計算方法引論主編

1、第二章 插值法知識點：拉格朗日插值法，牛頓插值法，余項，分段插值。實際問題中，時常不能給出f（x）的解析表達式或f（x）解析表達式過于復雜而難于計算，能采集的只是一些f（x）的離散點值xi,f(xi)(i=0,1,2,n)。因之，考慮近似方法成為自然之選。定義：設f（x）為定義在區(qū)間a，b上的函數(shù)，x0,x1,xn為a，b上的互異點，yi=f（xi）。若存在一個簡單函數(shù)j（x），滿足（插值條件）j（xi）=f（xi），i=0，1，n。則稱 j（x）為f（x）插值函數(shù)，f（x）為被插函數(shù),點x0,x1,xn為插值節(jié)點,點xi,f(xi),i=0,1,2,n為插值點。于是計算f（x）的問題就轉換為

2、計算 j（x）。構造插值函數(shù)需要解決：插值函數(shù)是否存在唯一；插值函數(shù)如何構造(L插值)；插值函數(shù)與被插函數(shù)的誤差估計和收斂性。對插值函數(shù) j（x）類型有多種不同的選擇，代數(shù)多項式常被選作插值函數(shù)。P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的滿足插值條件的n次插值多項式pn(x)。但是需要計算范德蒙行列式，構造插值多項式工作量過大，簡單表達式不易得到，實際中不采用這類方法。pn(x)f(x)插值法是一種古老的數(shù)學方法，拉格朗日（Lagrange）、牛頓（Newton）等分別給出了不同的解決方法。拉格朗日插值拉格朗日（Lagrange）插值的基本思想：把插值多項式pn(x)的構造問題轉化為n+

3、1個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,n)的構造。(1)線性插值構造插值函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)的兩個插值點(x0,y0)，(x1,y1)，構造多項式y(tǒng)=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為()(1001010xpxxxxyyyy=-=+x-x1p1(x)=x0-x1+x-x0x1-x0y0y1變形為x-x1l0(x)=x0-x1x-x0l1(x)=x1-x0記則p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1插值完畢！注意性質(zhì)：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1。稱l0(x

4、)，l1(x)為點x0、x1的線性插值基函數(shù)。插值函數(shù)p1(x)是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值，相應多項式稱拉格朗日線性插值多項式，記作L1（x）。誤差設L1（x）為插值點(x0,y0)，(x1,y1)的插值函數(shù),f(x0)= y0,f(x0)=y1,f(x)一階連續(xù)可導,二導數(shù)存在.則對任意給定的xa,b,存在一點a,b,使R1(x)=(x-x0)(x-x1) f ()（2）2！,a,bf(x)-L1(x)=引進輔助函數(shù),利用洛爾定理即證，見P17定理2.1。(2)二次插值構造插值函數(shù)給定三個點xi,f(xi), i=0,1,2,其中xi互

5、不相同，構造函數(shù)f（x）的二次插值多項式L2（x），滿足：L 2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。仿線性插值，用插值基函數(shù)構造插值多項式。令L2（x）=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2待定函數(shù)li(x)應是二次函數(shù)，滿足約束條件li(xi)=1，li(xj)=0（ij），i，j=0，1，2。此設l0(x)=A(x-x1)(x-x2)，l1(x)=B(x-x0)(x-x2)，l2(x)=C(x-x0)(x-x1)。根據(jù)約束條件確定系數(shù)1A=(x0-x1)(x0-x2)1C=(x2-x0)(x2-x1)1B=(x1-x0

6、)(x1-x2)由此得L2(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2)f(x0)(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x0-x2)f(x1)(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)f(x2)+誤差R2(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)f ()（3）3！,Minx0,x1, x2,x, Minx0,x1, x2,x證明見P22定理2.2。例 設sin11°=0.190809,sin12°=0.207912。用線性插值計算sin11°30.x-12L1(x)=11-12x-110.190809+12-110.207912解L1(

7、11.5)=0.199361R1(x)=(x-x0)(x-x1) f ()（2）2！=(x-11)(x-12) -Sin()2！|R1(11.5)|(11.5-11)(11.5-12)|=0.125 12例 設sin11°=0.190809,sin12°=0.207912，sin13°=0.224951。用二次插值計算sin11°30解L2(x)=(x-12)(x-13)(11-12)(11-13)0.190809(x-11)(x-13)(12-11)(12-13)0.207912(x-11)(x-x12)(13-11)13-12)0.224951+L2

