202X版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十四章圓錐曲線與方程14.1橢圓及其性質(zhì)課件

1、第十四章 圓錐曲線與方程14.1橢圓及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用)五年高考A A組組 自主命題自主命題江蘇卷江蘇卷題組題組1.(2016江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓+=1(ab0)的右焦點(diǎn),直線y=與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且BFC=90,則該橢圓的離心率是.22xa22yb2b答案答案63解析解析由已知條件易得B,C,F(c,0),=,=,由BFC=90,可得=0,所以+=0,得c2-a2+b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以=,則e=.3,22ba3,22baBF3,22bcaCF3,22bcaBFCF32ca32ca

2、22b341422ca23ca632.(2019江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(ab0)的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B,連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連接DF1.已知DF1=.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).22xa22yb52解析解析本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.因?yàn)镕

3、1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因?yàn)镈F1=,AF2x軸,所以DF2=.因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)解法一:由(1)知,橢圓C:+=1,a=2.因?yàn)锳F2x軸,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.5222112DFFF225223224x23y24x23y由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.將x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B.又F

4、2(1,0),所以直線BF2:y=(x-1).由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以x=-1.將x=-1代入y=(x-1),得y=-.因此E.解法二:由(1)知,橢圓C:+=1.2222,(1)16,yxxy1151151251112,5534223(1),41,43yxxy137343231,2 24x23y如圖,連接EF1.因?yàn)锽F2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,從而BF1E=B.因?yàn)镕2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,從而EF1F2A.因?yàn)锳F2x軸,所以EF1x軸.因?yàn)镕1(-1,0),由解得y=.又因?yàn)镋是線

5、段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以y=-.因此E.221,1,43xxy 323231,2 3.(2018江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過點(diǎn),焦點(diǎn)F1(-,0),F2(,0),圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程;(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若OAB的面積為,求直線l的方程.13,2332 67解析解析本題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識,考查分析問題能力和運(yùn)算求解能力.(1)解法一:因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為

6、F1(-,0),F2(,0),所以可設(shè)橢圓C的方程為+=1(ab0).又點(diǎn)在橢圓C上,所以解得因此,橢圓C的方程為+y2=1.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.解法二:設(shè)橢圓C的方程為+=1(ab0).因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(-,0),F2(,0),又點(diǎn)在橢圓C上,3322xa22yb13,22222311,43,abab224,1.ab24x22xa22yb3313,2所以2a=+=+=4,所以a=2,又因?yàn)閏=,所以b2=1,因此,橢圓C的方程為+y2=1.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.(2)解法一:設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x00,

7、y00),則+=3.所以直線l的方程為y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0 x+36-4=0.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因?yàn)閤0,y00,所以x0=,y0=1.221( 33)2221( 33)27212324x20 x20y00 xy00 xy03y220001,43xyxyxyy 20 x20y20y20 x20y20y20y20 x2因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).因?yàn)槿切蜲AB的面積為,所以ABOP=,從而AB=.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,

8、2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=.22 67122 674 272200022002448(2)2(4)xyxxy20201xy22002220048(2)(4)yxxy因?yàn)?=3,所以AB2=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),則=,因此P的坐標(biāo)為.則直線l的方程為y=-x+3.解法二:由題意知,直線l斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+m.因?yàn)橹本€l與圓O相切于點(diǎn)P,所以=,即m2=3(1+k2),由消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0(*).因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(

9、k2-2)=0,解得k=.20 x20y2022016(2)(1)xx324940 x20 x20 x5220 x20y12102,22522|1mk3221,4,xyykxm2因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限,所以k=-,從而m=3,則直線l的方程為y=-x+3.由解得因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1).因?yàn)槿切蜲AB的面積為,所以ABOP=,從而AB=.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2),所以(1+k2)=,即17k4-65k2-100=0,2223,2,2yxyx 2,1,xy22 67122 674 2722816(2)

