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文檔簡介
1、第二章習題參考解答2.1 求下列系統(tǒng)的階躍響應和沖激響應。(1) 解 當激勵為時,響應為,即:由于方程簡單,可利用迭代法求解:, , ,由此可歸納出的表達式:利用階躍響應和沖激響應的關系,可以求得階躍響應: (2) 解 (a)求沖激響應 ,當時,。特征方程 ,解得特征根為。所以: (2.1.2.1)通過原方程迭代知,代入式(2.1.2.1)中得: 解得, 代入式(2.1.2.1): (2.1.2.2)可驗證滿足式(2.1.2.2),所以: (b)求階躍響應通解為 特解形式為 ,代入原方程有 , 即完全解為 通過原方程迭代之,由此可得 解得,。所以階躍響應為: (3) 解 (4) 解 當t0時,
2、原方程變?yōu)椋骸?(2.1.3.1) (2.1.3.2)將(2.1.3.1)、 (2.1.3.2)式代入原方程,比較兩邊的系數(shù)得: 階躍響應:2.2 求下列離散序列的卷積和。(1) 解 用表格法求解 (2) 解 用表格法求解 (3) 和 如題圖2.2.3所示 解 用表格法求解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 參見右圖。當時:當時: 當時:當時:當時:(7) , 解 參見右圖:當時:當時: 當時: 當時: 當時: (8) , 解 參見右圖當時: 當時: 當時: 當時: (9) , 解 (10) , 解 或?qū)懽鳎?.3 求下列連續(xù)信號的卷積。(1) , 解 參見右圖:當時: 當時:當時:當時:當
3、時:當時: (2) 和 如圖2.3.2所示 解 當時:當時:當時: 當時: 當時: (3) , 解 (4) , 解 (5) , 解 參見右圖。當時:當時: 當時: 當時: (6) , 解 (7) , 解 (8) , 解 (9) , 解 2.4 試求題圖2.4示系統(tǒng)的總沖激響應表達式。解 2.5 已知系統(tǒng)的微分方程及初始狀態(tài)如下,試求系統(tǒng)的零輸入響應。(1) ; 解 ,(2) ; ,解 , ,可定出 (3) ; ,解 , ,可定出 2.6 某一階電路如題圖2.6所示,電路達到穩(wěn)定狀態(tài)后,開關S于時閉合,試求輸出響應。解 由于電容器二端的電壓在時不會發(fā)生突變,所以。根據(jù)電路可以立出時的微分方程:
4、, 整理得 齊次解:非齊次特解:設 代入原方程可定出 , 則: 2.7 積分電路如題圖2.7所示,已知激勵信號為,試求零狀態(tài)響應。解 根據(jù)電路可建立微分方程: 當時: 由可定出 , 根據(jù)系統(tǒng)的時不變性知,當時: 當 時:2.8 求下列離散系統(tǒng)的零輸入響應。(1) ; ,解 由, 可定出 , (2) ; ,解 由, 可定出 .(3) ; , 解 特征方程, 由 可定出 2.9 求下列離散系統(tǒng)的完全響應。(1) ; 解 齊次方程通解:非齊次方程特解: 代入原方程得: 由 可定出 (2) ; , 解 齊次方程通解:非齊次方程特解: 代入原方程定出 由 可定出 2.10 試判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性
5、。(1) 解 因果的;穩(wěn)定的。(2) 解 因為沖激響應不滿足絕對可和條件,所以是不穩(wěn)定的;非因果的。(3) 解 穩(wěn)定的,非因果的。(4) 解 不穩(wěn)定的,因果的。(5) 解 不穩(wěn)定的,因果的。(6) (為實數(shù))解 時: 不穩(wěn)定的,因果的; 時: 穩(wěn)定的,因果的; 時: 不穩(wěn)定的,因果的。(7) 解 不穩(wěn)定的,非因果的。(8) 解 穩(wěn)定的,非因果的。2.11 用方框圖表示下列系統(tǒng)。(1) (2) (3) *2.12 根據(jù)系統(tǒng)的差分方程求系統(tǒng)的單位脈沖響應。(1) 解 當時: , 由原方程知當時:,由此可定出 (2) 解 當時: 齊次方程的通解為,由原方程迭代求解可得為: 由此可以定出 *2.13
