高數(shù)第一章08W

1、任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類第一篇高等數(shù)學(xué)預(yù)備概述一、研究對象：二、研究方法：三、內(nèi)容框架：函 數(shù)極 限6任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復(fù)習(xí)及必做試題導(dǎo)數(shù)中值定理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)微一元微分學(xué)（研究對象）分微分偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用微微學(xué)多元微分學(xué)分積全微分不定積分方分積一元積分學(xué)程學(xué)定積分分重積分（微積分派生）極限學(xué)多元積分學(xué) 曲線積分曲面積分（研究方法）無窮級數(shù)（極限派生）第一章函數(shù)極限連續(xù) 1.1 函數(shù)一 、考綱要求：1 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式2了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性3理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念4掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)

2、及其圖形，了解初等函數(shù)的概念二 、考點(diǎn)概述與解讀：（一）函數(shù)的概念1、定義：稱映射 f : DR 為一個(gè)函數(shù)（其中 DRn ）。注 1：此定義涵蓋了微積分中的所有函數(shù)的概念：1o 當(dāng) n1時(shí)，為一元函數(shù)2o 當(dāng) n 2 時(shí)，為多元函數(shù)； 3o 當(dāng) DN 時(shí)，為數(shù)列注 2：函數(shù)為一個(gè)特殊的映射，應(yīng)深刻領(lǐng)會映射定義中的三層含義（原象的任意性，象的存在性，象的唯一性）2、函數(shù)的二要素：1 定義域； 2對應(yīng)法則注 1：二要素的用途： 1 函數(shù)與符號無關(guān)； 2 用于判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)。注 2：定義域是集合， 不要寫成不等式 （最好將其寫成區(qū)間或區(qū)間的并） 。7任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類

3、3、函數(shù)的表示法：列表法；1解析法； 23 圖像法注： 函數(shù)與曲線并非一一對應(yīng)（二）常見的函數(shù)形式1、顯函數(shù)： yf ( x)注：分段函數(shù)是顯函數(shù) （并且是一個(gè)函數(shù)， 而不是多個(gè)函數(shù)）2、隱函數(shù)： F ( x, y)0yf ( x)注 1：相關(guān)結(jié)論（隱函數(shù)存在定理）：設(shè) F ( X , y) 在點(diǎn) P0 ( X 0 , y0 ) 的某領(lǐng)域具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且 f ( X 0 , y0 )0 ，F(xiàn) y ( X 0 , y0 )0 ，則方程 F ( X , y)0在 P0的某領(lǐng)域內(nèi)恒能確定唯一的一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）的函數(shù)yf ( X ) ，使之滿足 y0f ( X 0 )注 2：相關(guān)方法（

4、隱函數(shù)求導(dǎo)法）：在方程兩邊求導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）。3、復(fù)合函數(shù)： yf (u) ，u(x)yf ( x) ，注： 并非在意兩個(gè)函數(shù)能復(fù)合出一個(gè)復(fù)合函數(shù)，能復(fù)合充要條件是D fR，具體判斷時(shí)，可以u( x) 強(qiáng)行代入 yf (u) 得到 yf (x) ，再看其定義域是否為空集， 若空，則不能復(fù)合； 若非空，則可以復(fù)合。4、反函數(shù)： yf (x) 的逆映射 （即 yf (x)xf 1( y)yf 1 (x) ）注：并非任意一個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)yf ( x) 一一對應(yīng)時(shí)才有反函數(shù)。相關(guān)結(jié)論 （反函數(shù)存在定理） ：若 yf ( x) 連續(xù)，單增（減） ，則其反函數(shù)存在，且連續(xù)、單增（減）。結(jié)論：

5、yf ( x) 與反函數(shù) yf1 ( x) 在 oxy 坐標(biāo)系中的圖像關(guān)于y x 對稱。注：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)，5、極限函數(shù)： f ( x)lim F (x, t)（其結(jié)果只與x 有關(guān)而與 t 無關(guān)）。x注：在研究極限函數(shù)時(shí)， 應(yīng)分清誰是極限變量誰是函數(shù)的自變量。6、導(dǎo)函數(shù)： yf (x)相關(guān)結(jié)論：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。1有限區(qū)間上可導(dǎo)的無界函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定是無界函數(shù)。2注： Df Df （在做題過程中， 一定要注意避免導(dǎo)函數(shù)定義域的擴(kuò)大） 。7、積分函數(shù)： F ( x)( x)2 ( x)f ( x,t )dtaf

