5 分，共 40 分）9（5 分）如圖， ABC中， D、E 是 BC邊上的點(diǎn)， BD：DE：EC=3：2：1，M 在AC邊上， CM：MA=1：2，BM 交 AD，AE于 H，G，則 BH：HG：GM 等于（）A3：2：1 B5：3：1 C25： 12：5D51：24： 1010（ 5 分）若一直角三角形的斜邊長為c，內(nèi)切圓半徑是 r，則內(nèi)切圓的面積與三角形面積之比是（）ABCD11（ 5 分）拋物線 y

49、=ax2 與直線 x=1，x=2， y=1，y=2 圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）A a 1Ba2Ca1D a212（ 5 分）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品，若購鉛筆3 支，練習(xí)本 7本，圓珠筆 1 支共需 3.15 元；若購鉛筆 4 支，練習(xí)本 8 本，圓珠筆 2 支共需 4.2元，那么，購鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1 件共需（）A1.2 元B1.05 元 C0.95 元 D0.9 元13（ 5 分）設(shè)關(guān)于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1、x2，且 x11x2，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）ABCD14（ 5 分）如圖，正方形 A

50、BCD的邊 AB=1，和都是以 1 為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（）AB1C1D115（5 分）已知銳角三角形的邊長是 2，3，x，那么第三邊 x 的取值范圍是（）A1xBCD16（ 5 分）某工廠第二季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了x%，第三季度的產(chǎn)值又比第二季度的產(chǎn)值增長了x%，則第三季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了（）A2x% B1+2x%C（1+x%） x% D（ 2+x%）x%三、解答題（共 40 分）17（7 分）設(shè) m 是不小于 1 的實(shí)數(shù)，關(guān)于 x 的方程 x2+2（m 2）x+m 23m+3=012有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，（1） ） 若 x2+x2=6，求 m 值；（2） ）求的最大值18（ 7 分）如圖，開口向下的拋物線 y=ax28ax+12a 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn) C在第一象限，且使 OCA OBC，（1） ）求 OC的長及的值；（2