版高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案復(fù)旦大學(xué)出版社李開(kāi)復(fù)編

1、高等數(shù)學(xué)（上）第一章 函數(shù)與極限1. 設(shè) , 求2. 設(shè)的定義域?yàn)?，?wèn)：； ； ； 的定義域是什么？ （1）3. 設(shè)，求和，并做出這兩個(gè)函數(shù)的圖形。 4. 設(shè)數(shù)列有界, 又 證明: 5. 根據(jù)函數(shù)的定義證明: (2) 6. 根據(jù)定義證明: 當(dāng)時(shí),函數(shù)是無(wú)窮大.問(wèn)應(yīng)滿(mǎn)足什么條件時(shí),才能使7. 求極限: =0 = =0(4) =(5) =(6) =8. 計(jì)算下列極限: =0 =9. 計(jì)算下列極限: = = =(4)= （5）= （6）= 10. 利用極限存在準(zhǔn)則證明: 故原式1 數(shù)列的極限存在,并求其極限.11. 當(dāng)時(shí), 與相比, 哪一個(gè)是較高階的無(wú)窮小?12. 當(dāng)時(shí), 無(wú)窮小和是否同階?是否等價(jià)

2、?13. 證明: 當(dāng)時(shí), 有.14. 利用等價(jià)無(wú)窮小的代換定理, 求極限: .15. 討論 的連續(xù)性, 并畫(huà)出其圖形.16. 指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)屬于哪一類(lèi).若是可去間斷點(diǎn),則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù). =0 17. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類(lèi)型。18. 求函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間, 并求. 19. 求下列極限： = =1 20. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)怎樣選擇，使在內(nèi)連續(xù)。 21. 證明方程其中至少有一正根，并且它不超過(guò).22. 若在上連續(xù)，, 則在上必有, 使. 23. 證明: 若在內(nèi)連續(xù), 存在, 則必在內(nèi)有界. 第二章   導(dǎo)數(shù)與微分典型例題解析例1設(shè)在

3、處可導(dǎo)，求分析 所求極限與的定義式子很相似，則由的定義即可求解解 =錯(cuò)誤解答 令，則，= （1） = （2）錯(cuò)解分析 式（1）用到在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；式（2）用到在點(diǎn)連續(xù)但是題目只是給出在處可導(dǎo)的條件，而在的鄰域內(nèi)是否可導(dǎo)以及在處是否連續(xù)都未知所以上述做法中的式（1）與式（2）有可能不成立例2設(shè)，其中在上有定義且在點(diǎn)處可導(dǎo)試求分析 求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可以用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求；也可先求導(dǎo)函數(shù)，然后求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，但在本題中函數(shù)的可導(dǎo)性未知，故只能用定義來(lái)求解 當(dāng)時(shí)，=所以=當(dāng)時(shí)，綜上所述，= 例3 設(shè)函數(shù)，其中的一階導(dǎo)函數(shù)有界求分析 求函數(shù)在某一點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)可以用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求，但必須先求出一階導(dǎo)

4、數(shù)；也可先求出二階導(dǎo)函數(shù)，然后求二階導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，但在本題中函數(shù)的可導(dǎo)性未知，故只能用定義來(lái)求解由于，則有又=,所以=錯(cuò)誤解答 因?yàn)椋?錯(cuò)解分析 此解法錯(cuò)誤的根源在于的一階導(dǎo)函數(shù)有界并不能保證二階可導(dǎo)而上述求解卻要用到注此題用到如下結(jié)論：a有界量與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮?。籦可導(dǎo)必連續(xù)例4設(shè)的一階導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)且，則（ ）A在處的二階導(dǎo)數(shù)不存在B一定存在CD解 因?yàn)椋?，由于在處連續(xù)，故又因?yàn)?，所以選C例5 設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，、為該鄰域內(nèi)任意兩點(diǎn)且滿(mǎn)足條件：（1）；（2）試證在上述鄰域內(nèi)分析 此處無(wú)法用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則證明由于的表達(dá)式未給出，故只能考慮從定義出發(fā)如果用條件（2

5、），則需先求出證明 因?yàn)樵诘哪硞€(gè)鄰域內(nèi)有定義，記該鄰域?yàn)椋瑒t對(duì)任意、，有令，則于是對(duì)任意，當(dāng)及時(shí)，考慮下列極限=，故，例6（04研）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（ ）A在內(nèi)單調(diào)增加B在內(nèi)單調(diào)減少C對(duì)任意的有D對(duì)任意的有解由導(dǎo)數(shù)定義知根據(jù)極限的保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有因此當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，故選C注 函數(shù)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，題設(shè)告訴函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，一般應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論例7設(shè)不恒為零的奇函數(shù)在處可導(dǎo)試說(shuō)明為函數(shù)的哪一類(lèi)間斷點(diǎn)解由題設(shè)知，令可得則=，于是在處有極限從而是的可去間斷點(diǎn)例8 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則是在處可導(dǎo)的（ ）A充分必要條件B充分條件但非必要條件C必要條