6、根據(jù)系統(tǒng)的微分方程求系統(tǒng)的單位沖激響應。(1) 解 當時:,代入原方程可確定 (2) 解 當時: 代入原方程,比較兩邊系數(shù)得: *2.14 試求下列系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應、強迫響應、自由響應。(1) ;,解 (a)求強迫響應: 假設特解為:代入原方程,可定出; 則強迫響應 (a)求自由響應: 利用沖激平衡法可知: 可定出;所以完全解形式:,由定出即完全響應為:所以自由響應為:(b)求強迫響應: 假設特解為:代入原方程,可定出; 則強迫響應 (c)求零輸入響應:由 可定出 (d)求零狀態(tài)響應 零狀態(tài)響應自由響應強迫響應零輸入響應 綜上所求,有: (2) ;,解法一 用z變換求解。方程兩邊進
7、行z變換,則有: 解法二:時域解法。求強迫響應: 當時: 即為常值序列, 設特解為,代入原方程可定出當時:僅在激勵作用下,由原方程知,即:特解在時均滿足方程。求自由響應:完全解:由經(jīng)迭代得:由可定出完全解中系數(shù)為: 則自由響應分量為:零輸入響應: 由 可以定出: 零狀態(tài)響應:*2.15 試證明線性時不變系統(tǒng)具有如下性質(zhì):(1) 若系統(tǒng)對激勵的響應為,則系統(tǒng)對激勵的響應為;(2) 若系統(tǒng)對激勵的響應為,則系統(tǒng)對激勵的響應為。證(1) 已知,根據(jù)系統(tǒng)的線性試不變性有: ;令,則有:證(2) 已知,根據(jù)系統(tǒng)的線性試不變性有: 令 則 ,所以 證畢。*2.16 考察題圖2.16(a)所示系統(tǒng),其中開平
8、方運算取正根。(1) 求出和之間的關系;(2) 該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)嗎,是時不變系統(tǒng)嗎?(3) 若輸入信號是題圖2.16(b)所示的矩形脈沖(時間單位:秒),求響應。解 (1) 由系統(tǒng)框圖可得(2) 由輸入一輸出關系可以看出,該系統(tǒng)不滿足可加性,故系統(tǒng)是非線性的。又因為當輸入為時,輸出為),故系統(tǒng)是時不變的。 (3) 由輸入一輸出關系,可以求得輸出為圖示波形。*2.17 一個線性系統(tǒng)對的響應為,(1) 該系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)?(2) 該系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)?(3) 若 a);b),求該系統(tǒng)對每個輸入的響應。解 (1) 當時,輸入為輸出為當時,輸入為輸出為顯然 ,是時變系統(tǒng)。(2) 當時,如顯然,響應
9、出現(xiàn)于激勵之前,所以是非因果系統(tǒng)。(3) 因為不是LTI系統(tǒng),所以輸出響應不能用來計算。對于線性時變系統(tǒng),輸出響應可求解如下: 任意信號仍可分解為沖激函數(shù)的和,即有:因為(這里是的二元函數(shù))由于系統(tǒng)為線性的,故有:對于此例有,當時: (注意:)即 當時: 第三章習題參考解答3.1 求下列信號展開成傅里葉級數(shù),并畫出響應相應的幅頻特性曲線。解 (a) 解 (b) 解 (c) 解 (d) 3.2 求題圖3.2所示信號的傅里葉變換。解 (a) 解 (b) 設, 由傅氏變換的微積分性質(zhì)知: 解 (c) 利用傅氏變換性質(zhì)知:解 (d) 或 解 (e) 解 (f) 3.3 若已知,試求下列信號的傅里葉變換
10、。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 令 則有:, , 3.4 在題圖3.2(b)中取,將進行周期為的周期延拓,得到周期信號,如題圖3.4(a)所示;取的個周期構成截取函數(shù),如題圖3.4(b)所示。(1) 求周期信號傅里葉級數(shù)系數(shù);(2) 求周期信號的傅里葉變換;(3) 求截取信號的傅里葉變換。解 (1) 設單個三角波脈沖為,其傅里葉變換根據(jù)傅里葉級數(shù)和傅里葉變換之間的關系知: (2) 由周期信號的傅里葉變換知: (3) 因為 3.5 繪出下列信號波形草圖,并利用傅里葉變換的對偶性,求其傅里葉變換。(1) (2) 提示:參見脈沖信號和三角波信號的傅里葉變換解