6、(t) dt；G( x)1 ( x)相關(guān)結(jié)論：f ( x) a,bxf (t) dt 在 a,b若在a上連續(xù)1上可積，則8任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復(fù)習(xí)及必做試題若 f ( x) 在 a, b 連續(xù)，則 F (x)xf (t )dt 在區(qū)間 a, b 中可導(dǎo)，且a2dxf ( x)（使用條件： 10f (t) 中不含有 x ，20f (t) 連續(xù)）f (t)dtdxa( x) 在 a,b 可導(dǎo)，則 d推論：若 f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，( x)f ( x) (x)f (t)dtdx a8、和函數(shù)： S( x)f n ( x)n 1注：和函數(shù)的定義域未必是存在域，一般應(yīng)等于其收斂域。9、參數(shù)方

7、程：x(t )，（ t 為參數(shù)）y(t)相關(guān)方法（參數(shù)方程求導(dǎo)法） ：dy(t )dt(t)dx (t)dt(t)用途： 多用與計(jì)算曲線、曲面積分。10、極坐標(biāo)方程：rr ()（ 或() ）xr cosrx 2y 2結(jié)論（直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)的關(guān)系）；：yyrnisa r c t a nfxydxyf rrx相關(guān)結(jié)論 （計(jì)算二重積分） ：dr( ,)(cos ,sin)DD注：滿足下列兩個(gè)條件之一時(shí)，一般應(yīng)考慮用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分：被積函數(shù)只與 x 2y 2（或 y / x ）有關(guān)。1 積分區(qū)域是圓域 （或圓域的一部分） ； 2（三）一元函數(shù)的幾何性質(zhì)1、單調(diào)性： 1 若x, x2(a,b) ，

8、當(dāng) x1x時(shí)，有 f ( x)f ( x)（或 f ( x )f ( x) ），121212則稱f ( x) 在 (a,b) 上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減） 。2 若x1 , x2(a, b) ，當(dāng) x1x2 時(shí)，有 f ( x1)f (x2 ) （或 f ( x1 )f (x2 ) ）則稱 f ( x) 在 (a,b) 上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）判定方法：1 作差與 0 比較（或作商與1比較）； 2使用下述相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論： 10可導(dǎo)函數(shù) f ( x) 單調(diào)不減（不增）的充要條件是f ( x)0（ f ( x)0 ）20可導(dǎo)函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞增（遞減）的充要條件是：f (x)0（ f (x)

9、0 ）且使 f ( x)0的 x 為孤立點(diǎn)。若存在常數(shù) M ，使 f ( x)M，（ xD ），則稱 f ( x) 有上界2、有界性： 19任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類若存在常數(shù)m，使 f ( x) M ，（ x D ），則稱 f ( x) 有下界2若 f (x) 既有上界又有下界， 則稱 f ( x) 有界3結(jié)論： f ( x) 有界的充要條件為：常數(shù) M ，使 f ( x)M相關(guān)結(jié)論： 10閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界 （有界性定理）20函數(shù)有極限局部有界30有界是可積的必要條件3、奇偶性： 若f (x)f ( x) ，則稱 f (x) 為奇函數(shù)；若f (x) f (x) ，則稱 f

10、 ( x) 為偶函數(shù)。注：奇函數(shù)（偶函數(shù)）的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱y 軸對稱結(jié)論： 1 奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于2 奇函數(shù)與偶函數(shù)乘積為奇函數(shù)；奇函數(shù)與奇函數(shù)， 偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為偶函數(shù)a,a) 上有定義的任一函數(shù)， 一定可表示為一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)之和。3 在 (注： f ( x)f (x) 為奇函數(shù)；f ( x)f (x) 為偶函數(shù)相關(guān)結(jié)論： 10若 f (x) 為可積的奇函數(shù)， 則af (x)dx 0a20若 f ( x) 為可積的偶函數(shù)， 則aaf ( x)dx 2f (x)dxa030aaf ( x)dx若 f ( x) 為一般的可積函數(shù)， 則 f (x)dx f (