6、件但非充分條件D既非充分條件又非必要條件分析表達(dá)式中含有絕對(duì)值符號(hào)，又要考查函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的存在性，因此要考慮函數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)解 由導(dǎo)數(shù)定義，知，可見(jiàn)存在，即故選A例9（01研）設(shè)，則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為（ ）A存在B存在C存在D存在分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，另外也考查了某些無(wú)窮小量的階以及它們的正負(fù)號(hào)解 注意到，且如果存在則 所以A成立只保證存在，而不是存在的充分條件如果存在，則，故B是存在的充要條件對(duì)于C，注意到，所以若存在，則由右邊推知左邊極限存在且為零若左邊極限存在，則由知上式左邊極限可能不存在，故可能不存在至于D，若存在，上述右邊拆項(xiàng)分別求極限均存在，保證了左邊存在而左邊存在，不

7、能保證右邊拆項(xiàng)后極限也分別存在故選B例10（99研）設(shè)，其中是有界函數(shù)，則在處（ ）A極限不存在 B可導(dǎo) C連續(xù)但不可導(dǎo) D極限存在但不連續(xù)解 由于 =，=，故選B例11 已知在處可導(dǎo)且求分析 題目條件是在處可導(dǎo)，必然有在處連續(xù)，從而可知該極限屬于型解 在處可導(dǎo)則且當(dāng)充分大時(shí)故 =注 此題用到當(dāng)時(shí)， 例12 討論函數(shù)的可導(dǎo)性分析 的表達(dá)式含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)，本質(zhì)上為分段函數(shù)解法1由可得或由得于是，可求得，因?yàn)?，=，所以，即在處可導(dǎo)而=，=，則在處不可導(dǎo)綜上所述在處不可導(dǎo)，在上均可導(dǎo)解法2依題意，是初等函數(shù)，且僅在和處可能不可導(dǎo)故只需討論在這兩點(diǎn)的情形（1）時(shí)，由于，故（2）時(shí)

8、，由于不存在，故只在處不可導(dǎo)，在上均可導(dǎo)解法3 由于，由導(dǎo)數(shù)定義可知，在處不可導(dǎo)，而在處一階可導(dǎo)，因此，在任意點(diǎn)處均可導(dǎo)，再只需考查的可導(dǎo)性由導(dǎo)數(shù)定義可知，僅僅在處不可導(dǎo)，故僅在處不可導(dǎo)，在上均可導(dǎo)例13 設(shè)，討論的可導(dǎo)性分析先應(yīng)求出的表達(dá)式本質(zhì)上為分段函數(shù)解由于，則有顯然當(dāng)或時(shí)，函數(shù)可導(dǎo)下面討論時(shí)的可導(dǎo)性由于=，=，于是，從而可知僅在處不可導(dǎo)例14（05研）設(shè)函數(shù)，則在內(nèi)（ ）A處處可導(dǎo)B恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)C恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)D至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)解由于=易求得，則，故為不可導(dǎo)點(diǎn)同理也為不可導(dǎo)點(diǎn)故選C例15 設(shè)的定義域?yàn)椋渲?，試討論的可?dǎo)性若可導(dǎo)，求其導(dǎo)數(shù)分析本質(zhì)上是分段函數(shù)即，由此可知需先解出

9、不等式 與 解由即解得，此時(shí)而由即解得，此時(shí)則有且當(dāng)時(shí)，=，=，即，所以在處不可導(dǎo)故例16 設(shè)函數(shù)，若要為可導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)如何選擇？解 顯然當(dāng)及時(shí)，可導(dǎo)，故要使為可導(dǎo)函數(shù)，只需使其在處可導(dǎo)由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，應(yīng)該首先選擇，使其在連續(xù)因，故當(dāng)即時(shí)，在連續(xù)又，因此當(dāng)時(shí)，存在，從而為可導(dǎo)函數(shù)例17 設(shè)，求，分析 三個(gè)函數(shù)中都有導(dǎo)數(shù)記號(hào)，其中表示函數(shù)對(duì)求導(dǎo)，求得后再與復(fù)合；表示函數(shù)對(duì)求導(dǎo)，即對(duì)求導(dǎo)，而；表示復(fù)合函數(shù)關(guān)于自變量求導(dǎo)解 ，則=，=，以及=例18 設(shè)求分析 本題既可直接由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，也可利用微分的形式不變性先求出，然后可得解法1 直接由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令，則=解法2 利用一階微分的形

10、式不變性= 故=例19 設(shè)，求分析 為冪函數(shù)；為指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)；而也為復(fù)合函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)解 =例20 若存在，求分析 可以先求出，也可利用微分的形式不變性求一階微分解法1 =，所以=解法2 =例21 設(shè)求解法1 在的兩邊微分，得，即，化簡(jiǎn)得令，則于是可得，解法2 由于，于是，其中所以，注 本題作變換，則要求故在最后需指明是的定義域例22 設(shè)且有二階導(dǎo)數(shù)求 解 =，=例23 已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)且則當(dāng)為大于的正整數(shù)時(shí)是（ ）ABCD分析 已知應(yīng)求出，用數(shù)學(xué)歸納法推出階導(dǎo)數(shù)解 當(dāng)時(shí)，=，以及=，=故選B例24 設(shè)，則使存在的最高階數(shù)為（ ）ABCD解