8、(11.5)=0.199369.(3)一般情況knknknkjjjkjkknyxxxxxlyxL)()()(000ååÕ=¹=-=兩個插值點可求出一次插值多項式L1(x)，而三個插值點可求出二次插值多項式L2(x)。當插值點增加到n+1個時，利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式Ln(x)。詳細說明見P22-24，（2.20），（2.21）至（2.24）。關于Langrange插值的幾點說明Ln(x)僅與已知數(shù)據(jù)(xi,yi),(i =0,1,n) 有關，與f(x)的原來形式無關，但余式與f(x)密切相關。)()(,0)(xfxLxRnn=即若f

9、(x)本身是一個不超過n次多項式，則內(nèi)插（x位于x0,x1,xn之間）誤差較小，外插有可能誤差變大，慎用!插值點的增減,基函數(shù)要重新計算,很不方便!插值節(jié)點過多其精度不一定很好；limLn(x)=f(x), "xa,b一般不成立.第二章 插值法知識點：拉格朗日插值法，牛頓插值法，余項，分段插值。Newton插值法Lagrange插值多項式的一個缺點是沒有承襲性質(zhì)，增加插值節(jié)點時，需要重新計算所有插值基函數(shù)。牛頓插值多項式克服了這一缺點：增加一個節(jié)點時，可在原插值多項式基礎上增加一項構成高一階的插值多項式。（1）差商即其性質(zhì)上的二在節(jié)點定義設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上n+1個互異節(jié)

10、點0 xj n處的值為：yi = f(xi)（i=0,1,2,n）-稱jijijixxxfxfxxf-D)()(,為f(x)在節(jié)點xi,上的一階差商；稱 kikjjikjixxxxfxxfxxxf-D,為在節(jié)點階差商；依次類推： 稱nnnnxxxxxfxxxfxxxf-D-02111010,.,.,.,為上的n階差商.商；xjf(x)xkxj,xi,f(x)x0,x1,xn).()()()()(,.,),.,2,1,0()(,.,1100'1010nnjjjnjnxxxxxxxxxfxxxfnjxfxxxfn-=ww其中的線性組合，即函數(shù)值是階差商性質(zhì)證 采用數(shù)學歸納法即證性質(zhì)2差商與

11、節(jié)點排列順序無關。（2）線性牛頓插值設互異y0=f(x0)，y1=f(x1),構造線性插值函數(shù)的牛頓格式N1(x)使y0= N1 (x0)，y1= N1 (x1)。利用點斜式，構造N1(x)=a0+a1(x-x0)由f(x0)=N1 (x0)= a0)()(0101,10xxfxxxfxf=-a1= f(x1)= N1 (x1)= f(x0) +a1(x1-x0)得,10xxfN1 (x)= f(x0) + (x-x0)（3）二次牛頓插值設互異y0=f(x0)，y1=f(x1), y2=f(x2),構造二次牛頓插值多項式N2(x)使y0= N2(x0)，y1= N2(x1)，y2= N2(x2

12、)。令N2(x)=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0) (x-x1)因在構造N1 (x)過程中已得a0和a1，只要求出a2即可由a2=,210xxxf,10xxff(x2)=N2(x2)= f(x0) + (x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)得,210xxxf,10xxfN2(x2)= f(x0) + (x2-x0)+ (x2-x0)(x2-x1)(4)一般情況設互異yi=f(xi)，i=0,1,n。構造n次牛頓插值多項式Nn(x)使yi= Nn(xi)，i=0,1,n,。根據(jù)差商定義插值公式和余項。上的在節(jié)點分別為、其中Newton)()()()(,.,).()(.,)(,

13、)()()(010110210101000ninnnnnxxfxR)(nxNxRxNxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf+=-+-+-+=,.,)().()(10110nnnxxxxfxxxxxxxx-+-)(n+1xN)(nxN,.,)().()(10110n+1nnxxxfxxxxxxxx-+-=分段插值（1）高階插值與龍格現(xiàn)象構造插值多項式時，根據(jù)誤差表達式，是否多取插值點比少取插值點好？不一定！若被插函數(shù)是多項式，則多取插值點比少取插值點好。但對某些函數(shù)，有時插值點越多，效果越不理想。例如給定225x11=x)f(+xÎ-1,1225x11,x(+ii)對-

