圓錐曲線常見題型及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 圓錐曲線常見題型歸納一、基礎(chǔ)題 涉及圓錐曲線的基本概念、幾何性質(zhì)，如求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求準(zhǔn)線或漸近線方程，求頂點(diǎn)或焦點(diǎn)坐標(biāo)，求與有關(guān)的值，求與焦半徑或長(zhǎng)（短）軸或?qū)崳ㄌ摚┹S有關(guān)的角和三角形面積。此類題在考試中最常見，解此類題應(yīng)注意：（1）熟練掌握?qǐng)A錐曲線的圖形結(jié)構(gòu)，充分利用圖形來解題；注意離心率與曲線形狀的關(guān)系；（2）如未指明焦點(diǎn)位置，應(yīng)考慮焦點(diǎn)在軸和軸的兩種（或四種）情況；（3）注意，的區(qū)別及其幾何背景、出現(xiàn)位置的不同，橢圓中，雙曲線中，離心率，準(zhǔn)線方程；例題： （1）已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是 （ ）A B C D（答：C）；（

2、2）方程表示的曲線是_ （答：雙曲線的左支）（3）已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_ （答：2）（4）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_ （答：）； （5）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_（答：）；（6）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點(diǎn)，則C的方程為_（答：）二、定義題 對(duì)圓錐曲線的兩個(gè)定義的考查，與動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離（焦半徑）和動(dòng)點(diǎn)到定直線（準(zhǔn)線）的距離有關(guān)，有時(shí)要用到圓的幾何性質(zhì)。此類題常用平面幾何的方法來解決，需要對(duì)圓錐曲線的（兩個(gè)）定義有深入、細(xì)致、全面的理解和掌握。常用到的平面幾何知識(shí)有：中垂線、角平分線的性

3、質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解三角形（正弦余弦定理、三角形面積公式），當(dāng)條件是用向量的形式給出時(shí)，應(yīng)由向量的幾何形式而用平面幾何知識(shí)；涉及圓的解析幾何題多用平面幾何方法處理；圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1） 橢圓（以（）為例）：范圍：； 焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2； 準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。例：（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_（答：）（2） 雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：

4、兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 兩條漸近線：。離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；例：（3）雙曲線的漸近線方程為y=±3x/4,則雙曲線的離心率為_ （4）雙曲線的離心率為，則=（答：4或）； （5）設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)

5、線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。 （4）點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外； 2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)例：（6）設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_（答：）；（7）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：）；（8）已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于_；（9）若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_（答：）；（10）點(diǎn)P在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_（答：）；三、直線與圓錐曲線的關(guān)系題 （1）寫直線方程時(shí)，先考慮斜率存在，把直線方程設(shè)為的形式，但隨后應(yīng)對(duì)斜率不存在的情況作出

6、相應(yīng)說明，因?yàn)椴淮嬖诘那闆r很特殊，一般是驗(yàn)證前面的結(jié)論此時(shí)是否成立；（2）聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消去或消去，得到方程 或 ，此方程是后一切計(jì)算的基礎(chǔ)，應(yīng)確保不出錯(cuò)。（3）當(dāng)方程或的二次項(xiàng)系數(shù)時(shí),方程是一次方程，只有唯一解，不能用判別式，這種情況是直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行；（過拋物線外一點(diǎn)作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條， 過雙曲線含中心的區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)（不在漸近線上）作與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條；）（4）當(dāng)方程或的二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，判別式、，與之相對(duì)應(yīng)的是，直線與圓錐曲線分別相離、相切、相交。如直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)，應(yīng)用來求斜率的范圍；例題：（1）過點(diǎn)作直

7、線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_（答：2）； （2）過點(diǎn)(0,2)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_（答：）；（3）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）； （4）過雙曲線的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）；（5）直線與圓錐曲線相交成弦（前提，），記為，其中，的坐標(biāo)可由方程或求得，一般是由方程求出，再代入直線方程求，或由方程求出，再代入直線方程求。（6）涉及弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理，由方程 求出，在直線上，,。 請(qǐng)注意，如果聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去，得到 ，繼而用韋達(dá)定理，求出，,；（6）若

8、拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)（7） 涉及弦中點(diǎn)問題，可用韋達(dá)定理，由方程 求出，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)也在直線上，。如果問題僅僅與弦中點(diǎn)和弦的斜率有關(guān)，而不涉及弦長(zhǎng)，則可把弦的坐標(biāo)，直接代入曲線方程，然后相減，因式分解，所得的式子中只有、，這些都與弦中點(diǎn)坐標(biāo)和弦的斜率有關(guān)。（點(diǎn)差法）（8）弦滿足有關(guān)的向量的條件，如（為原點(diǎn)），則， ，.又如過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！例：（1）拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦

9、點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為_（答：2）；（2）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（3）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）；（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。如（4）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線方程為_（答：）（5）經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|（2）求三角形的周長(zhǎng)，（F1是左焦點(diǎn)）（6）已知拋物線與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：（2）當(dāng)

10、，求k的值。（7）已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn),已知點(diǎn) ， 求證：為定值. 解: 將代入中得 ， ，所以 。（8）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。四、關(guān)于圓錐曲線的最值（1）圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的最值。設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式表示距離，利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓錐曲線方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函數(shù)，因?yàn)椋ɑ颍┯幸粋€(gè)取值范圍（閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間），所以問題轉(zhuǎn)化為：求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。有時(shí)須針對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。（2）圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到一條定直線的距離的最值。作圓錐曲線與定直線平行的切線，切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，