11、逐階計(jì)算導(dǎo)數(shù)來(lái)驗(yàn)證，記，易見(jiàn)都存在，再記，則由求導(dǎo)公式和定義，有，,即，則有由在不可導(dǎo)，知不再存在，即，選C例25 設(shè)求分析求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一般先求一階導(dǎo)數(shù)，再求二階，三階，找出階導(dǎo)數(shù)的規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明或者是通過(guò)恒等變形或者變量代換，將要求高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)轉(zhuǎn)換成一些高階導(dǎo)數(shù)公式已知的函數(shù)或者是一些容易求高階導(dǎo)數(shù)的形式用這種方法要求記住內(nèi)容提要中所給出的一些常見(jiàn)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式解法1 =則， ， ， ，故=解法2 利用公式=由，得 =，故=解法3 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式=，故=注 解法3用到了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，這是第十章無(wú)窮級(jí)數(shù)的內(nèi)容例26 設(shè)求分析 先求出，若繼續(xù)求導(dǎo)，將很難歸納出階導(dǎo)數(shù)的

12、表達(dá)式此類(lèi)有理分式函數(shù)，常常是將其分解為部分分式之和，再使用已有的公式解 由于，則=例27 設(shè)函數(shù)由方程確定，求分析 由方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)通常有兩種方法，一是只需將方程中的看作中間變量，在兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，然后將解出即可；二是利用微分形式不變性，方程兩邊對(duì)變量求微分，解出，則前的函數(shù)即為所求解法1 在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，所以解法2 在方程兩邊求微分，得，即，從而，所以例28 設(shè)函數(shù)由方程所確定求，解 將代入方程，得先求，下面用兩種解法求解法1 對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，可得將，代入上式中可求得解法2 對(duì)方程兩邊關(guān)于微分得即化簡(jiǎn)得將，代入上式中求得下面求對(duì)等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得=，將，代入上式解得

13、注求時(shí)，也可將等式兩邊對(duì)求導(dǎo)求得，或利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法請(qǐng)讀者自行完成這兩種方法，并比較一下孰優(yōu)孰劣例29 設(shè)函數(shù)是由方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)且求解法1 對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，即=，上式兩端再對(duì)求導(dǎo)得=解法2 方程兩端取對(duì)數(shù)得，對(duì)其兩端關(guān)于求導(dǎo)則有，解得=以下同解法1注 利用原方程簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)表達(dá)式是隱函數(shù)求導(dǎo)常用的方法之一，在求隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)尤其顯得重要例30 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析 所給函數(shù)為冪指函數(shù)，無(wú)求導(dǎo)公式可套用求導(dǎo)方法一般有兩種：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法和利用恒等式（），將冪指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)解法1 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，解得解法2 利用恒等式，（）于是=注 一般的可導(dǎo)冪指函

14、數(shù)均可采用上述兩種方法求導(dǎo)例31 求由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析 此題為冪指函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題解法1 對(duì)方程兩邊取自然對(duì)數(shù)得，兩端對(duì)求導(dǎo)，則有，解得解法2 原方程可變?yōu)?，即?duì)上式兩邊微分： 即，于是有，由此解得例32 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析 該題屬于求多個(gè)函數(shù)的乘積或冪的導(dǎo)數(shù)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法較好解法1 兩端先取絕對(duì)值，再取對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得所以解法2 =例33 設(shè)，則_分析 這是要求由參數(shù)方程確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，需要先求一階導(dǎo)數(shù)解 =，=錯(cuò)誤解答 =，=錯(cuò)解分析 出錯(cuò)的原因在于忽視了=是的函數(shù)，為參數(shù)且是中間變量，而題目的要求是求因此，在求這類(lèi)函數(shù)的二階或三階導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意避免這類(lèi)錯(cuò)誤發(fā)生

15、例34 設(shè)，且求解 =，=例35 設(shè)是由所確定求分析 此題為隱函數(shù)求導(dǎo)與由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)的綜合問(wèn)題解法1 在兩邊對(duì)求導(dǎo)得由得，對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得=則有，=故=，所以=解法2 由得，又，=，故=，=，所以=解法3 運(yùn)用公式=容易求出，對(duì)兩邊分別關(guān)于求一階導(dǎo)數(shù)，得從而，對(duì)兩邊分別關(guān)于求一階導(dǎo)數(shù)，得，由此可得于是將，代入公式=，得=例36（04研） 曲線(xiàn)上與直線(xiàn)垂直的切線(xiàn)方程為_(kāi)分析 求切線(xiàn)方程，需先求斜率即求一階導(dǎo)數(shù)，利用兩直線(xiàn)（不平行坐標(biāo)軸）垂直的關(guān)系：斜率互為負(fù)倒數(shù)解 直線(xiàn)的斜率為，由得，由得，從而切點(diǎn)為，于是所求切線(xiàn)方程為 ，即為所求例37（97研） 求對(duì)數(shù)螺線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的直角

16、坐標(biāo)方程分析 求切線(xiàn)方程，需先求斜率即求一階導(dǎo)數(shù)，而對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的方程為極坐標(biāo)形式，故應(yīng)先化為參數(shù)方程形式解 由知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為又由=可知，當(dāng)時(shí)故所求切線(xiàn)方程為即為所求例38 已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為求分析 先求出切線(xiàn)方程，然后求出該切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解 曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為，故切線(xiàn)方程為令，得該切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為于是 =例39 已知是周期為的連續(xù)函數(shù)，其在的某個(gè)鄰域內(nèi)滿(mǎn)足關(guān)系式，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小且在處可導(dǎo)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分析 求在處的切線(xiàn)方程，需求與切線(xiàn)斜率，而由=，可得和，從而故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與解 由題設(shè)條件有，從而，得又，從而 ，即 令，則有 ,即 所以由=，

