矩陣求逆c代碼

1、課 程 設(shè) 計(jì) 報(bào) 告學(xué) 院：班 級(jí)：學(xué) 號(hào)：學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：時(shí) 間：課程設(shè)計(jì)任務(wù)書1、 設(shè)計(jì)內(nèi)容掌握矩陣求逆的概念的原理，以及矩陣求逆的計(jì)算。編寫程序完成矩陣求逆計(jì)算。要處理的數(shù)據(jù)由自己選擇。二、主要技術(shù)指標(biāo)（2） 掌握矩陣求逆的概念的原理，以及矩陣求逆的計(jì)算。（3） 用C或者C+實(shí)現(xiàn)矩陣求逆（4） 處理結(jié)果與Matlab求逆結(jié)果對(duì)比（5） 閱讀矩陣求逆方面文獻(xiàn)10篇以上三、進(jìn)度要求兩周完成設(shè)計(jì)任務(wù)，寫5000字以上的小論文。附參考文獻(xiàn)并在論文中進(jìn)行標(biāo)注。學(xué) 生指導(dǎo)教師 本科課程設(shè)計(jì)報(bào)告1. 設(shè)計(jì)內(nèi)容掌握矩陣求逆的概念的原理，以及矩陣求逆的計(jì)算。編寫程序完成矩陣求逆計(jì)算。要處理的數(shù)據(jù)由自

2、己選擇。2. 設(shè)計(jì)過程1、 矩陣的定義由個(gè)數(shù)排列成個(gè)行個(gè)列的數(shù)表 稱為矩陣，其中數(shù)稱為矩陣的元.當(dāng)時(shí)，稱為階矩陣或方陣.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作或簡(jiǎn)記為.兩個(gè)矩陣，如果，則稱矩陣與為同型矩陣.如果兩個(gè)同型矩陣與的對(duì)應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣與相等，記作或.1當(dāng)時(shí)，矩陣稱為行矩陣或行向量.當(dāng)時(shí)，矩陣稱為列矩陣或列向量.形如 的階方陣，即主對(duì)角線以外的元素都是零的方陣稱為對(duì)角矩陣或?qū)欠疥嚕涀?. 特別當(dāng)時(shí)，這時(shí)的對(duì)角矩陣叫做階數(shù)量矩陣. 當(dāng)時(shí)，這時(shí)的數(shù)量矩陣叫做階單位矩陣，記作或，在階數(shù)不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)記為或，即. 主對(duì)角線下方的元素都是零的方陣 叫做上三角矩陣. 主對(duì)角線上方的元素都是零

3、的方陣 叫做下三角矩陣.22、逆矩陣的概念定義：設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n階方陣，如果存在P上的n階方陣B，使得AB = BA = E，則稱A是可逆的，又稱B為A的逆矩陣.當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，逆矩陣由A惟一確定，記為A-1. 32、矩陣的初等變換矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣進(jìn)行下列三種變換： (1) 將矩陣中某兩行對(duì)換位置； (2) 將某一行遍乘一個(gè)非零常數(shù)k； (3) 將矩陣的某一行遍乘一個(gè)常數(shù)k加至另一行.并稱(1)為對(duì)換變換，稱(2)為倍乘變換，稱(3)為倍加變換.（4）矩陣A經(jīng)過初等行變換后變?yōu)锽，用A B表示，并稱矩陣B與A是等價(jià)的3 、有關(guān)矩陣求逆的定義定理定義1 n級(jí)方陣A稱為可逆的，如果

4、n級(jí)方陣B，使得 AB=BA=E （1） 這里E是n級(jí)單位矩陣。定義2 如果B適合（1），那么B就稱為A的逆矩陣，記作。定理1 如果A有逆矩陣，則逆矩陣是唯一的。定理2 矩陣A可逆的充分必要條件是，并且當(dāng)A可逆時(shí),有。定理證明見.定理2不僅給出了判斷一個(gè)矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，但是這種方法主要用在理論上以及2級(jí)或3級(jí)矩陣的情形，如果階數(shù)較大，那么使用此方法計(jì)算量太大。由定理2逆矩陣判定的方法還有：推論2.1 n級(jí)矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的秩為n。推論2.2 矩陣A可逆的充要條件是它的特征值都不為0。推論2.3 n級(jí)矩陣A可逆的充分必要條件是它的行或列向量組線性

