第二章分離變量法22,23

1、§2.2 有限桿上的熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題：一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為，兩端坐標(biāo)為。桿的側(cè)面絕熱，且在端點(diǎn)處溫度為零，而在處桿的熱量自由發(fā)散到周?chē)鷾囟葹?的介質(zhì)中。初始溫度為，求桿上的溫度變化情況，即考慮下定解問(wèn)題：仍用分離變量法求解。此定解問(wèn)題的邊界條件為第三類(lèi)邊界條件。類(lèi)似§2.1中步驟，設(shè)，代入上面的方程可得從而可得通解由邊界條件知從而令 上方程的解可以看作曲線，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然他們有無(wú)窮多個(gè)，于是方程有無(wú)窮多個(gè)根。用下符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根于是得到特征值問(wèn)題的無(wú)窮個(gè)特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)再由方程， 可得，從而我們得到滿足邊界條件的一組特解由于方程和邊界條件是齊次的，所以仍滿足此方程

2、和邊界條件。下面研究一下其是否滿足初始條件?？梢宰C明在區(qū)域0,l上具有正交性，即證明：完成。令于是，從而得到定解問(wèn)題得解。§2.3 圓域內(nèi)的二維Laplace方程的定解問(wèn)題平面極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是由此可得即是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得進(jìn)一步，可得在此基礎(chǔ)上，還可以得到柱坐標(biāo)系下的Laplace算符考慮圓域內(nèi)的穩(wěn)定問(wèn)題：其在極坐標(biāo)下的表示形式：因圓域內(nèi)溫度不可能為無(wú)限，尤其是在圓盤(pán)中心點(diǎn)的溫度應(yīng)該有限，并且表示同一點(diǎn)，故而我們有下約束下面用分離變量法求解該問(wèn)題。令 代入極坐標(biāo)下方程可得：從而可得常微分方程由有限性及周期邊界條件知，從而得定解問(wèn)題求解： 時(shí)，通解為由周期邊界條件可得 從而，不可取。時(shí)，通解為由周期邊界條件可得 B任意，說(shuō)明為一特征值，相應(yīng)得特征函數(shù)為。時(shí)，通解為因以為周期，所以有 從而可得特征值特征函數(shù)為接下來(lái)，求特解，并疊加出一般解。由Euler方程若令，即，則上方程可寫(xiě)為故 時(shí)，通解時(shí)，通解為為保證，所以可得，即從而，滿足齊次方程和周期條件及有限性的解可以表示為級(jí)數(shù)最后，為了確定系數(shù)，我們利用邊界條件可得運(yùn)用性質(zhì)從而可得因而，我們有利用下面的求和公式所以，稱(chēng)此表達(dá)式為圓域內(nèi)的Poisson公式，它的作用是