17、可得則 ，故所求切線(xiàn)方程為，即為所求例40 現(xiàn)有一深為cm頂部直徑為cm的正圓錐漏斗，內(nèi)盛滿(mǎn)水，下接一直徑為cm的圓柱形水桶，水由漏斗進(jìn)入水桶試問(wèn)當(dāng)漏斗中水深為cm且其水面下降速度為cm/min時(shí)，圓柱形水桶中水面上升的速度為多少?(其中cm表示厘米，min表示分鐘)分析 設(shè)在時(shí)刻時(shí)刻漏斗水平面的高度為cm，水桶水平面的高度為cm關(guān)鍵在于建立與之間的函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)的物理意義即可求解而由題設(shè)可知如下等量關(guān)系：在任何時(shí)刻，漏斗中的水量與水桶中的水量之和等于原來(lái)漏斗中的水量，據(jù)此問(wèn)題不難求解解 設(shè)在時(shí)刻時(shí)漏斗中的水量與水桶中水量分別為、，則 ，由于在任何時(shí)刻，均應(yīng)等于開(kāi)始時(shí)漏斗中的水量，即 ，

18、即，解得對(duì)該等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，將cm，厘米/分鐘代入上式則求得水桶中水平面上升的速度為 厘米/分鐘第三章  中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題解析例1 驗(yàn)證函數(shù)在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件解 因是在上有定義的初等函數(shù)，所以在上連續(xù)，且在內(nèi)存在；故在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，由定理知至少存在一點(diǎn)使即，于是解得例2 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使等式成立 分析 要證成立，即證，即，作輔助函數(shù)，對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理 證明 設(shè)，則它在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得，即證畢例3 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得分析 要證

19、，即證，即 ，即證，作輔助函數(shù)，并對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理證明 令，易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使，即，而，故，即，證畢注 證明至少存在一點(diǎn)滿(mǎn)足抽象函數(shù)一階或二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，且題中沒(méi)有給出函數(shù)關(guān)系式的命題時(shí)，用羅爾定理證明的方法和步驟：（1）把要證的中值等式改寫(xiě)成右端為零的等式，改寫(xiě)后常見(jiàn)的等式有， ， ， ， 等等（2）作輔助函數(shù)，使等于上述等式的左端對(duì)于（1）中所述等式，分別對(duì)應(yīng)輔助函數(shù)為， ， ， ， （3）在指定區(qū)間上對(duì)應(yīng)用羅爾定理證明例4 設(shè)為滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，證明：方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根分析 函數(shù)雖然在上連續(xù)，但是難以驗(yàn)證在的某個(gè)子區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值是否異號(hào)

20、，所以不能用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，但發(fā)現(xiàn)函數(shù)在處的值為，且，所以該命題可以用羅爾定理來(lái)證 證明 作輔助函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，則至少存在一點(diǎn)，使得，即 ，即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根證畢 注 關(guān)于的根（或的零點(diǎn)）的存在性的兩種常用證明方法 證法1 如果只知在或上連續(xù)，而沒(méi)有說(shuō)明是否可導(dǎo)，則一般用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理證明； 證法2 先根據(jù)題目結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，使得，然后在指定區(qū)間上驗(yàn)證滿(mǎn)足羅爾定理的條件，從而得出的零點(diǎn)存在性的證明 例5 若在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得分析 要證，只要證在區(qū)間上滿(mǎn)足羅爾定理，關(guān)鍵是找到兩個(gè)使相等的點(diǎn)此外，

21、該題還可以用泰勒公式證明證法1 （用羅爾定理證）因?yàn)?，則因?yàn)?，所以在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，則至少存在一點(diǎn)使得，而，即對(duì)在上用羅爾定理，則至少存在一點(diǎn)使得，而，即在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證畢證法2（用泰勒公式證）的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的一階麥克勞林公式為,其中令，注意到，可得，證畢注 結(jié)論為的命題的證明常見(jiàn)方法有兩種：（1）對(duì)應(yīng)用羅爾定理；（2）利用的階泰勒公式例6 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微，對(duì)于上的每一個(gè)，函數(shù)的值都在開(kāi)區(qū)間之內(nèi)，且，證明在內(nèi)有且僅有一個(gè)，使得分析 根據(jù)題目結(jié)論，容易聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)，用零點(diǎn)定理證存在零點(diǎn)；而唯一性常用反證法證之證明 作輔助函數(shù)，易知在區(qū)間上連續(xù)，又，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函

22、數(shù)的零點(diǎn)定理可知，至少存在一個(gè)，使得，即下面用反證法證明唯一性假設(shè)存在，且不妨設(shè)，使得，顯然在上滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件，于是存在使得，即，這與題設(shè)矛盾，故唯一性也成立證畢例7 假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，試證：（1）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使分析 證（1）可采用反證法，設(shè)存在使得，且由已知條件，可以?xún)纱卫昧_爾定理推出與相矛盾的結(jié)論問(wèn)題（1）是基本題證（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，使得，且，通過(guò)觀(guān)察可知構(gòu)造是本題的難點(diǎn)證 （1）反證法設(shè)存在，使得，由于，對(duì)分別在區(qū)間和上應(yīng)用羅爾定理，知至少存在一點(diǎn)，使得至少存在一點(diǎn)，使得再對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知至少存在一點(diǎn)，使得，這與