5、無關(guān)。44、矩陣的秩 前面給出了利用矩陣行列式判別方陣A是否可逆的方法，除了這種方法外，還可以利用矩陣A的特征之一矩陣的秩來判別方陣A的可逆性. 矩陣的秩是線性代數(shù)中非常有用的一個(gè)概念，它不僅與討論可逆矩陣的問題有密切關(guān)系，而且在討論線性方程組的解的情況中也有重要應(yīng)用.在給出矩陣的秩的概念之前，先要定義矩陣的子式. 定義：在矩陣A中，位于任意選定的k行、k列交叉點(diǎn)上的個(gè)元素，按原來次序組成的k階子陣的行列式，稱為A的一個(gè)k階子式.如果子式的值不為零.就稱為非零子式. 定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩，即秩(A ) . 規(guī)定：零矩陣O的秩為零,R(A)=0 定理：設(shè)A為矩陣，則R(

6、A)= k的充分必要條件為：通過初等行變換能將A化為具有k個(gè)非零行的階梯陣. 定理：矩陣經(jīng)過初等行變換后，其秩不變. 定理：給了我們求矩陣的秩的一種簡(jiǎn)便方法，即利用初等行變換將一個(gè)矩陣A化成階梯陣，然后算出矩陣A的秩. 4、矩陣可逆的條件（1）n階方陣A可逆的充分必要條件是| A | 0（也即r（A）= n）；（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以通過初等變換（特別是只通過初等行（列） 變換）化為n階單位矩陣；（3）n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以寫成一些初等矩陣的乘積；（4）n階方陣A可逆的充分必要條件是A的n個(gè)特征值不為零；（5）對(duì)于n階方陣A，若存在n階方陣B使得AB = E（或

7、BA = E），則A可逆，且A-1 =B.5、逆矩陣的性質(zhì) 設(shè)A，B是n階可逆矩陣，則（1）（A-1）-1 = A；（2）若k 0，則kA可逆，且（kA）-1 = A-1；（3）AB可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1；（4）AT可逆，且（AT）-1 = （A-1）T；（5）Ak可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k；（6）| A-1 | = | A |-1；（7）如果A是m×n矩陣，P是m階可逆矩陣，Q是n階可逆矩陣，則r（A）= r （PA）= r（AQ）= r（PAQ）.5、求矩陣逆的方法方法1 定義法 5設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n階方陣，如果存在P上的n階方陣B，使得AB =

8、 BA = E，則稱A是可逆的，又稱B為A的逆矩陣.當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，逆矩陣由A惟一確定，記為A-1. 例1：設(shè)A為n階矩陣，且滿足，求A-1. 【解】啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊方法2 初等變換法 6 通過對(duì)原矩陣進(jìn)行初等行列變換求逆矩陣的方法也被稱為高斯-約旦法。此方法比較適合于高階矩陣求逆,但因?yàn)闆]有統(tǒng)一的算法可遵循,所以不太適合計(jì)算機(jī)編程。初等行列變化法包括初等行變換,初等列變換以及行列混合變換,后兩種方法在求廣義逆矩陣的時(shí)候經(jīng)常能用到。而對(duì)于某些矩陣,先求其擬逆矩陣會(huì)比直接求逆矩陣要容易,而所求得的擬逆矩陣又可以利用行列互換原則再變回原矩陣

9、的逆矩陣注 ： 對(duì)于階數(shù)較高（n3）的矩陣，采用初等行變換法求逆矩陣一般比用伴隨矩陣法簡(jiǎn)便.在用上述方法求逆矩陣時(shí)，只允許施行初等行變換. 也可以利用求得A的逆矩陣.當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，可利用求得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點(diǎn)是不需求出A的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法，僅通過初等變換即求出了A-1B或CA-1.例2. 設(shè)矩陣 A = 求逆矩陣解 因?yàn)榘“““““““““““““““““““““““““““““““?(-1)+(-2)A , I = +(-1)+(-1) + (1/2)+ 所以 = 所求逆矩陣是否正確，可以通過計(jì)算乘積矩陣A進(jìn)行驗(yàn)證. 對(duì)給定的n階矩陣A，用上述方法也可以判斷A是否可逆.

