點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用

1、點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用廣西南寧外國語學(xué)校隆光誠(郵政編碼530007)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。本文就雙曲線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。22定理在雙曲線2r11(a>0,b&

2、gt;0)中，若直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)abP(Xo,yo)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為kMN ,則k|MNVoXob2證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi, yi)、誨羋),則有2 Xi -2" a2 X2 -2 a2 yi 聲2 V2 b21,1.(2)2222IXiX2ViV2(2),得i2220.ab.2y2yiy2yib-2.X2XiX2XiakMNyyiyiy2yoyox2Xi'Xix22x0x0yXob222同理可證，在雙曲線 y- x- a2 b2i(a>0,b>0)中，若直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),2點(diǎn)P(Xo,yo)

3、是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線l的斜率為kMN,則kMN比ayXob典題妙解2例i已知雙曲線C:y2i,過點(diǎn)P(2,i)作直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn).3(1)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；(2)若P恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.解：(1)a21,b23,焦點(diǎn)在y軸上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由kAB整理得：x23y22x3y0.0.2_2_所求的軌跡方程為x3y2x3y(2)P恰為弦AB的中點(diǎn), V。 由kABb2得：kAB1二，即 kAB 3直線l的方程為y 1 2(x 2),即2x 3y 1 0. 3例2已知雙曲線C ： 2x2 y2 2與點(diǎn)P(1,2).(1)斜率為k且過點(diǎn)P的直線l

4、與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求 k的取值范圍;(2)是否存在過點(diǎn) P的弦AB,使得AB的中點(diǎn)為P(3)試判斷以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)直線l的方程為y 2 k(x 1),即y kx 2 k.y kx 2222x yk, 2得(k22.2)x2 2(k22k)x k2 4k 6 0.直線l與C有兩個(gè)公共點(diǎn),/日k220,22224(k2k)4(k2)(k4k6)0.解之得：卜3且卜衣.2k的取值范圍是(，。2)(J2,2)(J2,9).22(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21,a21,b22.2vb22, k 1.設(shè)存在過點(diǎn)P的弦AB,使得AB的中點(diǎn)為P,則由kAB弛彳得：k2x°a

5、由(1)可知，k1時(shí)，直線l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，存在這1¥的弦.這時(shí)直線l的方程為yx1.（3）設(shè)以Q（1,1）為中點(diǎn)的弦存在，則由kAB-y0b2得：k12,k2.X0a由（1）可知，k2時(shí)，直線l與C沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)以Q（1,1）為中點(diǎn)的弦不存在.22.例3過點(diǎn)M（2,0）作直線l父雙曲線C:xy1于A、B兩點(diǎn)，已知OPOAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.解：在雙曲線C:x2y21中，a2b21,焦點(diǎn)在x軸上.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q.OPOAOB,由平行四邊形法則知：OP2OQ,即Q是線段OP的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為人,上22y由

6、 kAB 2x2y2b2得：Al工21ax2xx4x2整理得：x2y24x0.22配方得：(x2)-y-1.44點(diǎn)P的軌跡方程是(x 2)241 ,它是中心為 （2,0）,對稱軸分別為x軸和直線x20的雙曲線例4.設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn)，以拋物線y223x4的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線.（I）試求雙曲線C的方程;（n）設(shè)直線l:y2x1與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求AB；（出）對于直線l:ykx1,是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使直線l與雙曲線C的交點(diǎn)A,B關(guān)于直'線l:yax4（a為常數(shù)）對稱，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由.解：（I）由y22&4得y2

7、2<3（x與）,32、321pJ3,拋物線的頂點(diǎn)是(一尸,0),準(zhǔn)線是x.323232c3,13212在雙曲線C中，2.a,b1.a213c2.3.、22雙曲線C的方程為3xy1.y2x1,9(n)由22得：x24x20.3x2y21.設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2),則xx24,xx22.|AB|.(1k2)(x1x2)24x1x2,(122)(4)2422.10.(m)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)、.,.k,使直線l與雙曲線C的交點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對稱，則l是線段AB1的垂直平分線.因而a ,從而l : y k1-x 4.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P(x0,y0). k0.2由kAB典與得：k也3

8、,ky03x0.x0aXo由y0x04得：kyoXo4k.k由、得：x0k,y03.由y0kx01得：3k21,kJ2.3y221又由3y1,得：(k23)x22kx2ykx1.直線l與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，4k28(k23)>0,即k2<6,且k23.符合題意的k的值存在，kJ2.金指點(diǎn)睛1.(03全國)已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(J7,0),直線yx1與其相交于M、N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則此雙曲線的方程為()32 x A.32 x B.42 x C. 52 x D. 22. (02江蘇)設(shè)A、B是雙曲線2y21上兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,2)是線段AB的中點(diǎn).(1)

9、求直線AB的方程；(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么23.已知雙曲線x21,過點(diǎn)P(L當(dāng)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn).322(1)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；(2)若點(diǎn)P恰好是弦AB的中點(diǎn)，求直線l的方程和弦AB的長.2 x4、雙曲線C的中心在原點(diǎn)，并以橢圓252y 1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線 y22，3x的準(zhǔn)線為13右準(zhǔn)線.(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)直線l : y kx 3(k 0)與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線.,一，i一人.，一l : y mx 6( m 0)對稱，求k的值.參考答案1.解：在直線y2口“” y

10、5y.田 kMN3x0b25323b2b25又由 a22得 a22,b2 5.222a b c 7故答案選D.2.解：（1） a21,b22 ,焦點(diǎn)在x上.由kAB為Xobl2得:2,kAB1.所求的直線AB方程為y 2 1 (x 1),即x y 10.(2)設(shè)直線CD的方程為x ym 0,點(diǎn)N(1,2)在直線CD上,12m0,m3.直線CD的方程為xy30.IN又設(shè)弦CD的中點(diǎn)為M(x,y),由kCD2by得：1且2,即y2x.xax上xy30,/口由信x3,y6.y2x.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,6).xy10,又由2v2得A(1,0),B(3,4).x工1.2由兩點(diǎn)間的距離公式可知：|MA|MB

11、|MC|MD|2.10.故A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.2一一23.解：(1)a1,b3,焦點(diǎn)在x上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).x軸，這時(shí)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)，不合題意，故直線l的的斜若直線l的的斜率不存在，則l率存在.32y由kABy與得：T1xa1xx2整理，得：6x22y23x3y0.2一2一一點(diǎn)M的軌跡萬程為6x2y3x3y3.yb2o.(2)由kAB2得：kAB33,kAB1.XoaJ2 3所求的直線l方程為y - 21rr,1 (x )，即 y x 1.222y_1由xW"1,得x2x20,yx1.解之得：x12,x21.|AB|.1k2|x2x1|.2332.4.解：(1)在橢圓251321中，a5,bV13,cVa2b22V3,焦點(diǎn)為Fi（2、,3,0）,F2（2,3,0）.2在拋物線y2j3x 中，p準(zhǔn)線為x2在雙曲線中， c31.從而a23.x2所求雙曲線c的方程為一32y9(2)直線l是弦AB的垂直平分線，m1 ,一 ,1、，一,從而l : y - x 6 .設(shè)弦AB的中點(diǎn)為 kkP（x0,y（o）.由kAB'