節(jié)點導(dǎo)納矩陣及潮流計算

1、目錄摘要21任務(wù)及題目要求22原理介紹32.1節(jié)點導(dǎo)納矩陣32.2牛頓-拉夫遜法4牛頓-拉夫遜法基本原理4牛頓-拉夫遜法潮流求解過程介紹63分析計算114結(jié)果分析155總結(jié)16參考資料17節(jié)點導(dǎo)納矩陣及潮流計算摘要電力網(wǎng)的運行狀態(tài)可用節(jié)點方程或回路方程來描述。節(jié)點導(dǎo)納矩陣是以系統(tǒng)元件的等值導(dǎo)納為基礎(chǔ)所建立的、描述電力網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點電壓和注入電流之間關(guān)系的線性方程。潮流計算是電力系統(tǒng)分析中的一種最基本的計算，它的任務(wù)是對給定的運行條件確定系統(tǒng)的運行狀態(tài)，如各母線上的電壓（幅值及相角）、網(wǎng)絡(luò)中的功率分布及功率損耗等。本文就節(jié)點導(dǎo)納矩陣和潮流進行分析和計算。1任務(wù)及題目要求題目初始條件：如圖所示電網(wǎng)。o

2、1Ð001Ð0.51.02+j1j1.123y13y23y12 其元件導(dǎo)納參數(shù)為：y12=0.5-j3, y23=0.8-j4, y13任務(wù)及要求:1）根據(jù)給定的運行條件，確定圖2所示電力系統(tǒng)潮流計算時各節(jié)點的類型和待求量；2）求節(jié)點導(dǎo)納矩陣Y；3）給出潮流方程或功率方程的表達式；4）當用牛頓-拉夫遜法計算潮流時，給出修正方程和迭代收斂條件。2原理介紹2.1節(jié)點導(dǎo)納矩陣節(jié)點導(dǎo)納矩陣既可根據(jù)自導(dǎo)納和互導(dǎo)納的定義直接求取，也可根據(jù)電路知識中找出改網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣，在節(jié)點電壓方程的矩陣形式進行求解。本章節(jié)我們主要討論的是直接求解導(dǎo)納矩陣。根據(jù)節(jié)點電壓方程章節(jié)我們知道，在利用電子數(shù)字

3、計算機計算電力系統(tǒng)運行情況時，多采用IYV形式的節(jié)點方程式。其中階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)。從而可以得到n個節(jié)點時的節(jié)點導(dǎo)納矩陣方程組： （2-1） 由此可以得到n個節(jié)點導(dǎo)納矩陣：  （2-2）它反映了網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)及接線情況，因此導(dǎo)納矩陣可以看成是對電力網(wǎng)絡(luò)電氣特性的一種數(shù)學(xué)抽象。由導(dǎo)納短陣所聯(lián)系的節(jié)點方程式是電力網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用的一種數(shù)學(xué)模型。 通過上面的討論，可以看出節(jié)點導(dǎo)納矩陣的有以下特點： （1）導(dǎo)納矩陣的元素很容易根據(jù)網(wǎng)絡(luò)接線圖和支路參數(shù)直觀地求得，形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣的程序比較簡單。 （2）導(dǎo)納矩陣為對稱矩陣。由網(wǎng)絡(luò)的互易特性易知。 （3）導(dǎo)納

4、矩陣是稀疏矩陣。它的對角線元素一般不為零，但在非對角線元素中則存在不少零元素。在電力系統(tǒng)的接線圖中，一般每個節(jié)點與平均不超過34個其他節(jié)點有直接的支路連接。因此，在導(dǎo)納矩陣的非對角線元素中每行僅有34個非零元素，其余的都是零元素，而且網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模越大，這種現(xiàn)象越顯著。節(jié)點導(dǎo)納矩陣的形式可歸納如下： （1）導(dǎo)納矩陣的階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò) （2）導(dǎo)納矩陣各行非對角元素中非零元素的個數(shù)等于對應(yīng)節(jié)點所連得不接地支路數(shù)。 （3）導(dǎo)納矩陣各對角元素，即節(jié)點的自導(dǎo)納等于相應(yīng)節(jié)點之間的支路導(dǎo)納之和。 （4）導(dǎo)納矩陣非對角元素，即節(jié)點之間的互導(dǎo)納等于相應(yīng)節(jié)點之間的支路導(dǎo)納的負值