23、題設(shè)矛盾，從而得證（2）令，則對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知至少存在一點(diǎn)，使得，即又因，故，又因?yàn)?，所以，因此?證畢例8 驗(yàn)證函數(shù)在上拉格朗日中值定理的正確性分析 此題主要考查拉格朗日中值定理的條件是否滿(mǎn)足解 因?yàn)?，則，故在處連續(xù)，故在上連續(xù)又因?yàn)椋蕪亩趦?nèi)可導(dǎo)則由拉格朗日中值定理知存在使，即，而，所以，解得例9 設(shè)，證明分析 當(dāng)時(shí)，即證此式中的可看成函數(shù)在區(qū)間上的改變量與相應(yīng)自變量的改變量之商，故可考慮用拉格朗日中值定理證明證明 當(dāng)時(shí)，不等式中等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，設(shè)由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，利用拉格朗日中值定理得，因?yàn)椋詮亩傻?，即證畢注 用中值定理（通常是用拉格朗日中值定理）證明不等式的具體做

24、法：首先選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)及區(qū)間，然后利用中值定理，得到一含有的等式；其次對(duì)等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，去掉含有的項(xiàng)即可例10 設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證法1 因?yàn)椴缓銥槌?shù)，故至少存在一點(diǎn)，使得先設(shè)，在上運(yùn)用拉格朗日中值定理，于是可知存在，使得若，則在上運(yùn)用拉格朗日中值定理知，同樣可知存在，綜上所述，命題得證證法2 反證法若不存在這樣的點(diǎn)，則對(duì)任意的，所以在上單調(diào)不增，而，故在上為常數(shù)，與題設(shè)矛盾所以命題得證證畢例11 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，證明：方程在內(nèi)有唯一的實(shí)根分析 要證方程在內(nèi)有唯一的實(shí)根，實(shí)際上相當(dāng)于證明函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，零點(diǎn)的存在可以

25、根據(jù)已知用零點(diǎn)定理或者羅爾定理證明，唯一性可以利用反證法或函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明證明 先證存在性令，則在內(nèi)連續(xù)，且，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在，使，即為方程的實(shí)根唯一性（用反證法證） 若在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，即，對(duì)在上利用拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得這與題設(shè)條件矛盾唯一性得證證畢 注 此題與例6類(lèi)似例12 （05研） 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得證明 （1）令，則在上連續(xù)，且，故由零點(diǎn)定理知存在，使得，即（2）由題設(shè)及拉格朗日中值定理知，存在，使得，從而證畢注 要證在內(nèi)存在、，使某種關(guān)系式成立的命題，常利用兩次拉格朗日中值定理

26、，或兩次柯西中值定理，或者柯西中值定理與拉格朗日中值定理并用例13 求極限分析 該極限屬于型，可用洛必達(dá)法則，根據(jù)題目的特點(diǎn)可用拉格朗日中值定理，可用導(dǎo)數(shù)的定義，也可以將指數(shù)差化成乘積后用等價(jià)代換解法1 用洛必達(dá)法則 解法2 對(duì)函數(shù)在區(qū)間（或）上使用拉格朗日中值定理可得，其中或當(dāng)時(shí)，故解法3 用導(dǎo)數(shù)的定義解法4 ，當(dāng)時(shí)，故例14 設(shè)在上可微，證明：存在，使得分析 考慮將要證明的等式變?yōu)椋瑒t用柯西中值定理證明；也可將要證明的等式變形為，則可用羅爾定理來(lái)證明證法1 只要證明，易知和在上滿(mǎn)足柯西中值定理的條件，故存在，使證法2 只要證明令，在可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使，即證畢錯(cuò)誤證明

27、要證的結(jié)論可改寫(xiě)成對(duì)函數(shù)和在區(qū)間上分別使用拉格朗日中值定理，存在，使，于是錯(cuò)解分析 以上證法錯(cuò)在認(rèn)為和分別使用拉格朗日中值定理所得的是同一值，實(shí)際上這兩個(gè)不一定相同例如，取，在內(nèi)使成立的點(diǎn)是；在內(nèi)使成立的點(diǎn)是；而使柯西中值公式成立的點(diǎn)是例15 把函數(shù)展成帶佩亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林公式分析 將函數(shù)展成階泰勒公式或者麥克勞林公式，通常有直接法和間接法兩種方法，一般用間接法較為簡(jiǎn)單解法1 直接法 ， ， ， ， ， 所以的階麥克勞林公式為解法2 間接法 在的帶佩亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林公式中，以代，得上式兩端同乘以，有因?yàn)?，故，從而 例16 求分析 該極限屬于型，如果用洛必達(dá)法則來(lái)求解將會(huì)比較復(fù)雜，根據(jù)