10、即在對(duì)矩陣 A , I 進(jìn)行初等行變換的過程中，如果 A , I 中的左邊的方陣出現(xiàn)零行，說明矩陣A是奇異的，即，可以判定A不可逆；如果 A , I 中的左邊的方陣被化成了單位陣I，說明A是非奇異的，可以判定A是可逆的，而且這個(gè)單位矩陣I右邊的方陣就是A的逆矩陣，它是由單位矩陣I經(jīng)過同樣的初等行變換得到的.方法 3 伴隨矩陣法 7A-1 = A*. 定理n階矩陣A = aij為可逆的充分必要條件是A非奇異.且其中Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有A-1 = A*.注 ： 對(duì)于階數(shù)較低（一般不超過3階）或元素的代數(shù)余子式易于計(jì)算的矩陣可用此法求其逆

11、矩陣.注意A* = （Aji）n×n元素的位置及符號(hào).特別對(duì)于2階方陣，其伴隨矩陣,即伴隨矩陣具有“主對(duì)角元素互換，次對(duì)角元素變號(hào)”的規(guī)律. 對(duì)于分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣.啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊方法4 用分塊矩陣求逆矩陣8設(shè)A、B分別為P、Q階可逆矩陣，則： 例3. 設(shè)，則與有相同分法，則 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊得一個(gè)線性方程組為由于可逆，故存在，解得從而方法5 解方程組求逆矩陣 9根據(jù)可逆的上(下)三角矩陣的逆仍是上(下)三角矩陣,且上(下)三角矩陣逆矩陣主對(duì)角元分別為上(

12、下)三角矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元的倒數(shù),可設(shè)出逆矩陣的待求元素;又由A-1A = E 兩端對(duì)應(yīng)元素相等,依次可得只含有一個(gè)待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣.例4求矩陣A=的逆矩陣。解： 設(shè) 解方程組AX=B即 解得然后把列，分別用 代入得到矩陣的第行，分別用 即這種方法特別適用于線性方程組AX=B的解容易求解的情形。方法6 用克萊姆法則求解若線性方程組的系數(shù)行列式，則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.例5求可逆矩陣的逆矩陣.【解】 矩陣A的行向量為，由標(biāo)準(zhǔn)基表示為： 解以為未知量的方程組得：啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

13、該法在理論上是用克萊姆法則求解,但可用消元法簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.還以上例說明之: 由：啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 得：啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 令啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 是一個(gè)所謂的形式矩陣(其元素既有數(shù),又有向量).對(duì)施行矩陣的行的初等變換得:方法7 用行列式 定理：若n階矩陣A = ( Aij) 為滿秩矩陣,則A可逆，且為的初始單位向量組，即例6設(shè)，求A的逆矩陣.【解】方法8 恒等變形法求逆矩陣有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無關(guān),但實(shí)質(zhì)上只有求出矩陣的逆矩陣才能算出來,而求逆矩陣須對(duì)所給的矩陣等式恒等變形,且常變形為兩矩陣的乘積等

14、于單位矩陣的等式.例7已知，試求并證明,其中.【解】 由 得到故,而A又為正交矩陣, 從而方法9 利用哈密爾頓凱萊定理求逆矩陣法 設(shè)A是數(shù)域P上一個(gè)矩陣，是A的特征多項(xiàng)式，則。如果A可逆，則A的特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，由定理知 于是 因此得 此式給出了的多項(xiàng)式計(jì)算方法。例8已知，求。解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為： 因，所以矩陣A可逆，由式知 =方法10 三角矩陣的一種求逆法定理：如果n階矩陣可逆，那么他的逆矩陣是其中方法11 拼接新矩陣在可逆矩陣A的右方補(bǔ)加上一個(gè)單位矩陣E,在A的下方補(bǔ)加上一個(gè)負(fù)單位矩陣-E, 再在A的右下方補(bǔ)加上一個(gè)零矩陣O,從而得到一個(gè)新的方陣.對(duì)該方陣施行第三種行的初等變換,使

15、其負(fù)單位矩陣-E化為零矩陣, 那么原來的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.3. 小結(jié)矩陣在我們生活中具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，因而備受人們的關(guān)注。而在解決矩陣問題時(shí)常常需要求矩陣的逆，因此總結(jié)出一套求矩陣逆的方法是必要的。在線性代數(shù)的內(nèi)容中的矩陣是一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它對(duì)學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)也有一定的指導(dǎo)作用。靈活巧妙地運(yùn)用矩陣能高瞻遠(yuǎn)矚，方便地解決初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題。能否熟練地應(yīng)用就要看我們是否有運(yùn)用它的意識(shí)，是否掌握其中的技巧，如果具備了這樣的能力，就能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而提高解題速度，收到事半功倍的效果。事實(shí)上，如何應(yīng)用矩陣去求逆矩陣，難點(diǎn)在于能否熟練的運(yùn)用這些方法去求，此時(shí)既要考