10、2(1 4)kmkk22216(2)(14)kk22216(2)(14)kk3249解得k2=5.因?yàn)镻在第一象限,所以k=-,從而m=3,此時(shí)=16(k2-2)0,綜上,直線l的方程為y=-x+3.22017k 舍去5252典型錯(cuò)解典型錯(cuò)解錯(cuò)解1:對于直線與圓相切,直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的處理方法不清楚.錯(cuò)解2:沒有將三角形OAB的面積問題轉(zhuǎn)化為AB長度問題.錯(cuò)解3:字母和數(shù)值的運(yùn)算出錯(cuò).錯(cuò)解4:沒有交代條件就直接取舍數(shù)值.如沒有交代P在第一象限,直接取k=-,k=-等.25名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛本題從橢圓的基本問題出發(fā),結(jié)合直線與圓的方程及幾何性質(zhì),對兩者進(jìn)行綜合,考查綜合處理問題的能力.

11、第一問是基礎(chǔ)問題,第二問判斷直線及曲線的位置關(guān)系涉及解析幾何的基本思想方法.因此在復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn):(1)重視圓錐曲線定義的理解和應(yīng)用.一方面既要理解圓錐曲線的定義,還要了解圓錐曲線的其他表現(xiàn)形式;另一方面要充分創(chuàng)造條件應(yīng)用定義,從而簡化問題.(2)總結(jié)基本問題的常見算法.如直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、求交點(diǎn)問題、弦長問題、中點(diǎn)問題等.(3)合理選擇解題思路.不同的解題思路可能導(dǎo)致不同的運(yùn)算量,所以要先分析題目中未知點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,權(quán)衡所設(shè)變量,合理選擇方法,從而確定最優(yōu)的解題思路.(4)優(yōu)化解題運(yùn)算過程.解析幾何不可避免地會涉及較多計(jì)算,而且涉及較多的字母運(yùn)算,需要從算理上進(jìn)行權(quán)衡,避免

12、死算蠻算,從整體角度觀察,優(yōu)化運(yùn)算過程.(5)適時(shí)利用平面幾何性質(zhì).解析幾何本質(zhì)上是幾何問題,要挖掘題目中的平面幾何性質(zhì),從而優(yōu)化解題路徑,減少運(yùn)算量.4.(2017江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上,且位于第一象限,過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).22xa22yb12解析解析本題主要考查直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查分析問

13、題能力和運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)闄E圓E的離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).設(shè)P(x0,y0),因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn),故x00,y00.當(dāng)x0=1時(shí),l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符.當(dāng)x01時(shí),直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為.因?yàn)閘1PF1,l2PF2,所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-,從而直線l1的方程:y=-(x+1),12ca1222ac22ac324x23y001yx 001yx 001xy001xy001xy直線l2的方程:

14、y=-(x-1).由,解得x=-x0,y=,所以Q.因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,由對稱性,得=y0,即-=1或+=1.又P在橢圓E上,故+=1.由解得x0=,y0=;無解.因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.001xy2001xy20001,xxy2001xy20 x20y20 x20y204x203y220022001,1,43xyxy4 773 77220022001,1,43xyxy4 7 3 7,775.(2015江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(ab0)的離心率為,且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線

15、分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.22xa22yb22解析解析(1)由題意,得=且c+=3,解得a=,c=1,則b=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)當(dāng)ABx軸時(shí),AB=,又CP=3,不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將直線AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則x1,2=,C的坐標(biāo)為,且AB=.若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.從而k0,故直線PC的方程為y+=-,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為,從而PC=.ca222ac222x22

16、2222(1)12kkk2222,1 21 2kkkk222121()()xxyy2221(1)()kxx222 2(1)1 2kk212kk1k2221 2kxk22522,(1 2)kkk2222(31) 1|(12)kkkk因?yàn)镻C=2AB,所以=,解得k=1.此時(shí)直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.2222(31) 1|(12)kkkk224 2(1)1 2kkB B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2019課標(biāo)全國理改編,10,5分)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2

17、的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為.答案答案+=123x22y解析解析本題考查了橢圓的定義、橢圓的方程和余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查了方程的思想方法,體現(xiàn)的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算,具有很好的創(chuàng)新性.設(shè)|F2B|=x(x0),則|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+