11、 x)a04、周期性： 若T0 ，使 f ( xT )f ( x) ，則稱 f ( x) 是以 T 為周期的周期函數(shù)。結(jié)論： 若 T 為 f ( x) 的周期，那么 kT 也是 f ( x) 的周期（ k 0 ）注： 周期函數(shù)未必有最小正周期相關(guān)結(jié)論： 10可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是周期函數(shù)，且周期不變，20a TTf ( x)dx若 f ( x) 以 T 為周期的連續(xù)函數(shù)， 則f ( x)dxa05、漸近性：10水平漸近線： 若 limf ( x)c1 ，則 y c1 ，此為 f ( x) 的一條水平漸近線。x若 limf ( x)c2 ，則稱 yc2 為 f ( x) 的一條水平漸近線x

12、注： 同一函數(shù)的水平漸近線最多有2 條20垂直漸近線： 若 lim f ( x)，則稱 xx0 是 f (x) 的一條垂直漸近線x x0若 limf ( x)，則稱 xx0 為 f (x) 的一條垂直漸近線x x0注：垂直漸近線可能有無窮多條，求垂直漸近線實(shí)質(zhì)上是考查f ( x) 的無窮間斷點(diǎn)。10任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復(fù)習(xí)及必做試題30 斜漸近線：1若 limf ( x)a ，（ a0 ）且 lim f ( x) axb ，xxx則 yaxb 是 f ( x) 的一條斜漸近線；2若 limf ( x)a ，（ a0 ）且 lim f ( x)axb ，xxx則 yaxb 是 f ( x) 的一

13、條斜漸近線；注：斜漸近線最多有兩條；并且如果在（或）方向有水平漸近線，那么在該方向就不會有斜漸近線。 （即： 同一函數(shù)的水平漸近線和斜漸近線最多有2 條）6、凹凸性： 若曲線 yf ( x) 上任意一點(diǎn)的切線都在該曲線的下（上）方，則稱 yf (x)是凹（凸）曲線相關(guān)結(jié)論： 若 f ( x)0 ，（ x( a, b) ），則 f ( x) 在 (a, b) 為凹（下凹 /上凸）的；若 f ( x)0 ，（ x( a, b) ），則 f ( x) 在 (a, b)為凸（上凹 /下凸）的。（四）初等函數(shù)及其性質(zhì)：1、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)：（ 1）常函數(shù)：yc ， D(,)性質(zhì)： 10不增不減；2

14、0 有界； f ( x)ccM ；30偶函數(shù)； 40 是周期函數(shù)；50只有一條水平漸近線y c ；60沒有凹凸性（ 2）冪函數(shù)：yx（R ）注： 10定義域與有關(guān)，2 0性質(zhì)一般也與有關(guān)（ 3）指數(shù)函數(shù)： ya x（ a0 且 a1 ）（ xR ）（ y0 ）（ 4）對數(shù)函數(shù)： ylog ax（ a0 且 a1 ）（ x0 ）（ yR ）（ 5）三角函數(shù)： 10正弦函數(shù)： ysin x ； 20余弦函數(shù)： y cos x ；30正切函數(shù)： ytan x ， 40余切函數(shù)： ycot x ；50正割函數(shù)： ysecx60 余割函數(shù)： ycscx（ 6）反三角函數(shù)： 10反正弦函數(shù) yarcsin

15、 x ，2, ；220 反余弦函數(shù)：30 反正切函數(shù)：yarccosx ， 0,yarctan x ， (,)2240 反余切函數(shù)：yarc cot x ， (0,)注 1：反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)（例：yarcsin x 不是 ysin x 的反函數(shù)）注 2：必須嚴(yán)格屬于上述六類函數(shù)之一， 才是屬于基本初等函數(shù) x11任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類2、初等函數(shù)及其性質(zhì)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的，并能用一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)為初等函數(shù)。注： 10 分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是20 基本初等運(yùn)算經(jīng)過無窮次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)可能是初等函數(shù)也xnx是初

16、等函數(shù)，xn可能不是（例：e不是初等函數(shù)）n 0 n!n 0相關(guān)結(jié)論： 初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)（即間斷點(diǎn)一定不在定義域內(nèi)）（五）常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)1、需求函數(shù)：2、供給函數(shù)：3、收益函數(shù)：4、成本函數(shù)：5、利潤函數(shù)：6、平均收益：Q Q( P) （ Q 為需求量， P 為價(jià)格 ）Q Q( P) （ Q 為供給量， P 為價(jià)格 ）RR(Q)P Q（ R 為收益， Q 為產(chǎn)量， P 為價(jià)格）CC(Q)C0 C1(Q)（ C0C (0) 為固定成本， C1 (Q) 為可變成本）LL(Q) R(Q)C(Q)RR(Q)； 7、平均成本： CC(Q)L(Q)QQ； 8、平均利潤： LQ（六）常見的物理函

