《241平面向量數(shù)量積的物理背景及含義》

1、2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：（1）兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°（2）兩向量共線的判定（3）練習(xí) 1.若a=(2

2、，3)，b=(4，-1+y)，且ab，則y=（ C ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（ B ）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：1、向量數(shù)量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數(shù)量？它的符號(hào)什么時(shí)候?yàn)檎?？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？2、兩個(gè)

3、向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ

4、a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影

5、為正值； 當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，1、ab Û a×b = 02、當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或 |a×b| |a|b| cosq = 探究：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a 

6、5; b = b × a證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，

7、a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a&#

8、215;c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····三、講解范例：例1證明：()·例2已知|a|=12， |b|=9，求與的夾角。例3已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|與|a-b|. （ 利用 ） 例4已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直. 四、課堂練習(xí)：1P106面1、2、3題。 2下列敘述不正確的是（ ）A. 向量的數(shù)量積滿足交換律 B. 向量的數(shù)量積滿足分配律C. 向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D. a·b是一個(gè)實(shí)數(shù)3|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的