18、22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8xcosBF2F1,由得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2.所以橢圓的方程為+=1.323323x22y思路分析思路分析由于涉及焦點(diǎn),所以要利用橢圓的定義,通過解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,故可得橢圓的方程.疑難突破疑難突破利用余弦定理靈活解三角形是突破口.靈活利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.2.(2019課標(biāo)全國理,15,5分)設(shè)F1,F2為橢圓C:+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若

19、MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為.236x220y答案答案(3,)15解析解析本題考查橢圓的定義與幾何性質(zhì);考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).不妨設(shè)F1,F2分別是橢圓C的左,右焦點(diǎn),由M點(diǎn)在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又由橢圓方程+=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12,所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.設(shè)M(x0,y0)(x00,y00),則解得x0=3,y0=,即M(3,).236x220y22002200(4)64,(4)16,xyxy1515一題多解一題多解依題意得|F1

20、F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2=,則tanMF1F2=.所以直線MF1的方程為y-0=(x+4).設(shè)M(6cos,2sin),因?yàn)镸點(diǎn)在直線MF1上,所以2sin=(6cos+4),結(jié)合sin2+cos2=1且sin0,cos0得cos=,sin=,即M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,).2228842 8 8 78157157551571232153.(2018浙江,17,4分)已知點(diǎn)P(0,1),橢圓+y2=m(m1)上兩點(diǎn)A,B滿足=2,則當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大.24xAPPB答案答案5解析解析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,二次函數(shù)的最值.設(shè)B(t,u),由

21、=2,易得A(-2t,3-2u).點(diǎn)A,B都在橢圓上,從而有+3u2-12u+9=0,即+u2=4u-3.即有4u-3=mu=,+=m,t2=-m2+m-=-(m-5)2+4.當(dāng)m=5時(shí),(t2)max=4,即|t|max=2,即當(dāng)m=5時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大.APPB2222,44(32 ),4tumtum234t24t34m24t2(3)16m14529414思路分析思路分析(1)設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)利用點(diǎn)A,B都在橢圓上得方程組,求得點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式.(3)利用(2)中的關(guān)系式及點(diǎn)B在橢圓上,把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的平方表示為關(guān)于m的函數(shù).(4)

22、利用二次函數(shù)的最值得結(jié)論.4.(2018天津理,19,14分)設(shè)橢圓+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0),且|FB|AB|=6.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(k0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若=sinAOQ(O為原點(diǎn)),求k的值.22xa22yb532|AQPQ5 24解析解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|F

23、B|=a,|AB|=b,由|FB|AB|=6,可得ab=6,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2).由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又因?yàn)閨AQ|=,而OAB=,故|AQ|=y2.由=sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程組消去x,可得y1=.22ca592229x24y2sinyOAB42|AQPQ5 2422,1,94ykxxy2694kk 易知直線AB的方程為x+y-2=0,由方程組消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,兩邊平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=

24、,或k=.所以,k的值為或.,20,ykxxy21kk 294k 121128121128解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵利用平面幾何知識將=sinAOQ轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P、Q坐標(biāo)間的關(guān)系是解決第(2)問的關(guān)鍵.|AQPQ5 24方法歸納方法歸納求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法(1)定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程;(2)待定系數(shù)法:這是求橢圓方程的常用方法,基本步驟為根據(jù)已知條件判斷焦點(diǎn)的位置;根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出所求橢圓的方程;根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、c的方程組,注意c2=a2-b2的應(yīng)用;解方程組,求得a、b的值,從而得出橢圓的方程.5.(2017天津文,20,14分)已知橢圓+

25、=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),EFA的面積為.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上,|FQ|=c,延長線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PMQN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.(i)求直線FP的斜率;(ii)求橢圓的方程.22xa22yb22b32解析解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和方程思想.考查運(yùn)算求解能力,以及綜合分析問題和解決問題的能力.(1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-