14、1，1作等距分割，取h=2/10=0.2，xi= -1+0.2i， ，i=0，1，10。構造10次插值多項式L10(x),在0點附近, L10(x)近似f(x)的效果好，但在x=-0.90,-0.70, 0.70, 0.90時，誤差較大！插值多項式在插值區(qū)間內(nèi)有激烈振蕩，這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。P29圖2-4。龍格現(xiàn)象揭示了插值多項式的缺陷，表明高次多項式的插值效果不一定優(yōu)于低次多項式的插值效果。插值誤差由截斷誤差和舍入誤差組成，由插值節(jié)點和計算產(chǎn)生的舍入誤差，在插值過程中可能被擴散或放大，造成插值不穩(wěn)定，高次多項式的穩(wěn)定性一般比較差。（2）分段線性插值加密插值節(jié)點不一定能使插值函數(shù)很好逼近被插函

15、數(shù)，于是就有了分段線性插值的概念。基本思想：給定區(qū)間a，b，作分割a=x0<x1<<xn=b，在每個小xi，xi+1上做f(x)的以xi,xi+1為節(jié)點的線性插值。然后，把每個小區(qū)間上的線性插值函數(shù)連接起來得到f(x)的分段線性插值函數(shù)p(x)。幾何上，p(x)是平面上以點(xi,f(xi)為折點的折線。X0X1P1(x)f(x)X2X3X4X5oX第三章 數(shù)據(jù)擬合知識點：曲線擬合，最小二乘法。離散數(shù)據(jù)曲線擬合（1）曲線擬合問題實踐活動中，如果只能觀測或測量到函數(shù)y=f(x)的一組離散的實驗數(shù)據(jù): (xi,yi)，i=,n。則當這些數(shù)據(jù)比較準確時，可以構造插值函數(shù)j(x)逼近

16、f(x),只要滿足插值原則: j(xi)= yi (i=,n)如果離散數(shù)據(jù)序列(xi,yi)帶有不可避免的誤差（噪音）：插值原則限定可能使誤差保留和擴散。如果在非插值節(jié)點處插值函數(shù)j(x)不能很好近似f(x)，誤差可能很大。如果實驗數(shù)據(jù)很多，因插值節(jié)點多,得到的插值多項式的次數(shù)較高：不僅計算量過大,而收斂性和穩(wěn)定性不能保證,會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象,逼近效果不好！于是，構造的逼近函數(shù)j(x)最優(yōu)靠近樣點（如圖）成為理想選擇，即向量T=（j(x0)， j(x1)，j(xn)）與Y=（y0，y1，。，yn）的誤差和距離最小。按T和Y之間誤差最小原則作為最優(yōu)標準構造的逼近函數(shù)稱擬合函數(shù)。2442·&

17、#183;······-4-2樣點y=j(x)如何為f(x)找到一個既簡單又合理的逼近函數(shù)j(x)？通常采用曲線擬合方法來處理，曲線擬合就是構造近似函數(shù)j(x)，在包含全部基節(jié)點xi (i=,n)的區(qū)間上能“最好”逼近f(x)，不必滿足插值原則。這類問題稱曲線擬合問題，近似函數(shù)y=j(x)稱經(jīng)驗公式或擬合曲線或函數(shù)。擬合法則根據(jù)數(shù)據(jù)集(xi,yi)，i,n找出其間合適的數(shù)學公式，構造出一條反映這些給定數(shù)據(jù)一般變化趨勢的曲線j(x)，不要求曲線j(x)通過所有的點(xi,yi)，但要求這條曲線j(x)能盡可能靠近這些數(shù)據(jù)點或樣點，即各點

18、誤差i=j(xi)-yi按某種標準達到最小。通常用誤差的2-范數(shù)平方（均方誤差或誤差平方和）2220nii=dd作為總體誤差的度量，以誤差平方和達到最小最小二乘原理作為最優(yōu)標準構造擬合曲線的方法為曲線擬合的最小二乘法。（2）多項式擬合線性擬合給定一組(xi,yi)， i=,n。構造線性擬合函數(shù)p1(x)=a+bx，使均方差22d20nii=d20ni=(p1(xi)-yi)20ni=(a+bxi-yi)=F(a,b) 達到最小。即如何選擇a、b，使F(a,b) 達到最小，轉化為求多元函數(shù)F(a,b)極小值問題。F(a,b)取極小值應滿足0ni=(a+bxi-yi)=F(a,b)a020ni=(