17、數(shù)1、牛頓第二定律：F m a ；2、功： WF s、液體側(cè)壓力： Pg h s ；、引力： fG m1 m234r 2三 、實(shí)用題型及例題歸類：題型一關(guān)于函數(shù)符號的使用1 . 90-1設(shè)函數(shù) f ( x)1,x1= _1_ 0,x, 則 f f ( x)12 . 01-11,x1則 f f f (x)(B)設(shè) f (x)x,等于0,1（ A ）0； （ B ）1； （ C） f ( x)1,x10,x10,x1（ D） f (x)x11,3 . 92-3x2 ,x0,，則(D)設(shè) f (x)x, x0.x2(A)x2 ,x 0,(B)(x 2x), x0,f ( x)x), x0.f ( x

18、)x0.( x2x 2 ,12任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復(fù)習(xí)及必做試題(C)f ( x)x 2 ,x0,(D)f (x)x2x, x0,x2x, x0.x2 ,x0.4 . 97-2設(shè) g( x)2x,x0f ( x)x2 ,x0則 g f (x)(D)x2,x,x,x00(A)2x 2x0(B)2x2x02xx02xx0(C)2x2x0(D)2x 2x02xx02xx05 . 88-1 、 2、 3已知 f ( x)x2( x)1 x 及( x)0， 求( x) 并寫出它的e， f定義域。 【 答： ( x)ln(1x) ；(，0】6 . 92-5設(shè) f (x)sin x, f ( x) 1x 2

19、 , 則 ( x)arcsin(1x 2 )；其定義域?yàn)?， 27.95-3設(shè) f (x 21)ln【 答：2ln( x1) xc8.00-2ln 1設(shè) f ln xx9.02-3 、 4設(shè) f (sin 2x)【 答：21x arcsinx2，且 f ( x)ln x ，求(x)dxx22】x, 計(jì)算fx dx .【 答： x(1 ex ) ln(1 ex ) c 】x，求xsin x1f ( x)dx.xx2xc】10 . 03-2 已知 yx是微分方程 yy( x ) 的解，則( x ) 的表達(dá)式為（ A ）ln xxyyy 2y 2x 2x2（A ）（ B）（ C）（ D）x 2x 2

20、y 2y211 . 武鋼院 1980xx1 cos x。設(shè) f (sin ) cos x1 ，則 f (cos )2212. 合肥工大 1981 設(shè) f (x1 )x21，求 f ( x) 。 【 答： x22xx213. 奧賽 1984 設(shè) af ( x) bf (1)c , (a 2b2 ) 求 f (x) ，并證明 f ( x)xx】為奇函數(shù)。13任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類【 答：1acbbcxa 22x14 . 上交大 1985設(shè) f ( x) 在 (則 f (1985) =1 。】,) 有定義且f ( x)0 ，f ( xy)f (x) f ( y) .15 .ycos x

21、 ( x - ,0 )的反函數(shù)為yarccos(x)16 .04-2設(shè)函數(shù) f (x) 在（,）上有定義 , 在區(qū)間 0,2 上 , f (x)x( x24) ，若對任意的 x 都滿足 f ( x) k f ( x2) ,其中 k 為常數(shù) .寫出 f (x) 在 2,0 上的表達(dá)式 ;【 答 ： f ( x)kx( x2)( x4)】12x2 , x1,17 .96-3設(shè)函數(shù)f ( x)x3 ,1 x2, 寫出 f ( x) 的反函數(shù) g(x) 的表達(dá)式；12 x16,x2.1x ,x12【 答 ： g(x)3 x ,1 x 8】x 1612,x8題型二關(guān)于函數(shù)的幾何特性1.87-3f (x)

22、x sin x ecos x ,-x是（ D）（ A ）有界函數(shù)（ B ）單調(diào)函數(shù)（ C）周期函數(shù)（D ）偶函數(shù)2.90-4 、5 設(shè)函數(shù) f ( x)xtgxesin x ，則 f ( x) 是（ B）（ A ）偶函數(shù)(B)無界函數(shù)(C) 周期函數(shù)(D) 單調(diào)函數(shù)3.04-3 、4 函數(shù) f ( x)| x | sin( x2)2 在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界(A)1)( x2)x( x(A)( 1,0).(B)(0 , 1).(C) (1 , 2).(D)(2 , 3).4.05-3 、4 以下四個(gè)命題中， 正確的是(C)(A) 若 f ( x) 在 (0，1)內(nèi)連續(xù)，則 f (x) 在 (0，1