26、a2=0,即2e2+e-1=0.又因?yàn)?e0),則直線FP的斜率為.由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為+=1,即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=,y=,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直線FP的斜率為.(ii)由a=2c,可得b=c,故橢圓方程可以表示為+=1.由(i)得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,與橢圓方程聯(lián)立得消去y,1222b12121m2xcyc(22)2mcm32cm(22)3,22mccmm322(22)2mccm232cm232c43343224xc223yc22223430,1,43xycxyc

27、c整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得點(diǎn)P,進(jìn)而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP.因?yàn)镼NFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=,所以FQN的面積為|FQ|QN|=,同理FPM的面積等于,由四邊形PQNM的面積為3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,橢圓的方程為+=1.137c3,2cc223()2ccc52c52c 32c32c3498c1222732c27532c27532c22732c216x212y方法點(diǎn)撥

28、方法點(diǎn)撥1.求離心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定義求解;(2)構(gòu)造a,c的齊次式,利用方程思想求出離心率e的值.2.求直線斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1x2),其中兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2);(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解;(3)直線的方向向量a=(m,n),則k=(m0);(4)點(diǎn)差法.1212yyxxnm3.解決四邊形或三角形的面積問題時(shí),注意弦長公式與整體代換思想的應(yīng)用.6.(2015安徽,20,13分)設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM

29、的斜率為.(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程.22xa22yb51072解析解析(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,因?yàn)閗OM=,所以=.所以a=b,c=2b.故e=.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB的方程為+=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)T在直線AB上,且kNSkAB=-1,所以有解得b=3.所以a=3,故橢圓E的方程為+=1.21,33ab5102ba510522abca2 555xbyb51,22bb17,2x1517,424

30、4xbb1151742441,571225,52xbbbbbxb5245x29y評析評析本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)以及對稱問題,利用方程思想解決點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題,考查利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和化歸思想的應(yīng)用.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2019北京理改編,4,5分)已知橢圓+=1(ab0)的離心率為,則.a2=2b2;3a2=4b2;a=2b;3a=4b.22xa22yb12答案答案解析解析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;通過橢圓的幾何性質(zhì)考查學(xué)生的理解與運(yùn)算能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.由題意知=e2=,整理得3a2=4b2.222aba1

31、4易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示橢圓與雙曲線中a、b、c關(guān)系的區(qū)別:(1)橢圓:b2+c2=a2;(2)雙曲線:c2=a2+b2.2.(2018課標(biāo)全國文改編,4,5分)已知橢圓C:+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為.22xa24y答案答案22解析解析本題主要考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì).由題意可知c=2,b2=4,a2=b2+c2=4+22=8,則a=2,e=.2ca22 222方法總結(jié)方法總結(jié)求橢圓離心率的常用方法:(1)求得a,c的值,直接代入e=求解.(2)列出關(guān)于a,b,c的齊次方程,結(jié)合b2=a2-c2消去b,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.ca3.(2018課標(biāo)全國理改編,12,5分)已知

32、F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,PF1F2為等腰三角形,F1F2P=120,則C的離心率為.22xa22yb36答案答案14解析解析本題考查直線方程和橢圓的幾何性質(zhì).由題意易知直線AP的方程為y=(x+a),直線PF2的方程為y=(x-c).聯(lián)立得y=(a+c),如圖,過P向x軸引垂線,垂足為H,則PH=(a+c).因?yàn)镻F2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c),363353535所以sin60=,即a+c=5c,即a=4c,所以e=.2PHPF3()52acc32ca14解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵通過解三角形得到a與c的等量關(guān)

33、系是解題的關(guān)鍵.4.(2018課標(biāo)全國文改編,11,5分)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn).若PF1PF2,且PF2F1=60,則C的離心率為.答案答案-13解析解析本題主要考查橢圓的定義和幾何性質(zhì).不妨設(shè)橢圓方程為+=1(ab0).在RtF1PF2中,因?yàn)镻F2F1=60,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=c.由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以橢圓的離心率e=-1.22xa22yb33ca2313疑難突破疑難突破利用橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a,結(jié)合題意得到a與c的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵,也是難點(diǎn)的突破口.5.(2018

