人教版高中數(shù)學(xué)【必修四】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]-平面向量的數(shù)量積-提高

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)平面向量的數(shù)量積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一： 平面向量的數(shù)量積1. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要點(diǎn)詮釋：1. 兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積

2、有很大區(qū)別(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出.因?yàn)槠渲杏锌赡転?.2. 投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0°時(shí)投影為；當(dāng)=180°時(shí)投影為.要點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義。圖所示

3、分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即。 事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以。要點(diǎn)三：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量.1.2.3.當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，. 特別的或4.5.要點(diǎn)四：向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1.交換律：2.數(shù)乘結(jié)合律：3.分配律：要點(diǎn)詮釋：1.已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c.但是；2.在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c=a(b×c)，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線

4、的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.要點(diǎn)五：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.已知兩個(gè)非零向量，2.設(shè)，則或3.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式).要點(diǎn)六：向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件(2)證明垂直問題，常用垂直的充要條件(3)求夾角問題，利用(4)求線段的長(zhǎng)度，可以利用或【典型例題】類型一：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1 （1）已知|=4，|=5，向量與的夾角為，求·；(+)2；22；(2+3)·(32)；（2）若向量+=0，且|=3，|=1，|=4，求·+

5、3;+·的值。【思路點(diǎn)撥】（1）(+)2=，(2+3)·(32)=6|2+5·6|2 把模和數(shù)量積代入可得。（2）(+)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和數(shù)量積代入可得?！敬鸢浮浚?）10 61 9 4（2）13【解析】 （1）。(+)2=|2+2·+|2=61。22=|2|2=9。(2+3)·(32)=6|2+5·6|2=4。（2）(+)2=2+2+2+2(·+·+·)，?！究偨Y(jié)升華】（1）此類題目要充分利用有關(guān)的運(yùn)算法則將其轉(zhuǎn)化為求數(shù)量積及模的問題，特別要靈活應(yīng)用

6、2=|2。（2）在解題中，利用了(+)2=2+2+c2+2(·+·+·)這一關(guān)系式，類似于實(shí)數(shù)的運(yùn)算。舉一反三：【變式1】已知|=5，|=4，=，求（+）·.【答案】35【解析】原式= = =35例2（1）若|=4，·=6，求在方向上的投影；（2）已知|=6，為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角分別等于60°、90°、120°時(shí)，求出在方向上的正投影，并畫圖說明。【答案】（1）（2）略【解析】 （1）·=| |cos=6，又|=4，4|cos=6，。（2）在方向上的投影為|·cos。 如上圖所示，當(dāng)=6

7、0°時(shí)，在方向上的正投影的數(shù)量為|·cos60°=3；當(dāng)=90°時(shí)，在方向上的投影的數(shù)量為|·cos90°=0；當(dāng)=120°時(shí)，在方向上的正投影的數(shù)量為|·cos120°=3?！究偨Y(jié)升華】 要注意在方向上的投影與在方向上的投影不是相同的。類型二：平面向量模的問題例3已知|=|=4，向量與的夾角為，求|+|，|。 【思路點(diǎn)撥】已知兩個(gè)向量的模和夾角，把|+|和|用向量的模和夾角的來表示，所以先求出和，然后再開方即可。 【答案】4，【解析】 因?yàn)?=|2=16，2=|2=16，所以。同事可求?！究偨Y(jié)升華】關(guān)系

8、式2=|2，可使向量的長(zhǎng)度與向量的數(shù)量積互相轉(zhuǎn)化。因此欲求|+|，可求(+)·(+)，并將此式展開。由已知|=|=4，得·=·=16，·也可求得為8，將上面各式的值代入，即可求得被求式的值。舉一反三：【平面向量的數(shù)量積 例4】【變式1】已知，求?！敬鸢浮?【解析】，同理，【變式2】已知的夾角為， ，則 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1【解析】， ，解得，故選B.【總結(jié)升華】涉及向量模的問題一般利用，注意兩邊平方是常用的方法.類型三：向量垂直（或夾角）問題例4（2015 上海月考）已知，（1）若，求與的夾角；（2）若與的夾角為60°

9、;，試確定實(shí)數(shù)k，使與垂直【答案】（1）；（2）【解析】（1），與的夾角為（2），與的夾角為60°，與垂直，9k+(1k)×3×4×cos60°16=0，解得舉一反三：【變式1】已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向+與向量k垂直，則k=_。 【答案】1【變式2】已知是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足，求的夾角.【解析】法一：將兩邊平方得， 則， 故的夾角為30°.法二： 數(shù)形結(jié)合 因?yàn)?，如圖作，則，是等邊三角形，延長(zhǎng)至C，使AC=AB，與的夾角為，易知大小為30°?！究偨Y(jié)升華】注意兩個(gè)向量夾角共起點(diǎn)，靈活應(yīng)用兩個(gè)向量夾角的兩種

