二次函數(shù)與冪函數(shù)-高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-高考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)2014高考會(huì)這樣考1.求二次函數(shù)的解析式；2.求二次函數(shù)的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式進(jìn)行綜合應(yīng)用；3利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解二次函數(shù)三種解析式的特征及應(yīng)用；2.分析二次函數(shù)要抓住幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)，函數(shù)的定義域；3.充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想把握二次函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)1 二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零

2、點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b0時(shí)為偶函數(shù)，b0時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)對(duì)稱性圖象關(guān)于直線x成軸對(duì)稱圖形3. 冪函數(shù)形如yx (R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)4 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象比較(2)冪函數(shù)的性質(zhì)比較難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 二次函數(shù)的三種形式(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式(2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用

3、頂點(diǎn)式(3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便2 冪函數(shù)的圖象(1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，在(1，)上冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(2)函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，yx1可做為研究和學(xué)習(xí)冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的代表1 已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案(，2解析f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x1a且開(kāi)口向上，1a3，即a2.2已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_(kāi)答案1,2解析yx22x3的對(duì)稱軸為x1.當(dāng)m<1時(shí)，yf(x)在0，

4、m上為減函數(shù)ymaxf(0)3，yminf(m)m22m32.m1，無(wú)解當(dāng)1m2時(shí)，yminf(1)122×132，ymaxf(0)3.當(dāng)m>2時(shí)，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，無(wú)解1m2.3 若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案1或2解析由，解得m1或2.經(jīng)檢驗(yàn)m1或2都適合4 (人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象已知n取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為_(kāi)答案2，2解析可以根據(jù)函數(shù)圖象是否過(guò)原點(diǎn)判斷n的符號(hào)，然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值5 函數(shù)f(x)

5、x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是 ()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函數(shù)f(x)x2mx1的圖象的對(duì)稱軸為x，且只有一條對(duì)稱軸，所以1，即m2.題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運(yùn)用解方法一設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，依題意有解之，得所求二次函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.方法二設(shè)f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，拋物線對(duì)稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解之

6、，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知，f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對(duì)稱性、最值有關(guān)，可選用頂點(diǎn)式；和二次函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，可選用零點(diǎn)式；一般式可作為二次函數(shù)的最終結(jié)果 已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)0的兩根立方和等于17.求f(x)的解析式解依條件，設(shè)f(x)a(x1)215 (

7、a<0)，即f(x)ax22axa15.令f(x)0，即ax22axa150，x1x22，x1x21.而xx(x1x2)33x1x2(x1x2)233×2×2，217，則a6.f(x)6x212x9.題型二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間思維啟迪：對(duì)于(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解，對(duì)于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)定義域的限制作用解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24

8、x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.(3)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤6,6，且f(x)，f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依

9、據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解 若函數(shù)f(x)2x2mx1在區(qū)間1，)上遞增，則f(1)的取值范圍是_答案(，3解析拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x，1，m4.又f(1)1m3，f(1)(，3題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用例3(2012·淮安模擬)若二次函數(shù)f(x)ax2bxc (a0)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)>2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍思維啟迪：對(duì)于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，進(jìn)

10、而確定f(x)的解析式對(duì)于(2)，可利用函數(shù)思想求得解(1)由f(0)1得，c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)>2xm等價(jià)于x2x1>2xm，即x23x1m>0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m1>0得，m<1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在

11、一起，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過(guò)二次函數(shù)的圖象貫穿為一體因此，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn) (2012·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，且f(1x)f(1x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1

12、x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(x)(x)22×(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當(dāng)10時(shí)，F(xiàn)(x)的對(duì)稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數(shù)或.<1或1<0.當(dāng)10，即1時(shí)，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0題型四冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例4已知冪函數(shù)f(x)xm22m3 (mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函

13、數(shù)，求滿足(a1)<(32a)的a的取值范圍思維啟迪：由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m3<0，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值解函數(shù)在(0，)上遞減，m22m3<0，解得1<m<3.mN*，m1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，m22m3是偶數(shù)，而222×233為奇數(shù)，122×134為偶數(shù)，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，(a1)<(32a)等價(jià)于a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a.解得a<1或<a<.故a的取值范圍為.探究提高(1)冪函

14、數(shù)解析式一定要設(shè)為yx (為常數(shù)的形式)；(2)可以借助冪函數(shù)的圖象理解函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性 (2012·聊城模擬)已知冪函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若該函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)m2mm(m1)，mN*，而m與m1中必有一個(gè)為偶數(shù)，m(m1)為偶數(shù)函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域?yàn)?，)，并且在定義域上為增函數(shù)(2)函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.