11、(1) , 根據(jù)對偶知: 解(2) 3.6 已知的波形如題圖3.6(a)所示,(1) 畫出其導數(shù)及的波形圖;(2) 利用時域微分性質(zhì),求的傅里葉變換; (3) 求題圖3.6(b)所示梯形脈沖調(diào)制信號的頻譜函數(shù)。 解(1) 及的波形如下:(2) (3) 3.7 求下列頻譜函數(shù)的傅里葉逆變換。(1)解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (3.7.5.1) 又 (3.7.5.2)由(3.7.5.1)、(3.7.5.2)式可知: (6) 解 *3.8 設輸入信號為,系統(tǒng)的頻率特性為,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解 3.9 理想低通濾波器的幅頻特性為矩形函數(shù),相頻特性為線性函數(shù),如題圖3.9所示。
12、現(xiàn)假設輸入信號為的矩形脈沖,試求系統(tǒng)輸出信號。 解 利用傅里葉變換的對稱性,可以求得該系統(tǒng)的沖激響應為: ,令得: 其中: 3.10 在題圖3.10(a)所示系統(tǒng)中,采樣信號如圖(b) 所示,是一個正負交替出現(xiàn)的沖激串,輸入信號的頻譜如圖(c)所示。(1) 對于,畫出和的頻譜;(2) 對于,確定能夠從中恢復的系統(tǒng)。 解(1) 由此可以繪出及的頻譜圖如下: (2) 從的頻譜可以看出,由恢復的系統(tǒng)如圖所示:3.11 在題圖3.11(a)所示系統(tǒng)中,已知輸入信號的傅里葉變換如題圖(b)所示,系統(tǒng)的頻率特性和分別如圖(c)和圖(d)所示,試求輸出的傅里葉變換。解: 參見題圖的標注。*3.12 在題圖3
13、.12(a)所示的濾波器中,。如果濾波器的頻率特性函數(shù)滿足: (,為常數(shù))則稱該濾波器為信號的匹配濾波器。(1) 若為圖(b)所示的單個矩形脈沖,求其匹配濾波器的頻率特性函數(shù);(2) 證明圖(c)所示系統(tǒng)是單個矩形脈沖的匹配濾波器;(3) 求單個單個矩形脈沖匹配濾波器的沖激響應,并畫出的波形;(4) 求單個單個矩形脈沖匹配濾波器的輸出響應,并畫出的波形。解 (1) 解 (2) 參見圖(c)標注. 又 , 即與()中有相同的函數(shù)形式。解 (3) , 解 (4) (取) 為一三角波*3.13 求題3.1中和的功率譜密度函數(shù)。解 (1) 參見3-1題。首先推出周期信號功率譜密度函數(shù)的表達式:周期信號
14、的傅里葉變換為: 其中是傅里葉級數(shù)展開式系數(shù)??紤]截取信號:根據(jù)頻域卷積定理,截取信號的傅里葉變換為: 當時,趨向于集中在處,其他地方為零值,所以功率譜密度函數(shù)為: 由于,所以: 由此可求題給信號的功率譜密度函數(shù): 解 (2) *3.14 求題3.2中和的能量譜密度函數(shù)。解 設的能量譜密度函數(shù)為,。設的能量譜密度函數(shù)為,。*3.15 信號的最高頻率為500Hz,當信號的最低頻率分別為0,300Hz,400Hz時,試確定能夠?qū)崿F(xiàn)無混疊采樣的最低采樣頻率,并解釋如何從采樣后信號中恢復。解(1) ,所以 (2) ,取當代入式中可知,只有當不等式才能成立:,所以采樣頻率只能取Hz。(3) , 當代入式
15、中可知,當不等式成立:,所以最低采樣頻率。*3.16 正弦信號的振幅電平為V,現(xiàn)采用12位的量化器進行舍入式量化,求量化誤差的方均根值和量化信噪比。解 ,;,;,;*3.17 繪出,的波形,并證明它們在0,1區(qū)間上是相互正交的。解 由三角函數(shù)和符號函數(shù)的意義可繪出的波形如圖所示。顯然: 即在0,1區(qū)間上滿足正交的定義。*3.18 求信號的自相關函數(shù)。解 當: 當:第四章習題解答4.1 求下列離散周期信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)。(1) 解 ,若取 則: (2) 解 若?。?則 (3) 解 ,若取 則: (4) ,周期解 (5) 解 (6) 解 4.2 已知周期信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)及其周期,試確定信號。