19、a+bxi-yi)=F(a,b)b02xi整理得到擬合曲線滿足=0ni=xiyiyi0ni=ba0ni=xin20ni=xi0ni=xi上式稱為擬合曲線的法方程組或正則方程組。用消元法或克萊姆法則求解方程組得=a0ni=xi0i=xiyi-20ni=xi0ni=yin）（/n20ni=xi20ni=xi（）-（）bn0i=xiyiyi0ni=0ni=xin-（）n20ni=xi20ni=xi（）-（）=/得到均方誤差意義下的擬合函數(shù)p1(x)。二次擬合給定一組(xi,yi)， i=,n。用二次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。2設p2(x)= a 0+ a 1x+ a 2x，作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)序列的均方誤差

20、：=20ni=(a 0+ a 1xi+a2 xi -yi)F(a0,a1,a2)2(22d20nii=d)20ni=(p2(xi)-yi)類似線性擬合，根據(jù)最小二乘和極值原理:=00ni=(a 0+ a 1xi+a2 xi -yi)Fa 0220ni=(a 0+ a 1xi+a2 xi -yi) xiFa 122=00ni=(a 0+ a 1xi+a2 xi -yi) xiFa2222=0整理得到二次多項式函數(shù)擬合的法方程:=0ni=xin20ni=xi20ni=xi0ni=xi30ni=xi30ni=xi0ni=xi40ni=xi2a 1a 0a20ni=xiyiyi0ni=0ni=xiyi

21、2解法方程，便得到均方誤差意義下的擬合函數(shù)p2(x)。不過當多項式的階數(shù)n>5時，法方程的系數(shù)矩陣病態(tài)。計算中要用雙精度或一些特殊算法以保護解得準確性。一般情況 0(x )mkj 0(x )mkj給定一組(xi,yi)， i=0,1 ,2,n。在函數(shù)類 （m<n）中尋求一個函數(shù)p(x)，使誤差的2-范數(shù)平方達到最小。這里j0(x )，j 1 (x )，j m (x )是一組線性無關的連續(xù)函數(shù)，p(x)是 的線性組合。類似線性擬合處理。（3）例 用二次多項式擬合如下一組數(shù)據(jù)x-3-2-10123y4230-1-2-5解 設p2(x)= a 0+ a 1x+ a 2x²，經(jīng)計

22、算得xyxyx²x ² yx³x-34-12936-2781-22-448-816-13-313-1100000001-1-11-1112-2-44-88163-5-159-45278101-3928-70196相應的法方程為:7 a 0 +0 a 1 +28 a 2=1 0 a 0 +28 a 1 +0 a 2=-3928 a 0 +0 a 1 +196 a 2=-7解方程得:a 0= 0.66667，a 1=-1.39286， a 2=-0.13095。2所以p2(x)= 0.66667-1.39286x-0.13095x22d217ii=d=217i=(p2

23、(xi)-yi)=3.09524擬合曲線均方誤差:如何根據(jù)測量的數(shù)據(jù)設計和確定“最貼近”的擬合曲線？關鍵在于找到適當?shù)臄M合曲線類型，可以根據(jù)專業(yè)知識和工作經(jīng)驗確定擬合曲線類型。如果對擬合曲線一無所知，可以先繪制數(shù)據(jù)略圖，可能從中觀測出擬合曲線類型。一般情況下，應對數(shù)據(jù)進行多種曲線類型擬合，計算均方誤差，用數(shù)學實驗的方法找出最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數(shù)。第六章 線性方程組的解法-直接法知識點：簡單消元法，主元消元法，矩陣的三角分解。1.概 念（A）設線性方程組簡記 AX=B, 其中代替所得。列用的第是，其中法則：BiAAADniDDxGrameriiiii)det(0A)det(D,.,

24、2,1=采用克來姆法則解方程組工作量非常大，尋求數(shù)值解成為必要，線性方程組的數(shù)值解法一般歸結為兩類.直接法：經(jīng)過有限步算術運算，求得方程組的精確解（若在計算過程中沒有舍入誤差）。迭代法：用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解。2.Gauss消去法古老的直接求解線性方程組的方法例 1.解方程組ïïîïïíì=+-=-=+)3(122)2(54)1(632132321xxxxxxxx11-225-1406111增廣陣解 第一步：-2 x （1 ）+(3)得同解方程組ïïîïï&