15、由f(2a)>f(a1)得解得1a<.a的取值范圍為1，)2.分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用典例：(14分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)，x(a，)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集審題視角(1)求a的取值范圍，是尋求關(guān)于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值分段求，然后綜合在一起；(3)對(duì)a討論時(shí)，要找到恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)規(guī)范解答解(1)因?yàn)閒(0)a|a|1，所以a>0，即a<0，由a21

16、知a1，因此，a的取值范圍為(，13分(2)記f(x)的最小值為g(a)，則有f(x)2x2(xa)|xa|5分()當(dāng)a0時(shí)，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此時(shí)g(a)2a2.7分()當(dāng)a<0時(shí)，fa2，若x>a，則由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2>a2.此時(shí)g(a)a2，綜上，得g(a).10分(3)()當(dāng)a時(shí)，解集為(a，)；()當(dāng)a時(shí)，解集為；()當(dāng)a時(shí)，解集為.14分溫馨提醒分類討論的思想是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：一是求實(shí)數(shù)a的值時(shí)，討論的過(guò)程中沒(méi)注意a自身的取值范圍，易出錯(cuò)；二是

17、求函數(shù)最值時(shí)，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論除此外，解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分：1含絕對(duì)值的問(wèn)題，去絕對(duì)值符號(hào)，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；2分段函數(shù)求最值時(shí)要分段求，最后寫在一起時(shí)，沒(méi)有比較大小或不會(huì)比較大??；3解一元二次不等式時(shí)，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻.方法與技巧1 二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般從開(kāi)口方向；對(duì)稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解2 與二次函數(shù)有關(guān)的

18、不等式恒成立問(wèn)題(1)ax2bxc>0，a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要條件是.3 冪函數(shù)yx(R)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)為常數(shù)失誤與防范1 對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況2 冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)(時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2

19、011·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)若f()4，則實(shí)數(shù)等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2答案B解析當(dāng)0時(shí)，f()4，得4；當(dāng)>0時(shí)，f()24，得2.4或2.2 已知函數(shù)f(x)x22x2的定義域和值域均為1，b，則b等于 ()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函數(shù)f(x)x22x2在1，b上遞增，由已知條件即解得b2.3 設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是 ()答案D解析由A，C，D知，f(0)c<0.abc>0，ab<0，對(duì)稱軸x>0，知A，C錯(cuò)誤，D符合要求由B知f(0)c>0，ab>0，x<0，

20、B錯(cuò)誤4 設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)<0，x0,1，所以a>0，即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當(dāng)f(m)f(0)時(shí)，有0m2.二、填空題(每小題5分，共15分)5 二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_(kāi)答案y(x2)216 已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案(

21、，2解析f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x1a且開(kāi)口向上，1a3，即a2.7 當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)yx的圖象不可能經(jīng)過(guò)第_象限答案二、四解析當(dāng)1、1、3時(shí)，yx的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)時(shí)，yx的圖象經(jīng)過(guò)第一象限三、解答題(共25分)8 (12分)已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且f(x)>2x的解集為x|1<x<3，方程f(x)6a0有兩相等實(shí)根，求f(x)的解析式解設(shè)f(x)2xa(x1)(x3) (a<0)，則f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20,16a216a436a20，20a216a40,5a24a10，(5a1)(

22、a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)9 (13分)(2012·玉林調(diào)研)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)x22axa的定義域?yàn)?,1時(shí)，值域?yàn)?,2？若存在，求a的值；若不存在，說(shuō)明理由解f(x)(xa)2aa2.當(dāng)a<1時(shí)，f(x)在1,1上為增函數(shù)，a1(舍去)；當(dāng)1a0時(shí)，a1；當(dāng)0<a1時(shí)，a不存在；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在1,1上為減函數(shù)，a不存在綜上可得a1.B組專項(xiàng)能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·合肥調(diào)研)已知冪函數(shù)f(x)x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(4)的值等于()A16 B.C2 D.答案D解析將點(diǎn)代入得：2，所以，故f(4).2 (2012·溫州十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A(