5、。 2.2牛頓-拉夫遜法牛頓-拉夫遜法基本原理牛頓-拉夫遜法(簡稱牛頓法)在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復(fù)地對相應(yīng)的線性方程式進行求解的過程。即通常所稱的逐次線性化過程。對于非線性代數(shù)方程組： 即 (2-3)在待求量x的某一個初始估計值附近，將上式展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到如下的經(jīng)線性化的方程組： (2-4)上式稱之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 (2-5)將和相加，得到變量的第一次改進值。接著就從出發(fā)，重復(fù)上述計算過程。因此從一定的初值出發(fā)，應(yīng)用牛頓法求解的迭代格式為： (2-6) (2-7)

6、上兩式中：是函數(shù)對于變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，即雅可比矩陣J；k為迭代次數(shù)。由上式可見，牛頓法的核心便是反復(fù)形式并求解修正方程式。牛頓法當初始估計值和方程的精確解足夠接近時，收斂速度非?？欤哂衅椒绞諗刻匦?。牛頓潮流算法突出的優(yōu)點是收斂速度快，若選擇到一個較好的初值，算法將具有平方收斂特性，一般迭代45次便可以收斂到一個非常精確的解。而且其迭代次數(shù)與所計算網(wǎng)絡(luò)的規(guī)?；緹o關(guān)。牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對于對以節(jié)點導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法也能可靠收斂。牛頓法所需的內(nèi)存量及每次迭代所需時間均較高斯法多。牛頓法的可靠收斂取決于有一個良好的啟動初值。如果初值選擇不當，算法有可能根本

7、不收斂或收斂到一個無法運行的節(jié)點上。對于正常運行的系統(tǒng)，各節(jié)點電壓一般均在額定值附近，偏移不會太大，并且各節(jié)點間的相位角差也不大，所以對各節(jié)點可以采用統(tǒng)一的電壓初值(也稱為平直電壓)，如假定： 或 (2-8) 這樣一般能得到滿意的結(jié)果。但若系統(tǒng)因無功緊張或其它原因?qū)е码妷嘿|(zhì)量很差或有重載線路而節(jié)點間角差很大時，仍用上述初始電壓就有可能出現(xiàn)問題。解決這個問題的辦法可以用高斯法迭代12次，以此迭代結(jié)果作為牛頓法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一個較好的角度初值，然后轉(zhuǎn)入牛頓法迭代。2.2.2牛頓-拉夫遜法潮流求解過程介紹以下討論的是用直角坐標形式的牛頓拉夫遜法潮流的求解過程。當采用直角坐

8、標時，潮流問題的待求量為各節(jié)點電壓的實部和虛部兩個分量由于平衡節(jié)點的電壓向量是給定的，因此待求兩共2(n-1)需要2(n-1)個方程式。事實上，除了平衡節(jié)點的功率方程式在迭代過程中沒有約束作用以外，其余每個節(jié)點都可以列出兩個方程式。對PQ節(jié)點來說，和是給定的，因而可以寫出 （2-9）對PV節(jié)點來說，給定量是，因此可以列出 （2-10）求解過程大致可以分為以下步驟：（1）形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣；（2）將各節(jié)點電壓設(shè)初值U（3）將節(jié)點初值代入相關(guān)求式，求出修正方程式的常數(shù)項向量；（4）將節(jié)點電壓初值代入求式，求出雅可比矩陣元素；（5）求解修正方程，求修正向量；（6）求取節(jié)點電壓的新值；（7）檢查是否收斂

9、，如不收斂，則以各節(jié)點電壓的新值作為初值自第3步重新開始進行狹義次迭代，否則轉(zhuǎn)入下一步；（8）計算支路功率分布，PV節(jié)點無功功率和平衡節(jié)點注入功率。以直角坐標系形式表示：迭代推算式采用直角坐標時,節(jié)點電壓相量及復(fù)數(shù)導(dǎo)納可表示為: (2-11)將以上二關(guān)系式代入上式中,展開并分開實部和虛部;假定系統(tǒng)中的第1,2,m號為PQ節(jié)點,第m+1,m+2,n-1為PV節(jié)點,根據(jù)節(jié)點性質(zhì)的不同,得到如下迭代推算式:1 于PQ節(jié)點 (2-12)2 對于PV節(jié)點 (2-13) 對于平衡節(jié)點平衡節(jié)點只設(shè)一個,電壓為已知,不參見迭代,其電壓為: (2-14)修正方程兩組迭代式中包括2(n-1)個方程.選定電壓初值及