25、#237;ì-=-=-=+)4(114)2(54)1(63232321xxxxxxx-11-1-405-1406111第二步：1 x （2 ）+ （4 ）得同解方程ïïîïïíì-=-=-=+)5(62)2(54)1(6332321xxxxxx-6-2005-1406111回代得解向量：x=1,2,3T(1)順序Gauss消去法順序消去未知數(shù)的方法。例2 .解方程組=+)3()2()1(6321=+-122321xxxxxx=-+133212xxx=+(5)4()1(6321=-11432xxxxx=-52323x

26、x解 第一步：用方程（1）消去（2），（3）中x1，即（1） x （-1 ）+(2)，（1） x （-2）+(3)，并保留（1）得第二步：用方程（4）消去（5）中x2，即（4） x （2 ）+(5)，并保留（1），（4）得上三角形方程組=+(6)4()1(6321=-2137xxxx=-52323xx回代得解：x=1,2,3T。0)(kkka求解過程中假設了變換后的同解方程組或等價矩陣的主對角元非零，即一般計算過程見教材P106-109. 建議認真閱讀。.,)(即數(shù)值不穩(wěn)定做除數(shù)易產(chǎn)生解的失真用此時kkka,0)(很小注kkka算法見教材110-111. 建議認真閱讀。運算量見教材111。（2

27、）主元素 Gauss消去法列主元消去法：在一列中選取按模（絕對值）最大的元素，將其調(diào)到主干方程位置進行順序消元的方法。例 3.用列主元消去法解方程組(強調(diào)選擇列中絕對值最大元)=+-)3()2()1(15321=+6321xxx3x3x12x=-+-153-321xx18x(A|b)=1561113-312-153-1-186111153-312-153-1-1831/617/187/6057/3-10-153-1-1831/617/187/6057/3-10-153-1-1831/617/187/6066/722/700-153-1-181，2行交換2，3行交換消元消元回代得解：x=1,2,

28、3T Gauss列主元消元法一般形式第1步消元從第一列中選出按模最大的元素作為主元素:|ai1|=max|aj1|,1jn，交換第1行和第i行的所有元素，然后，順序將a21,a31,a11,ai+1，1,an1變?yōu)榱恪５趉步消元(k)nk.a.(k)kka1+(k)kka)(Ak從 的第k列 ， ， 中選取絕對值最大項，記錄所在行，即kil=記=maxnikkakik|)(|kaki|)(|kl若 交換第k行與l行的所有對應元素，再進行順序消元。建議認真閱讀全主元消去法：在方程組整個系數(shù)矩陣A中選取絕對值最大的元素作為主元素，適當交換方程組中方程或未知數(shù)位置次序進行消元的方法。例4 .用全主元

29、消去法解例 3所示方程組，取四位有效數(shù)字。解 首先，三個方程的系數(shù)中絕對值最大者為-18（做主元），交換第一個方程與第二個方程的位置，以交換后的方程組（方程組形式學生課堂回答）的第一個方程為主干方程，消去其余兩個方程中的x1（具體操作學生課堂回答），得=+-5.00032=+5.167320.944x1.167x2.333x x=-+-153-321xx18x然后，在方程組中的后兩個方程中，再選取系數(shù)中絕對值最大者為主元，此時主元應為2.333。交換方程組中x2和x3位置，并消去x3得=5.0003=3.14421.572x2.333x-2 x=+-15-1-3x32x18x回代得解：x=1.

30、000,2.000,3.000T（3） 高斯-約當消去法高斯消元法將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，再進行回代求解。而Gauss-Jordan消去法是將系數(shù)矩陣化為對角矩陣，再進行求解，無回代過程見教材P112.。Gauss列主元消去法算法見教材P117，從算法優(yōu)化的角度考慮， Gauss列主元消去法比較好。3.矩陣三角分解法LU分解相關信息見教材P118-123。建議認真閱讀，有利鞏固線性代數(shù)知識。4.誤差分析教材P127，6.5節(jié)。范數(shù)基礎另課介紹?；仡櫋㈤喿x、理解與運用 ：P127范數(shù)，計算量統(tǒng)計，消去法一般解釋115-117。第六章 線性方程組的解法-范數(shù)知識點：向量范數(shù)與矩陣范數(shù)及其性質(zhì)，譜