16、慮矩陣的形式，又要考慮所給的條件。此外，熟練掌握求逆矩陣的方法，有助于開闊眼界，培養(yǎng)散性思維 以下為部分matlab與程序的演示結(jié)果對(duì)比：Matlab處理結(jié)果精確度好比所編程序好很多，但是運(yùn)行時(shí)間明顯要長一些。4. 參考資料1 王中良.線性代數(shù)解題指導(dǎo)M.北京大學(xué)出版社，2008:43.2 朱玉清.線性代數(shù)M.國防工業(yè)出版社，2007:46-47.3 徐仲，張凱院.線性代數(shù)輔導(dǎo)講案M.西北工業(yè)大學(xué)出版社，2007:39.4 張志讓，劉啟寬.高等代數(shù)M.高等教育出版社.2008:15-17.5 陳逢明.逆矩陣的若干求法J.福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2006（3）:117.6 張海濤.逆矩陣的求法

17、J.大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2004,18（2）:70.7 王麗霞.逆矩陣的幾種求法J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào).2007,23（2）:83-84.8 曾國斌.求逆矩陣的幾種常用方法J.云夢(mèng)學(xué)刊.2008,29:152.9 孫紅偉.關(guān)于求逆矩陣方法的探討J.科技資訊.2008（27）:226-227. 10 王建鋒. 求逆矩陣的快速方法J. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2004, (01) . 11 李一博. 矩陣求逆基本方法的注記與補(bǔ)充. 第23卷第6期高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2010年12月5. 致謝首先要感謝楊峰老師，楊峰老師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬

18、以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。在論文的寫作過程中也學(xué)到了做任何事情所要有的態(tài)度和心態(tài)，首先我明白了做學(xué)問要一絲不茍，對(duì)于出現(xiàn)的任何問題和偏差都不要輕視，要通過正確的途徑去解決，在做事情的過程中要有耐心和毅力，不要一遇到困難就打退堂鼓，只要堅(jiān)持下去就可以找到思路去解決問題的。通過此次的論文，我學(xué)到了很多知識(shí)，跨越了傳統(tǒng)方式下的教與學(xué)的體制束縛，在論文的寫作過程中，通過查資料和搜集有關(guān)的文獻(xiàn)，培養(yǎng)了自學(xué)能力和動(dòng)手能力。并且由原先的被動(dòng)的接受知識(shí)轉(zhuǎn)換為主動(dòng)的尋求知識(shí)，這可以說是學(xué)習(xí)方法上的一個(gè)很大的突破。論文的順利完成，也離不開其它各位同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助。在整個(gè)的論

19、文寫作中，同學(xué)積極的幫助我查資料和提供有利于論文寫作的建議和意見，在他們的幫助下，論文得以不斷的完善，最終幫助我完整的寫完了整個(gè)論文。16附錄：程序代碼#include <iostream>#include "Matrix.h"using namespace std;int main( ) int aNN; float bNN; float cNN; int r,z,j; printf("輸入矩陣:"); for(z=0;z<N;z+) /*輸入所需要的數(shù)據(jù)，為整型數(shù)據(jù)*/ for(j=0;j<N;j+) scanf("

20、%d",&azj); printf("n回車鍵繼續(xù)-"); getchar(); printf("輸入矩陣是：n"); for(z=0;z<N;z+)/*打印原矩陣*/ for(j=0;j<N;j+) printf("%5d",azj); printf("n"); r=js(a,N); /*調(diào)用js()函數(shù)計(jì)算原矩陣的行列式值*/ printf("n原矩陣的行列式 :|A|=%dn",r); if (r=0) printf(" |A|=0,原矩陣不存在逆矩陣!"); /*判斷條件:若|A|=0，則原矩陣無逆矩陣，反之則存在逆矩陣*/ else n_1(a,b,N); /*調(diào)用n_1()函數(shù)，得到原矩陣各元素對(duì)應(yīng)的"余子式",存放在數(shù)組bNN中*/ for(z=0;z<N;z+) /*求代數(shù)余子式，此時(shí)bNN中存放的為原矩陣各元素對(duì)應(yīng)的"代數(shù)余子式"*/ for(j=0;j<