28、題目的特點(diǎn)可考慮利用，的泰勒公式解 因?yàn)椋?，注1 此題屬型的不定式，可以利用洛必達(dá)法則，讀者不妨一試，并與上述解法比較一下孰優(yōu)孰劣注2 在某些情況下，用泰勒公式求極限比用其它方法求極限更為簡(jiǎn)便，這種方法通常是把具有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式代入要求的極限式中，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)便的有理運(yùn)算，便可求出極限，應(yīng)用該方法需要熟記內(nèi)容提要中所列舉的常用函數(shù)的麥克勞林公式注3 幾條高階無(wú)窮小的運(yùn)算規(guī)律（這些規(guī)律在用麥克勞林公式求極限時(shí)尤為有用）：（這里以為例）：a； b當(dāng)時(shí)，；c； d當(dāng)有界，則例17 求極限分析 該極限屬于型，可以用洛必達(dá)法則，也可以采用等價(jià)無(wú)窮小替換定理解法1 用洛必達(dá)法則解法2 用等價(jià)無(wú)窮小替換

29、定理例18 求極限分析 該極限屬于型，可直接用洛必達(dá)法則；也可以先用洛必達(dá)法則，然后用等價(jià)無(wú)窮小替換定理 解法1 解法2 例19（99研） _分析 該極限屬于型將通分，然后再用洛必達(dá)法則解 例20 求極限分析 該極限屬于型，應(yīng)當(dāng)先變形為或型，再用洛必達(dá)法則，究竟變形為何種類(lèi)型，要根據(jù)實(shí)際情況確定，例如，按照該方法計(jì)算下去越來(lái)越復(fù)雜若將它化為型，則簡(jiǎn)單得多 解 例21 求極限分析 該極限屬于型，先化為型，再用洛必達(dá)法則解 ，而 故例22 求極限分析 該極限屬于型，先取對(duì)數(shù)（或者用恒等式）將其轉(zhuǎn)化為型，然后將其轉(zhuǎn)化為或型，再用洛必達(dá)法則解法1 設(shè)，故解法2 例23 求極限分析 該極限屬于型，可把型

30、變?yōu)樾陀谑牵瑔?wèn)題歸結(jié)于求型即型的極限；也可以用重要極限 解法1，由于故解法2 利用重要極限因?yàn)?，故注1 對(duì)于或型可直接利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型，型，型，可以利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將型轉(zhuǎn)化為型，將化型，將化為型，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求型，然后將其化為或型，再用洛必達(dá)法則注2 用洛必達(dá)法則求極限時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮與前面所講的其它方法（如等價(jià)無(wú)窮小替換定理，重要極限等 ）綜合使用，這樣將會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算例24 求極限分析 對(duì)于數(shù)列的極限不能直接用洛必達(dá)法則，這是因?yàn)閿?shù)列不是連續(xù)變化的，從而更無(wú)導(dǎo)數(shù)可言但可用洛必達(dá)法則先求出相應(yīng)的連續(xù)變量的函數(shù)極限，再利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系得，但當(dāng)不存在時(shí)，不能斷定不存在，這時(shí)應(yīng)使用其它

31、方法去求解法1 設(shè)，則故解法2 令，于是對(duì)在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理，得到，其中當(dāng)時(shí)，故例25 求極限 解 由于當(dāng)時(shí)，故錯(cuò)誤解答 由洛必達(dá)法則得，由于極限不存在，故原極限不存在錯(cuò)解分析 上述解法錯(cuò)在將極限存在這一條件當(dāng)成了極限存在的必要條件事實(shí)上這僅僅是一個(gè)充分條件，所以此時(shí)不能用洛必達(dá)法則例26 求分析 該極限屬于型，若用洛必達(dá)法則將會(huì)出現(xiàn)下列情況：=（）（）每用一次洛必達(dá)法則得到類(lèi)似的極限并循環(huán)往復(fù)，無(wú)法求出結(jié)果必須要考慮用其它方法解 =注 在使用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，首先要分析所求極限的類(lèi)型是否為或型；要結(jié)合其它方法（主要是用等價(jià)代換以及將極限為非零的因子的極限先求出來(lái)）來(lái)化簡(jiǎn)所求極限；

32、如有必要可以多次使用洛必達(dá)法則；當(dāng)所求極限越來(lái)越復(fù)雜時(shí)，要考慮改用其它方法；不能用洛必達(dá)法則來(lái)判別極限的存在性例27 設(shè)的二階導(dǎo)數(shù)存在，且，證明在上是單調(diào)增加的分析 只需要證明，即可證明 因?yàn)椋?，顯然在上連續(xù)，且，故在上是單調(diào)增加的即從而，故在上是單調(diào)增加的證畢例28 求曲線(xiàn)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解 ，在處，不存在，在處， ，在處， 這些特殊點(diǎn)將定義域分成若干部分，如下表所示：00由函數(shù)單調(diào)性的判定法可知函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是及，單調(diào)減少區(qū)間是；由函數(shù)的凹凸性判定法可知函數(shù)凸區(qū)間是，凹區(qū)間是和拐點(diǎn)為注1 求函數(shù)=單調(diào)區(qū)間的步驟:（1）確定的定義域； （2）找出單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)（即求駐點(diǎn)和不

