大學線性代數考試模擬試題答案1,精品資料

1、學期：2005至2006學年度第 二學期線性代數得分x aa(io 分)計算行列式2? = f. . 二f.a axXa-xa x-aa0D尸a-x0x-a? ? ? ? ? ? ?a-x00解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得?Dn=x+(n-V)a 0aa? ? ? ijx-a0? ? ?J0x-a? ? ? J0=x+(n-)a(x-a" 0000 x-a8分1 0分 的逆陣(10分)得分求矩陣設人=3<8 3Q2丿0000.5J25 8< k-I B2 n5 2zf kK-4OO3U>0OO52O/!-_2 3 0 05 8設

2、四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,己知彳，彳，處是它的三個解向量且7= (2, 3, 4, 5)：帀汁少=(1, 2, 3, 4)；求該方程組的通解.(12分) 解: 由于方程組中未知數的個數是 4,系數矩陣的秩為3,所以對應的齊次線性方程組的基礎解 系含有 一個向量,且由于處,處均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結構性質得2 | 一(帀 2+帀 3)=(帀 1 一帀 2)+ (帀卜 “3)為其基礎解系向量(3, 4,5, 6) r10分故此方程組的通解為:x=k(3,4, 5, 6 卩 +(2, 3, 4, 5):伙 wR)C知RF勺兩個基為12分得分3= (1, 1, 1)： =

3、 (1, 0, 一 1)： 33= (1, 0, 1)1 &= (1, 2, 1)： 3)r.求由基列弧幺到基加厶的過渡矩陣尺(12分)Z>2= (2, 3, 4):Z>3= (3, 4,q 1 P(4,禺,。3)=(弓，02，?)1 0 0(勺，侖2,侖3)仃 1 1Y1=1,。2, “3 10 0'lli 1 丿1于是(方 1, 3) = ("1, *2,勺)2 3U 4角由基設切如紹 到是三維單位坐標過渡矩陣測'I -1 13、ri 1 1、一 1(12 3)4=(4衛(wèi)2衛(wèi)3)1 0 02 3 43,1 11(14 3丿得分二fl 1 1、1

4、 0 0(1-1 1'五、-1<1 2 3)2 3 4<2 3 4)0-10J 4 3:O<-1°設丿12<2 1 1 1、/ 1 2A2解B=1 A 1 A0 A-l1 22(1-A)J 1 2 A2；(° 0(l-2)(2+2) (1-2)(Z+1) 27R(A) =3.因此當冷1且冷-2時方程組有唯一解一 ？9分(3)有無窮多解？ (15分)? 6分 +冷+馮=1V X1+AX2+A3=2問2為何值時，此方程組 (1)有唯一解(2)無解 卯+%+加3=/12要使方程組有唯一解，必須(2)要使方程組無解，必須R(A)<R(B),故(

5、1 一 2)(2+/1)=0, (1-2)(24-1 )鉛 0.因此當2=1時，方程組有無窮多個解. 15分1): (2,1, 0); (1,4, l)r是線性相關還是線性無關；(2)試用施密特法把向量組佝宀孔)(3)要使方程組有有無窮多個解，必須R(A)=R(B)<3,故(1 一 2)(2+/1)=0, (1 -2)(2+1 )2=0.正交化(16分)解：以所得分量為列向量的矩陣記為向量組因為3,a= <-3 2 4、j 1 1 丿(0 2 2 丿<-1 2 1)0 1 13 00丿(2)根據施密特正交化方法，所以R(A)=2小于向量的個數，從而所給向量組線性相關b、 =a

6、)= 1 h 久如丹婦他丹一1 C7七、 得分| 己知3階矩陣A的特征值為-1,2,3,求卜3-5屮+7斗(10分)解令僅兄)=,_5才+7入 .2分則處1)=13,僅2)=2,僅3)=3是僅A)的特征值， 6分故 |A3-5AMA|=|aA)|=a1)-a2)八3)=-13x2x3=-78-10分八、得分求一個正交變換將二次型 f(x X2X3)= 2x 2 +3X22 +3X32 +4吃兀3化成標準形(15分)=(2-2)(5-2)(1-A)解二次型的矩陣為人=O3得A的特征值為入=2,兄2=5，兄3=1當入=2時，解方程(A-2E)x=A由fO 0 0)<0A-2E= 012(0 2 1 丿得特征向量(1,0, 0/.取刃=(1,0,0)"當走=5時，解方程(A-5E)*0,由l丿OA-5E=OOO得特征向量(0, 1, 1/.取卩2