34、北京理,14,5分)已知橢圓M:+=1(ab0),雙曲線N:-=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為;雙曲線N的離心率為.22xa22yb22xm22yn答案答案-1;23解析解析本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).解法一:如圖是一個(gè)正六邊形,A,B,C,D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn),F1,F2為橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn).直線AC是雙曲線N的一條漸近線,且其方程為y=x,=.設(shè)m=k,則n=k,則雙曲線N的離心率e2=2.連接F1C,在正六邊形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30.設(shè)橢圓的焦距為2c,則

35、|CF2|=c,|CF1|=c,再由橢圓的定義得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,橢圓M的離心率e1=-1.3nm3322( 3 )kkk33ca2312( 31)( 31)( 31)3解法二:雙曲線N的離心率同解法一.由題意可得C點(diǎn)坐標(biāo)為,代入橢圓M的方程,并結(jié)合a,b,c的關(guān)系,聯(lián)立得方程組解得=-1.3,22cc22222223221,ccababcca331ca舍去方法總結(jié)方法總結(jié)求橢圓和雙曲線的離心率的關(guān)鍵是通過其幾何性質(zhì)找到a,c所滿足的關(guān)系,從而求出c與a的比值,即得離心率.6.(2017浙江改編,2,5分)橢圓+=1的離心率是.29x24y答案答案53解析解析本

36、題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).由題意得a=3,c=,離心率e=.5ca537.(2017課標(biāo)全國文改編,12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則m的取值范圍是.23x2ym答案答案(0,19,+)解析解析本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì).當(dāng)0m3時(shí),橢圓C的長軸在x軸上,如圖(1),A(-,0),B(,0),M(0,).圖(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB取最大值,此時(shí)AMB120,則|MO|1,即03時(shí),橢圓C的長軸在y軸上,如圖(2),A(0,),B(0,-),M(,0)33mmm3圖(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB取最大值,此時(shí)AMB

37、120,則|OA|3,即3,即m9.綜上,m(0,19,+).m易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示在求解本題時(shí),要注意橢圓的長軸所在的坐標(biāo)軸,題目中只說A、B為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn),并未說明橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸,因此,要根據(jù)m與3的大小關(guān)系,討論橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸.8.(2019課標(biāo)全國文,20,12分)已知F1,F2是橢圓C:+=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1PF2,且F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.22xa22yb解析解析本題主要考查橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì);考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯思維能

38、力與運(yùn)算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)連接PF1.由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的離心率e=-1.(2)由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在,當(dāng)且僅當(dāng)|y|2c=16,=-1,+=1,即c|y|=16,x2+y2=c2,+=1.由及a2=b2+c2得y2=,又由知y2=,故b=4.由得x2=(c2-b2),所以c2b2,33ca312yxcyxc22xa22yb22xa22yb42bc2216c22ac從而a2=b2+c22b2=32,故a4.當(dāng)b=4,a4

39、時(shí),存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b=4,a的取值范圍為4,+).222思路分析第(1)問中由平面幾何知識可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF1|=c,再利用橢圓的定義找出a與c的等量關(guān)系,進(jìn)而求離心率.第(2)問中設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),利用=16,PF1PF2以及+=1得到方程,消元化簡可求b的值和a的取值范圍.31 2PFFS22xa22yb一題多解一題多解(2)設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,由橢圓的定義可得r1+r2=2a,=r1r2=16,r1r2=32.又PF1PF2,+=4c2,(r1+r2)2=+2r1r2=4c2+64=4a2,4a2-4c2=64,

40、b=4,又+2r1r2,4c2232,c4,a2=b2+c2=16+c232,b的值為4,a的取值范圍為4,+).1 2PFFS1221r22r21r22r21r22r29.(2016浙江理,19,15分)如圖,設(shè)橢圓+y2=1(a1).(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.22xa解析解析(1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=.(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的

41、橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足|AP|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a2(2-a2)=0.由于k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0,2221,1ykxxya22221a ka k21 k2222|1aka k21 k22112212| 11akka k22222222| 11akka k22112212| 11akka k22222222| 11akka k21k22k21k22k21k22k21k22k21k22k因此=1+a2(a2-2),因?yàn)槭疥P(guān)于k1,k2的方程有解的充