23、) 內(nèi)有界(B) 若 f (x) 在 (0，1)內(nèi)連續(xù)，則 f ( x) 在 (0，1)內(nèi)有界(C) 若 f ( x) 在 (0，1)內(nèi)有界，則 f (x) 在 (0，1)內(nèi)有界(D) 若 f (x) 在 (0， 1)內(nèi)有界，則f ( x) 在 (0， 1)內(nèi)有界5.99-1 、2、3、4 設(shè) f (x) 是連續(xù)函數(shù)， F(x) 是 f (x) 的原函數(shù)， 則(A)(A)當(dāng) f (x)是奇函數(shù)時(shí)， F(x)必是偶函數(shù)14任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復(fù)習(xí)及必做試題(B) 當(dāng) f (x) 是偶函數(shù)時(shí)， F(x) 必是奇函數(shù)(C) 當(dāng) f (x) 是是周期函數(shù)時(shí)， F(x) 必是周期函數(shù)(D) 當(dāng) f (x

24、) 是單調(diào)增函數(shù)時(shí)， F(x) 必是單調(diào)增函數(shù)。6.05-1 、2設(shè) F (x) 是連續(xù)函數(shù)f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)， MN 表示 “ M 的充分必要條件是 N ”，則必有(A)(A) F ( x) 是偶函數(shù)f (x) 是奇函數(shù)(B) F (x) 是奇函數(shù)f ( x) 是偶函數(shù) .(C) F ( x) 是周期函數(shù)f (x) 是周期函數(shù)(D) F (x) 是單調(diào)函數(shù)f (x) 是單調(diào)函數(shù)7.02-2 、3設(shè)函數(shù) f (x)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是（ D）xxxx（ A ） f (t 2 )dt （ B） f 2 (t)dt （C） t f(t ) f ( t )dt（D ） t f (

25、t )f ( t )dt000006-2 設(shè) f ( x) 奇函數(shù)，除 x0 外處處連續(xù) , x0 是其第一類間斷點(diǎn)xt dt 是 B 8.,則 f0(A)連續(xù)的奇函數(shù) .（ B ）連續(xù)的偶函數(shù) .(C)在 x0間斷的奇函數(shù) .(D) 在 x0間斷的偶函數(shù)9.01-1 、2設(shè)函數(shù) f (x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)， y = f (x) 的圖形如圖所示，則導(dǎo)函數(shù) y = f (x) 的圖形為（ D ）10. 03-1 、2 設(shè)函數(shù)f ( x) 在 (,) 內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則 f (x) 有（ C）(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩

26、個(gè)極大值點(diǎn)(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)11. 00-1 、2設(shè) ?(x)? g(x) 是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù), 且f (x) g( x)f ( x) g ( x)0 , 則當(dāng) a x b 時(shí) , 有(A)(A)f ( x) g(b)f (b) g (x)(B)f ( x) g(a)f (a) g(x)15任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類(C)f ( x) g( x)f (b) g(b)(D)f ( x) g( x)f (a)g (a)12. 01-2 已知函數(shù)f (x) 在區(qū)間（ 1-， 1+）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f ( x) 嚴(yán)格單調(diào)減少，且 f (1)f (1)1，則（ A ）(A)

27、在（ 1-， 1）和（ 1， 1+）內(nèi)均有 f (x) x ；(C) 在（ 1-， 1）內(nèi)， f (x) x ；(D) 在（ 1-，1）內(nèi)，f (x) x ，在（ 1，1+）內(nèi)，f (x) f (0) .(D)對任意的 x( ,0) 有 f (x) f (0)14.設(shè) f ( x) 是以 3 為周期的奇函數(shù)，且f (1) 2，則 f (10) =-215.清華 1982設(shè)奇函數(shù) f (x) 滿足 f (1)a, f (x 2)f ( x)f ( 2) 。（ 1）試用 a 表示 f (2)和 f (5)；（ 2）問 a 為何值時(shí)， f ( x) 以 2 為周期【 答 ：（ 1） f (2)2a，