16、(1) , 解 ,將此式與的定義式比較可知: 若取 則(2) , 解 4.3 求下列序列的傅里葉變換。(1) 解 (2) 解 令 有: (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 4.4 利用傅里葉變換的性質(zhì)求下列序列的傅里葉變換。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 4.5 已知的傅里葉變換為,求下列序列的傅里葉變換。(1) 解 ;(2) 解 ,(3) 解 (4) 解 4.6 已知離散信號的傅里葉變換為,求其對應的時域信號。(1) 解 (2) 解 和的定義式比較知: (3) 解 (4) 解 (5) 解 4.7 設兩個離散LTI系統(tǒng)的頻率響應分別為 將這兩個系統(tǒng)級聯(lián)后,求描述整個
17、系統(tǒng)的差分方程。解 將這兩系統(tǒng)級聯(lián)后,求描述整個系統(tǒng)的差分方程級聯(lián)后系統(tǒng)的頻率響應為: 的頻率響應為: 比較后得知級聯(lián)后系統(tǒng)的差分方程為: 4.8 設一離散LTI系統(tǒng)的差分方程為,(1) 求該系統(tǒng)的頻率響應;(2) 若系統(tǒng)的激勵為,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解 (1) 方程兩邊進傅里葉變換得: 解 (2) *4.9 設和是周期信號,且 , 試證明離散時間調(diào)制特性,即證明其中。證明 令 類似可證: 證畢。*4.10 周期三角形序列如題圖4.10(a)所示,其單個周期內(nèi)的序列構成有限長序列、,如圖(b)和圖(c)所示。(1) 求的傅里葉變換;(2) 求的傅里葉變換(3) 求的傅里葉級數(shù)系數(shù);(4) 證明
18、傅里葉級數(shù)系數(shù)表示或的等間隔采樣,即有: 或 N為周期解(1) 解(2) 解(3) 周期,解 (4) 由上面知: 而 比較知:*4.11 一個離散時間系統(tǒng)的單位沖激響應為,利用傅里葉變換求該系統(tǒng)對下列輸入信號的響應。解 , *4.12 如果為系統(tǒng)的輸入,為系統(tǒng)的輸出,對下面每組信號判斷是否存在一個離散時間LTI系統(tǒng),當輸入為時,輸出為?如果不存在,說明為什么。如果存在,它是否是唯一的?求出該LTI系統(tǒng)的頻率響應。(1) , 解 所以輸人輸出為非線性關系,則不存在一個LTI系統(tǒng)能滿足此輸人輸出關系。(2) , 解 ; 所以該輸人輸出關系可以對應一個頻率響應為的LTI系統(tǒng),且是唯一的。當然該輸人輸
19、出關系也可以對應一個的非線性系統(tǒng)。 注意該題和(1)的區(qū)別,在題(2)中,所對應的LTI系統(tǒng)的輸人輸出關系可以用差分方程:描述,而在題(1)中,則找不到滿足線性的時域方程。(3) , 解 該輸人輸出關系可以對一個LTI系統(tǒng),其頻響可為:顯然能產(chǎn)生這種輸人輸出關系的LTI系統(tǒng)不是唯一的,如則是另一個LTI系統(tǒng)。4.13 用閉式表達以下有限長序列的DFT。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 4.14 已知以下,試求IDFT。(1) (2) 其中為某一正整數(shù)且。解 (1) 解 (2) 4.15 已知有限長序列,DFT=,試利用頻移定理求(1) (2) 解 (1)