33、存在的點(diǎn)），并用分界點(diǎn)將定義域分成相應(yīng)的小區(qū)間；（3）判斷各小區(qū)間上的符號(hào)，進(jìn)而確定=在各小區(qū)間上的單調(diào)性注2 通常用下列步驟來(lái)判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線(xiàn)=的拐點(diǎn)：（1）求；（2）令，解出該方程在I內(nèi)的實(shí)根，并求出在I內(nèi)不存在的點(diǎn)；（3）對(duì)于（2）中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，檢查在左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)不是拐點(diǎn)設(shè)=在處有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，而，則點(diǎn)一定是拐點(diǎn)例29 求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，求得駐點(diǎn)為，下面分別用極值第一、第二充分條件進(jìn)行判斷：解法1 （用極值第一充分條件）點(diǎn)，將定義域分成四個(gè)部分區(qū)間，列表如下：-

34、20 1000極大極小由上表及極值第一充分條件可知為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，不是極值點(diǎn)，且極小值；極大值解法2 （用極值第二充分條件）首先求，而，故為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，但對(duì)點(diǎn)第二充分條件失效，需用第一充分條件判斷，可知不是極值點(diǎn)，且極小值；極大值例30可導(dǎo)函數(shù)由方程所確定，試求的極大值與極小值分析 函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，可利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式求出及，將與原二元方程聯(lián)立求解可得駐點(diǎn)，再用函數(shù)取得極值的第二充分條件判定解 在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得由于不滿(mǎn)足原來(lái)的方程，又是可導(dǎo)函數(shù)，因此，即令，得，與原二元方程聯(lián)立求解可得，由此可知，函數(shù)有唯一可能的極值點(diǎn)又因?yàn)椋?，因此由函?shù)取得極值的第二充分條

35、件知，函數(shù)有唯一的極小值2，沒(méi)有極大值注 求極值的步驟： （1）找出全部可能的極值點(diǎn)（包括駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）；（2）對(duì)可能的極值點(diǎn)，利用函數(shù)取得極值的第一或第二充分條件判定；（3）求極值 例31 設(shè)函數(shù)，求的極值解 先求出可能的極值點(diǎn)，再判別函數(shù)在這些點(diǎn)是否取得極值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，可?jiàn)在點(diǎn)不連續(xù)，所以不存在，于是有，令，即，得所以可能的極值點(diǎn)為和，將定義域分成三個(gè)部分區(qū)間，列表如下： 0不存在0+2由此可知在處取得極小值，極小值為，顯然，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)由正號(hào)變?yōu)樨?fù)號(hào)，即點(diǎn)為極大值點(diǎn)，函數(shù)的極大值為例32 （03研）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如圖3-1所示，則有（ ）A一個(gè)

36、極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)圖31分析 由的導(dǎo)函數(shù)圖形可知導(dǎo)函數(shù)何時(shí)大于零、等于零、小于零，從而可知的單調(diào)性，進(jìn)一步可推知其極值解 選C 由圖形可看出，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)為極小值點(diǎn)，一個(gè)為極大值點(diǎn)，在左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見(jiàn)為極大值點(diǎn)，故有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選C例33 討論方程在內(nèi)有幾個(gè)實(shí)根？分析 如果對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題討論清楚了，則其零點(diǎn)也就弄明白了，討論方程在內(nèi)有幾個(gè)實(shí)根等價(jià)于討論在內(nèi)

37、有幾個(gè)零點(diǎn)解 設(shè)，則只需討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)由，解得列表：0由此可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且是函數(shù)的最大值，由，及，可得（1）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，故方程沒(méi)有實(shí)根（2）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，故方程只有惟一實(shí)根（3）當(dāng)，即時(shí)，由，知在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)又在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根同理方程在內(nèi)也只有一個(gè)實(shí)根故當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)根例34 證明不等式：當(dāng)時(shí)， 分析 證明不等式可用拉格朗日中值定理、函數(shù)的單調(diào)性和最值及凹凸性等 證法1 （用單調(diào)性證明）令，則 ，令，則所以在內(nèi)，而，所以，從而可知，故單調(diào)減少，由此得，即 證法2 （用凹凸性證明）設(shè)，則，所以的圖

38、形是凸的又，因此，即證法3 （用最值證明）設(shè)，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知在可取到最大最小值，令，得在內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有所以在點(diǎn)處取得極大值因此在上的最小值必在端點(diǎn)處取得，這是因?yàn)樵趦?nèi)沒(méi)有極小值又由于，所以的最小值為零，因此，在內(nèi)必有，即證畢例35 證明：當(dāng)，時(shí)，有不等式，且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立分析 將不等式兩端同除以，轉(zhuǎn)化為可以看出，左端是函數(shù)在，兩點(diǎn)取值的平均值，而右端是它在中點(diǎn)處的函數(shù)值因此，可用函數(shù)圖形的凹凸性來(lái)證明證明 設(shè)，則在內(nèi)有，從而函數(shù)的圖形是凹的故對(duì)任意，且，有成立，即成立當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立于是有，且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立證畢例36 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（ ）A是的極大值