28、 f (5)5a；（ 2） a 0 】x216（.08-1）設(shè)函數(shù) f xln2t dt ，則 fx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （B ）0A 0B 1C2D317.函數(shù) fx, yarctan x 在點(diǎn)0,1 處的梯度等于 （ A）yAiBiCjDj題型三利用初等函數(shù)判斷連續(xù)性1.87-4下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的是(A)（ A ）f (x) lg xs i nx（ B ） f (x)sin xx0cosxx0x1x010（ C） f ( x)0x0（ D） f (x)xxx1x00 x02. 98-3、4設(shè)函數(shù) f (x)1x( B)lim2n ,討論函數(shù) f (x) 的間斷點(diǎn) ,其結(jié)論為n1x(A)不

29、存在間斷點(diǎn) .(B) 存在間斷點(diǎn) x = 1(C)存在間斷點(diǎn) x = 0(D) 存在間斷點(diǎn) x = -116任家錄：高等數(shù)數(shù)考試復(fù)習(xí)及必做試題3.04-2 設(shè) f (x)lim ( n21)x , 則 f ( x) 的間斷點(diǎn)為 x0nnx14.下列函數(shù)為初等函數(shù)的是（ D）（ A ） y sgn x（ B） yD (x)（C） y x（ D） y xx 1.2 極限一 、考綱要求：1理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系 .2掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則3掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則， 并會利用它們求極限， 掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法4理解無窮小量

30、、 無窮大量的概念， 掌握無窮小量的比較方法，會用等價(jià)無窮小量求極限二 、考點(diǎn)概述與解讀：（一）極限的概念1、簡述：在自變量的某一些變化過程中，函數(shù) ( 包括數(shù)列 ) 變化的最終趨勢叫函數(shù)的極限注 1：不能離開自變量的變化過程談函數(shù)的極限注 2：極限是函數(shù)的極限， 沒有函數(shù)就沒有談極限2、定義：定義 1： 對于數(shù)列 an，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若0 ， N ，使當(dāng) nN 時(shí)，有an A，則稱 在 n時(shí)， an 以 A 為極限，記作 lim anAn定義 2： 對于函數(shù) yf ( x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若0，X ，使 xX 時(shí)，有 f (x)A，則稱 limf ( x) Ax定義 3： 對于

31、函數(shù) yf ( x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若0，X1 使當(dāng) xX1 時(shí)，有 f (x)A，則稱 limf ( x) Ax定義 4： 對于函數(shù) yf ( x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若0，X 2 使 xX2 時(shí)，有 f (x)A，則稱 limf ( x) Ax定義 5： 對于函數(shù) yf (x) ， A 為一個(gè)常數(shù)，0，使當(dāng) 0xx0時(shí)，有f ( x)A，則稱 lim f (x) Ax x017任家錄：高等數(shù) 學(xué)考研復(fù)習(xí)及試題分類定義6：對于函數(shù) f ( x) ， A 為一個(gè)常數(shù)，0，當(dāng) x( x0 , x0) 時(shí)，有 f ( x)A，則稱 lim f ( x)Ax x0定義7：對于函數(shù) f (

32、 x) ， A 為一個(gè)常數(shù)，0，當(dāng) x( x0, x0 ) 時(shí)，有 f ( x)A，則稱 lim f ( x)Ax x0結(jié)論： lim f ( x)A 成立的充要條件是： lim f ( x)A 且 lim f (x) Axxx注： xx0 的意思是， x 與 x0 很近（要多近有多近） ，但不等于 x03、極限的幾何意義： （以 limf ( x) A 為例）在 x0 附近的 y 值全部落在寬為 2的帶內(nèi)x x04、與極限相關(guān)的內(nèi)容：漸近線、 連續(xù)、 導(dǎo)數(shù)、微分、 定積分、 偏導(dǎo)數(shù)、 全微分、多元微分、 方向?qū)?shù)、二重積分、曲線 /曲面積分，無窮級數(shù)、廣義積分（二）極限的性質(zhì)1、唯一性定理：若 lim f ( x) 存在，則其極限值唯一（自變量的變化過程不可變）x2、局部有界性定理： 若 limf ( x) 存在，則 f ( x) 在局部有界x3、局部保號性定理：若 f (x)0 在局部成立，且 lim f (x) 存在，則 lim f ( x)0lim( )