20、解 (2) *4.16 題圖4.16是的有限長序列,試繪圖解答(1) 與的線性卷積;(2) 與的4點圓周卷積;(3) 與的10點圓周卷積;(4) 若與的圓周卷積和線性卷積相同,求長度L的最小值。解 (1) 利用表格法可求得線性卷積為:解 (2) 當L=4時:根據(jù)上面信號波形的圖示,直接按照周期卷積取主值來計算圓周卷積: 上式中周期卷積的具體計算過程和線性卷積的計算過程類似。 或者根據(jù)線性卷積和周期卷積的關系以及周期卷積和圓周卷積的關系求解。周期卷積和線性卷積的關系: 這里圓周卷積是周期卷積的主值區(qū)間0,3。同時考慮到線性卷積的非零值區(qū)間為0,6所以利用上式計算圓周卷積時,只需考慮在0,3區(qū)間內(nèi)
21、有非零值的移位的疊加: = 解 (3) 當L=10時根據(jù)上圖可求得: 解 (4) 使卷積與圓周卷積結果相同的最小長度分別為兩參與運 算的序列長度。4.17 已知兩個有限長序列,分別用卷積與DFT兩種方法求解。解法一 直接卷積和: 解法二 用DFT計算: 類似可求得 4.18 若(1) 求頻率特性,作出幅頻特性草圖;(2) 求DFT的閉式表達式。解 (1) 解 (2) 第五章習題解答5.1 根據(jù)定義求下列信號的單邊拉普拉斯變換,并注意比較所得結果。(1) 為任意值解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 由(1)(3); (4)(5) 之間的比較知,在時具有相同函數(shù)形式的兩個不同時域函
22、數(shù),具有相同的單邊拉普拉斯變換。5.2 求下列信號的單邊拉普拉斯變換。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 (7) 解 (8) 解 (9) 解 (10) ()解 5.3 已知的拉普拉斯變換為,求下列信號的拉普拉斯變換。(1) 解 (2) 解 , (3) 解 (4) 解 ,5.4 求下列信號的拉普拉斯逆變換。(1) 解 (2) 解 (3) 解 ;(4) 解 ;(5) 解 ,(6) 解 , (7) 解 (8) 解 5.5 求下列函數(shù)拉普拉斯逆變換的初值和終值。(1) 解 (2) 解 5.6 比例積分器的電路如題圖5.6所示,輸入信號分別為以下二種情況時,求輸出信號
23、,并畫出其波形草圖。(1) (2) 解 (1) 波形參見右圖.解(2) 5.7 某一LTI系統(tǒng)的微分方程為:系統(tǒng)的初始條件為 ,激勵信號,試求:(1) 沖激響應;(2) 零輸入響應,零狀態(tài)響應及全響應;(3) 用初值定理求全響應的初值;(4) 用初值定理求零狀態(tài)響應的初值。解 (1) 解(2) 對原方程二邊進行拉普拉斯變換得: 解 (3) 解 (4) 5.8 在題圖5.8所示電路中,以前開關S位于“1”端,已進入穩(wěn)定狀態(tài)。時,開關從“1”倒向“2”,求。解 由題意知 根據(jù)電路可列出時的微分方程為: 整理得 設 ,方程二邊進行拉普拉斯變換得: 5.9 求題圖5.9所示電路的傳輸函數(shù)。(1) 題圖
24、5.9(a)(2) 題圖5.9(b)解(1) 設一中間參量,參見圖),根據(jù)極點電壓法可立方程如下 由第2個方程解得 ,代入第1個方程得 解(2) 設置中間參量(參見圖b),根據(jù)電路可立方程: 整理得: , 5.10 用復頻域等效模型法求解題5.8。解 復頻域等效模型參見下圖。根據(jù)電路可立方程: ()5.11 已知傳輸函數(shù)的零極點分布如題圖5.11所示,并知,試寫出的表示式,并說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 根據(jù)零極點分布圖可知: 又由,可確定。由于所有極點均位于左半平面,所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。5.12 求下列信號的單邊變換,并注明收斂域。(1) 解 (2) 解 (3) ()解 (4) 解(5) 解 (6) 解 (7) 解 5.13 求下列的逆變換。(1) 解 (2) 解 (3) 解 5.14 利用卷積定理求。(1) , 解 ; (2) , 解 ; 5.15 用單邊變換求解差分方程,解 方程兩邊取變換,并考慮初始條件得: 整理得: 5.16 系統(tǒng)結構如題圖5.16所示(1) 求該系統(tǒng)的單位沖激響應; (
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