31、半徑，條件數(shù)。1.概念在一維數(shù)軸上，任意兩點x1，x2之間距離用| x1-x2 |表示。在二維平面上，平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用表示。 推廣到n 維空間，就有了向量范數(shù)的概念。2.向量范數(shù)且滿足:x的范數(shù)。為向量則稱，都有三角不等式：對任意齊次性：時，當且僅當非負性：法則對應于一非負實數(shù)按某一確定的設任一向量xxRRkkkRyxyxyxxxxxxxnn|,;|,|;0|00|,|,1定義1 +=（1）常見的向量范數(shù)（2）向量范數(shù)性質(zhì)nnnnxxxRRxxyxyxyx-ba|,|R3,.,|,2121中定義的任意兩種范數(shù)對性質(zhì)的一致連續(xù)函數(shù)。是分量則向量范數(shù)設性

32、質(zhì)。有對任意性質(zhì)，一切范數(shù)都是等價的，即Mm,使得則必存在兩正數(shù)nRMmxxxx"bab|nxxx11|1 例如 參閱P127定理6.1。（3）向量的收斂性（P128定理6.2）=設中一向量序列其中RkxxxnkkkknkTxx(1,2,.),.,()()1()2()()定義2*2*1*),.,2,1(lim),.,(xi(k)）iknTnnixxRxxx滿足如果存在=*)(lim,xxxx(k)kk記作依次收斂到則稱向量序列=-=如果有則稱向量序列依范數(shù)收斂到k(k)kxxxxlim|0|*()*kk()*(1定理向量序列依坐標收斂到的充分必要條件是依范=xxxk)(1,2,.)數(shù)

33、收斂到。x*|事實上（）-=-=xxkkkinikiikixxxxin*1()()*lim|0limmax0lim(1,2,.)k3.矩陣范數(shù)的一種范數(shù)。為則稱，相容性：三角不等式：，奇次性：時，當且僅當非負性且滿足應于一非負實數(shù)若按某一確定的法則對設任意定義nnnnnnnnRARBABAABRBABABARkAkkAAAAARA""+=|,;,|,|;|;0|00|:|:|,|,.3（1）算子范數(shù)上的算子范數(shù)。算子范數(shù)是矩陣范數(shù)。為稱設定義,|max|max|,41|0nnxxnnnRAxxAxARARx=單位矩陣的范數(shù)等于1（練習）。（2）相容范數(shù)是相容的。與此向量范數(shù)

34、則稱該矩陣范數(shù)如果的一種范數(shù)和分別為設定義|,|,|5xAxAAxRRAxnnn（3）常見的矩陣范數(shù)（P129）=ppx),2,1(2相容的矩陣范數(shù)是與向量范數(shù)定理=-niijnjaA111|1max范數(shù)：（列和范數(shù)）=-TAAAmax2)(|2范數(shù)：l（譜范數(shù)）=-njijniaA11|max|范數(shù)：（行和范數(shù)）844.4466.23|534.1,466.2301710108|17101084212412264|2|,1|2max|54|1|,2|2max|:|2211=-=-=-=+-+=+-+=TTAAAIAAAA。，故解得由因為解lllll),2,1(|4212=-=ppAA求設矩陣例

35、題4矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性Aini|max)(1lr=612,i(i,.,n)A定義設為矩陣的特征值則稱的譜半徑。為矩陣A關系。的任何一種范數(shù)有某種但可能與的一種范數(shù)不是的譜半徑矩陣AAAA,)(r例題33)(33,3304212|421221+=-=+=-=-úûùêëé-=AAIArlllll所以。特征值得：解：由的譜半徑。求矩陣(1)譜半徑和矩陣序列的收斂性。則若的任意一種算子范數(shù)為這里則設定理AAAAAAAARATnn=|)(,;|,|)(,32rrxxx則的任一特征對，即為矩陣設證明AAAAxxxx=,llll。的任意性，有由，故有由于AAAx=max)(0lrllP129（6.35），P130（6.37）。(2)矩陣序列的收斂性。收斂于依范數(shù)則稱矩陣序列如果記作收斂到矩陣則稱矩陣序列如果及矩陣設矩