10、求法.【平面向量的數(shù)量積 例5】【變式3】已知為非零向量，且，求證：?！咀C明】由，得， （1）同理： （2）由（1）、（2）式得：，例5（1）已知量、滿足+=0，且|=5，|=7，|=10，求、的夾角的余弦值；（2）已知|=2，|=3，與的夾角為60°，若+與+的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）（2）【解析】 （1）由+=0知，+=，|+|=|，(+)2=2，即2+2·+2=2。則。故、的夾角的余弦值為。（2）由題意可得。又(+)·(+)= 2+(2+1) ·+2，而+與+的夾角為銳角，2+(2+1) · +20，而2=|2=4，

11、2=|2=9，·=3，32+13+30，解得或。但是當(dāng)=1時(shí)，+與+共線，其夾角不為銳角。故的取值范圍是?！究偨Y(jié)升華】（1）已知兩向量的模，欲求它們的夾角，一般是先求它們的數(shù)量積，然后利用向量的數(shù)量積的定義求其夾角。（2）求向量，的夾角范圍，可轉(zhuǎn)化為·與零的關(guān)系來確定，本題要注意排除兩向量+與+共線且同向的情況。因?yàn)榇藭r(shí)兩向量夾角為0°，非銳角。兩向量夾角為銳角，則其數(shù)量積大于零，反之若兩向量數(shù)量積大于零，則夾角不一定為銳角，還可能存在兩夾角為0°的情況。 舉一反三：【變式1】 對(duì)于兩個(gè)非零向量，求使|+t|的值最小時(shí)t的值，并求此時(shí)與+t的夾角?！敬鸢?/p>

12、】90°【解析】 |+t|2=2+2(2·)t+t22=|2+2(·)t+t2|2 。當(dāng)時(shí)，|+tb|2取得最小值，即|+tb|取得最小值，此時(shí)，。又0，(+t)0，(+t)。與+t的夾角為90°?！究偨Y(jié)升華】本題中字母較多，求|+t|的最小值是轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)的最值問題，同時(shí)應(yīng)用數(shù)量積進(jìn)行化簡(jiǎn)也是必不可少的 。類型四：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 例6（2017 安徽模擬）已知向量（1）若，求實(shí)數(shù)x的值；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求與的夾角的余弦值【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模，先求出，再根據(jù)向量的垂直即可求出x的值 （2）根據(jù)二次

13、函數(shù)的性質(zhì)即可求出x的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，解得 或 當(dāng)時(shí)，3(4x1)(23x)=0，解得，當(dāng)時(shí)，3(5x2)+1=0，解得（2）設(shè)與的夾角由（1）可知，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，則，【總結(jié)升華】關(guān)于向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的問題，關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及相關(guān)的模長(zhǎng)公式和夾角公式 舉一反三：【變式1】（2015 湖南衡陽(yáng)縣一模）已知，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中 （1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角【答案】（1），或；（2）=【解析】（1）關(guān)于，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中，若，且，可

14、設(shè)，則由，可得=±2，或（2），且與垂直，化簡(jiǎn)可得，即，cos=1，故與的夾角=【總結(jié)升華】涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的問題，關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及相關(guān)的模長(zhǎng)公式和夾角公式，在這個(gè)過程中還要熟練運(yùn)用方程的思想；值得注意的是，對(duì)于一些向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的問題，有時(shí)考慮其幾何意義可使問題快速獲解。 例7在ABC中，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值?！舅悸伏c(diǎn)撥】ABC中的哪一個(gè)內(nèi)角為直角并不明確，因此要分類討論，分類討論的時(shí)候要分類明確，不重不漏。【解析】 （1）當(dāng)A=90°時(shí)，故2×1+3k=0，即。（2）當(dāng)B=90°時(shí)，故2×(1

15、)+3(k3)=0，。（3）當(dāng)C=90°時(shí)，。由（2）得。故1+k(k3)=0，k23k1=0，。故當(dāng)或或時(shí)，ABC為直角三角形。【總結(jié)升華】直角邊所形成的兩向量互相垂直，故可借此構(gòu)造關(guān)于k的方程。舉一反三：【變式1】已知=（1，1），=（0，2）當(dāng)k為何值時(shí)，（1）k與+共線；（2）k與+的夾角為120°。【答案】（1）1（2） 【解析】=（1，1），=（0，2），k=k（1，1）（0，2）=（k，k+2）。+=（1，1）+（0，2）=（1，1）。（1）k與+共線，k+2(k)=0。k=1。（2），(k)·(+)=(k，k+2)·(1，1)=kk2=2，而k與+的夾角為120°，即?；?jiǎn)，整理得k2+2k2=0，解之得。類型五：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例8. 平面內(nèi)有向量，點(diǎn)M為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）求當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)M滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cosAMB的值?！窘馕觥?（1）如圖，設(shè)M（x，y）。則，點(diǎn)M在直線OP上，向量與共線。又，x·1y·2=0，即x=2y。又，。同理。于是，=4y212y+5+y28y+7=5y220y+12由二次函數(shù)的知識(shí)，可知當(dāng)時(shí)，有最小值8，此時(shí)。（2）當(dāng)，即y=2時(shí)，有，?！究偨Y(jié)升華】平面向量的共線關(guān)系、垂直