10、變量修正量符號之后代入,并將其按泰勒級數(shù)展開,略去二次方程及以后各項,得到修正方程如下: (2-15)其中，； (2-16)雅可比矩陣各元素的算式式(2-12)中, 雅可比矩陣中的各元素可通過對式(2-8)和(2-9)進行偏導(dǎo)而求得.當時, 雅可比矩陣中非對角元素為 (2-17)當時,雅可比矩陣中對角元素為: (2-18)由式(2-13)和(2-18)看出,雅可比矩陣的特點：矩陣中各元素是節(jié)點電壓的函數(shù),在迭代過程中,這些元素隨著節(jié)點電壓的變化而變化；導(dǎo)納矩陣中的某些非對角元素為零時,雅可比矩陣中對應(yīng)的元素也是為零.若,則必有；雅可比矩陣不是對稱矩陣;雅可比矩陣各元素的表示如下： （2-19）

11、 （2-20） （2-21） （2-22） （2-23）3分析計算1. 根據(jù)給定的運行條件，確定圖中所示電力系統(tǒng)潮流計算時各節(jié)點的類型和待求量根據(jù)圖中可以看出各節(jié)點的類型和待求量分別為：節(jié)點1：節(jié)點 待求量：節(jié)點2：節(jié)點 待求量：節(jié)點3：平衡節(jié)點 待求量： 2.求節(jié)點導(dǎo)納矩陣Y所以節(jié)點導(dǎo)納矩陣為：3. 潮流方程或功率方程的表達式因為對n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，電力系統(tǒng)的潮流方程一般形式是： （i=1,2，n）其中Pi = PGi - PLdi, Qi = QGi - QLdi ,即PQ分別為節(jié)點的有功功率無功功率。所以代入得潮流方程：=(1.25-j5.5)·+(0.5-j3)·+(

12、0.75-j2.5)°=(0.5-j3)·+(1.3-j7)·+(0.8-j4)·°=(0.75-j2.5)·+(0.8-j4)·+(1.55-j6.5)·°4用牛頓-拉夫遜法計算潮流時，給出修正方程和迭代收斂條件（1）修正方程計算1、2節(jié)點的不平衡量節(jié)點3是平衡節(jié)點，其電壓是給定的，故不參加迭代。根據(jù)給定的容許誤差，按收斂判據(jù)進行校驗，以上節(jié)點1、2的不平衡量都未滿足收斂條件，于是繼續(xù)以下計算。修正方程式為 (n=3) 以上雅可比矩陣J中的各元素值是通過求偏導(dǎo)數(shù)獲得的，對PQ節(jié)點來說，是給定的，因而可以

13、寫出 對PV節(jié)點來說，給定量是，因此可以列出當時, 雅可比矩陣中非對角元素為 當時,雅可比矩陣中對角元素為:代入數(shù)值后的修正方程為求解修正方程得（2）收斂條件一輪迭代結(jié)束，根據(jù)收斂條件收斂判據(jù)，若等式成立，結(jié)果收斂，迭代結(jié)束，計算平衡節(jié)點的功率和線路潮流計算，否則繼續(xù)計算雅可比矩陣，解修正方程，直到滿足收斂判據(jù)。4結(jié)果分析給定節(jié)點電壓初值,經(jīng)過四次筆算迭代過程后，得到節(jié)點電壓和不平衡功率的變化情況分別于表4.1和表4.2所示（?。旱嫈?shù)k節(jié)點電壓11-j0.10151213141表4.1 迭代過程中節(jié)點電壓變化情況迭代計數(shù)k節(jié)點不平衡量0-2-10.501-0.1482-0.9769-0.

14、0726-0.01032-0.0902-0.6071-0.0480-0.00223-0.6272-4.3251-0.3610-0.01714-0.1816-1.2510-0.1042-0.0049表4.2迭代過程中節(jié)點不平衡量變化情況結(jié)果值與我的小組同學(xué)基本一樣，也在預(yù)期之內(nèi)。得到了基本一致的結(jié)果。并且確定牛頓法具有很好的二次收斂性，是求解多元非線性方程的正確算法。5總結(jié)這次的電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計讓我對平時所學(xué)的專業(yè)知識有了更深刻更具體的了解，明白了理論知識必須與實踐相結(jié)合才能更好的發(fā)揮作用。在不停的翻書上網(wǎng)查資料的過程中，我積累了大量的導(dǎo)納矩陣和潮流計算以及電力系統(tǒng)的知識，全面透徹的了解了相關(guān)知識的應(yīng)用。使自己的知識更加牢固，并且有了更深