11、切線與定直線的距離即為所求最值。例：（1）橢圓x2/3+y2=1上的點(diǎn)到直線x-y+4=0的最短距離；五、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；注意：不重合的兩條直線與，的法向量為：，方向向量為，且；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。（2）線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物

12、線，則此拋物線方程為（答：）；定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（答：）；（4）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_ （答：）；(5) 一動(dòng)圓與兩圓M：和N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（答：雙曲線的一支）；代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；(6)動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_（答：）；（7）

13、AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MNAB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡。（答：）；（8）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是_（答：）；（9）過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是_（答：）；（14全國卷）20.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.20.（本小題滿分12分）解：（）設(shè)，由條件知，得，又，所以故的方程為5分（）當(dāng)軸時(shí)不合題意，故設(shè)，將代入得當(dāng)，即時(shí)，從而又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積9分設(shè)，

14、則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且滿足所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為或12分答案一：1.C 2.雙曲線的左支3y=x2/4 即x2=4y焦點(diǎn)F為（0,1）準(zhǔn)線：y=-1過點(diǎn)P作PMy=-1于MPM=PFy+|PQ|=PM+|PQ|-1=PF+|PQ|-1當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)PF+|PQ|最小（PF+|PQ|）min=（22）2+1=3（y+|PQ|）min=（PF+|PQ|-1）min=3-1=24.）； 5.； 6.二：1. 3或 2.設(shè)焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓上的一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,底邊長(zhǎng)為2c,面積最大時(shí),底邊上的高最大,即該動(dòng)點(diǎn)必須位于橢圓與y軸的交點(diǎn)上,即此時(shí)高為b,即 2c

15、*b/2=1,bc=1,c=1/b而c2= a2-b2 =(1/b)2 即a2= b2 +(1/b)2 2a2 長(zhǎng)軸2a223. （1）焦點(diǎn)在x軸上,漸近線y=±(b/a)x b/a=3/4 b=3t, a=4t c=5t e=c/a=5/4（2）焦點(diǎn)在y軸上,漸近線y=±(a/b)x a/b=3/4 a=3t, b=4t c=5t e=c/a=5/3 4. 4或5. e=c/a2,2,cos(-)/2=a/c1/2,1/2, (-)/2/4,/3,-/2,2/3, 的取值范圍是/3,/2.6. 7. 8. 7 9. （ ） 10. 三： 1、2 2.顯然該拋物線焦點(diǎn)是（2

16、,0）這個(gè)點(diǎn)在x=5上.解方程組x=5,y²=8x ,則x=5,y=210.該點(diǎn)坐標(biāo)為（5,210）.用公式算得該點(diǎn)至拋物線距離為7.2.設(shè)直線為y=kx+a,過（0,2）點(diǎn),可得a=2y=kx+2與x2/9-y2/16=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)也就是方程組x2/9-y2/16=1；y=kx+2只有一組解將y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此討論：當(dāng)16-9k2=0時(shí),方程只有一組解,也就是k=±(4/3)時(shí),方程只有一組解當(dāng)16-9k2不等于0時(shí),一元二次方程有且只有唯一解的條件也就是b2-4ac=0,可以得到另一組k的

17、值3：橢圓，且，直線恒過定點(diǎn)，欲使其與橢圓恒有公共點(diǎn)，只需讓落在橢圓內(nèi)或者橢圓上，即：，選C.4. X2 - Y2/2 =1 c²=1+2=3 F(3,0)過F且垂直x軸的直線是x=3 代入則y²=4 y=±2所以此時(shí)AB=2-(-2)=4 所以這里有一條且AB都在右支時(shí)其他的直線則AB都大于4 所以AB都在右支只有1條直線L交雙曲線于A,B兩點(diǎn),A、B分別在兩支時(shí), 頂點(diǎn)是(-1,0),(1,0)頂點(diǎn)距離是2<4 所以也有兩條,關(guān)于x軸對(duì)稱 所以共有3條1. 2 2. 3. 4. 56、 （1）將y=k(x+1)代入y2=-x, 設(shè)A（X1,y1）,B(X

18、2,y2)易得X1+X2=-(2k2+1)/k2,X1*X2=1y1*y2=k2(X1+1)(X2+1)=-10A斜率K1為y1/X1,0B斜率K2為y2/X2,所以K1*K2=-1得證（2）1/2(根x12+y12*根下x22+yx2)=根10 （x12+y12）*（x22+yx2）=40x12x22+(x12+y22+x22y12)=40 2-(x12x2+x22x1)=40x1x2(x1+x2)=-38 (2k2+1)/-k2=-38 k2=1/36 k=-1/67、 7、解: 將代入中得 ， ，所以 。8.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。四、 1.解：將直線L向橢圓方向平移至直線L:x-y+c=0，使直線L與橢圓恰好相切，切點(diǎn)為P，把x=y-c代入橢圓方程x2/3+y2=1（1）,得 （y-c)2/3+y2=1 整理得：4y2-2cy+c2-3=0 由=0得4c2-4×