39、B是的極小值C是曲線(xiàn)的拐點(diǎn) D不是的極值，也不是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)分析 要討論函數(shù)的極值與凹凸性，則要討論、的正負(fù)號(hào)解 選B由題設(shè)，可得，且由保號(hào)性知存在的某鄰域使得，即在的左、右兩側(cè)都是上凹的，故不是拐點(diǎn)，排除C由拉格朗日中值定理可得，其中介于與之間，由于，故，而，從而可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由此可知是的極小值，選B例37 求內(nèi)接于且四邊平行于軸和軸的面積最大的矩形分析 首先要求出矩形面積的表達(dá)式，然后求其最大值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的矩形即為所求解 設(shè)所求矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則矩形的面積為，由，令得駐點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以為的最大值點(diǎn)因而所求矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，最大矩形面積為例3

40、8 描繪函數(shù)的圖形 解（1）求函數(shù)的定義域定義域?yàn)?，?）求漸近線(xiàn) 因?yàn)椋适且粭l鉛直漸近線(xiàn)，而由可知無(wú)水平漸近線(xiàn)，又因?yàn)椋?且，故是斜漸近線(xiàn)（3）求使，為零的點(diǎn)及不存在的點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，和不存在（4）列表說(shuō)明圖形在每個(gè)小區(qū)間上的升、降、凹、凸，及函數(shù)的極值點(diǎn)，曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，并作圖，如圖3-2所示圖32 00 0的圖形極大值拐點(diǎn)例39 求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率與曲率半徑 解 ，則曲率及曲率半徑分別為， 由及，得在的曲率與曲率半徑分別為，例40 曲線(xiàn)上曲率最大的點(diǎn)稱(chēng)為此曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，試求的頂點(diǎn)，并求在該點(diǎn)處的曲率半徑解 ，由曲率公式得，為求出的最大值，只要求出的最小值即可又，令，得，而，所以是

41、函數(shù)唯一的極小值點(diǎn)，也就是使曲線(xiàn)曲率最大的點(diǎn)，代入得，于是曲線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而曲線(xiàn)在該點(diǎn)的曲率半徑為第四章   不定積分典型例題解析例1 求下列不定積分（1） （2）分析利用冪函數(shù)的積分公式求積分時(shí)，應(yīng)當(dāng)先將被積函數(shù)中冪函數(shù)寫(xiě)成負(fù)指數(shù)冪或分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式解（1）（2） 例2求 分析 將被積函數(shù)的平方展開(kāi)，可化為冪函數(shù)的和解 例3求下列不定積分（1） （2）分析 （1）將被積函數(shù)拆開(kāi)，用指數(shù)函數(shù)的積分公式；（2）分子分母都含有偶數(shù)次冪，將其化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式的和，然后即可用公式解（1）（2）例4求下列不定積分（1） （2） （3）分析根據(jù)被積函數(shù)分子、分母的特

42、點(diǎn)，利用常用的恒等變形，例如：分解因式、直接拆項(xiàng)、“加零”拆項(xiàng)、指數(shù)公式和三角公式等等，將被積函數(shù)分解成幾項(xiàng)之和即可求解解 （1） （2）（3） 例5 求下列不定積分（1） （2）（3） （4）分析 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)時(shí)，常利用一些三角恒等式，將其向基本積分公式表中有的形式轉(zhuǎn)化，這就要求讀者要牢記基本積分公式表 解 （1）（2） （3）（4） 例6求下列不定積分（1）（2）（）（3）（4）（5） （6）（7）（8）（9） （10）（11）分析 這些積分都沒(méi)有現(xiàn)成的公式可套用，需要用第一類(lèi)換元積分法解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） 注用第一類(lèi)換元積分法

43、（湊微分法）求不定積分，一般并無(wú)規(guī)律可循，主要依靠經(jīng)驗(yàn)的積累而任何一個(gè)微分運(yùn)算公式都可以作為湊微分的運(yùn)算途徑因此需要牢記基本積分公式，這樣湊微分才會(huì)有目標(biāo)下面給出常見(jiàn)的12種湊微分的積分類(lèi)型（1）；（2）；（3）；適用于求形如的積分，（是自然數(shù)）（4）；適用于求形如的積分，（是自然數(shù)）（5）；適用于求形如的積分，（是自然數(shù)）（6）；適用于求形如是的積分，（是自然數(shù)）（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；例 求下列函數(shù)的不定積分：（1）（2）（3） （4）（5） （6）分析 在運(yùn)用第一類(lèi)換元法求以三角函數(shù)為被積函數(shù)的積分時(shí)，主要思路就是利用三角恒等式把被積函數(shù)化為熟知的積分，通常

44、會(huì)用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、積化和差公式等解（1）被積函數(shù)是奇次冪，從被積函數(shù)中分離出，并與湊成微分，再利用三角恒等式，然后即可積分（2）被積函數(shù)是偶次冪，基本方法是利用三角恒等式，降低被積函數(shù)的冪次（3）利用積化和差公式將被積函數(shù)化為代數(shù)和的形式（4）利用三角恒等式及 （5）因?yàn)?，所以?）由于，所以 注利用上述方法類(lèi)似可求下列積分、，請(qǐng)讀者自行完成例求下列不定積分：（1）（2）（3）分析 可充分利用湊微分公式：；或者換元，令解（1）（2）解法1 ,然后用公式，則解法2（3）解法1 解法2解法令，則有注在計(jì)算不定積分時(shí)，用不同的方法計(jì)算的結(jié)果形式可能不一樣，但本質(zhì)相同驗(yàn)證積分結(jié)果是否正確，只要對(duì)積分的結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，若其導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)則積分的結(jié)果是