42、要條件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a,由e=得,所求離心率的取值范圍為0b0)的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知|OA|=2|OB|(O為原點(diǎn)).(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OCAP.求橢圓的方程.22xa22yb334解析解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.(1)設(shè)橢圓的半焦距為

43、c,由已知有a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=.所以,橢圓的離心率為.(2)由(1)知,a=2c,b=c,故橢圓方程為+=1.由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=(x+c).點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足消去y并化簡,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,所以P.3232aca12123224xc223yc3422221,433(),4xyccyxc137c329143,2cc由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t).因?yàn)镺CAP,且由(1)知A(-2c,0),故=,解得t=2.則C(4,2).

44、因?yàn)閳AC與x軸相切,所以圓的半徑長為2,又由圓C與l相切,得=2,可得c=2.所以,橢圓的方程為+=1.4t322ccc23(4)24314c216x212y思路分析思路分析(1)由已知條件,得a與b的比例關(guān)系,代入a2=b2+c2,得a與c的齊次關(guān)系,進(jìn)而求得離心率.(2)設(shè)出直線方程(含參數(shù)c),聯(lián)立直線與橢圓方程(含參數(shù)c),得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(含參數(shù)c),由kAP=kOC,求得C點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的半徑r,最后由圓心到直線距離等于半徑列出關(guān)于c的方程,求得c的值,最終確定橢圓方程.3.(2019北京文,19,14分)已知橢圓C:+=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,1).(1)求橢圓C的方

45、程;(2)設(shè)O為原點(diǎn),直線l:y=kx+t(t1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,直線AP與x軸交于點(diǎn)M,直線AQ與x軸交于點(diǎn)N.若|OM|ON|=2,求證:直線l經(jīng)過定點(diǎn).22xa22yb解析解析本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn),考查學(xué)生用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論解決綜合問題的能力,體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)由題意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線AP的方程為y=x+1.令y=0,得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=-.又y1=kx1+t,從而|OM|=|xM|=

46、.同理,|ON|=.22x111yx111xy 111xkxt 221xkxt 由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.則x1+x2=-,x1x2=.所以|OM|ON|=2.又|OM|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)(0,0).22,12ykxtxy2412ktk222212tk111xkxt 221xkxt 12221212(1)()(1)x xk x xk txxt22222222212224(1)(1)1212tktktkk ttkk 11tt11tt4.(2018課標(biāo)全國理,19,12分)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),

47、點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:OMA=OMB.22x解析解析(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1,由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為y=-x+或y=x-.(2)證明:當(dāng)l與x軸重合時(shí),OMA=OMB=0,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),直線OM為AB的垂直平分線,所以O(shè)MA=OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x20)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.(1)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:

48、k0.由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為.又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.(2分)將x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此AMN的面積SAMN=2=.(4分)(2)將直線AM的方程y=k(x+2)(k0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由題設(shè),直線AN的方程為y=-(x+2),424x23y127127121271271444924x23y22161234kk222(34)34kk21 k2212 134kk1k故同理可得|AN|=.(7分)由2

49、|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn),f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)單調(diào)遞增.又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(,2)內(nèi),所以kb0)的離心率為,點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m,n)(m0)都在橢圓C上,直線PA交x軸于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程,并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,n表示);(2)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱,直線PB交x軸于點(diǎn)N.問:y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得OQM=ONQ?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.22

50、xa22yb22解析解析(1)由題意得解得a2=2.故橢圓C的方程為+y2=1.設(shè)M(xM,0).因?yàn)閙0,所以-1nb0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若AF1B的周長為4,則C的方程為.22xa22yb333答案答案+=123x22y解析解析由題意及橢圓的定義知4a=4,則a=,又=,c=1,b2=2,C的方程為+=1.33ca3c3323x22y2.(2013重慶理,21,12分)如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點(diǎn),|AA|=4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于

51、不同的兩點(diǎn)P,P,過P,P作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.若PQPQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.22解析解析(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1.由e=得b2=8,從而a2=16.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由橢圓的對稱性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0 x+8=(x-2x0)2-+8(x-4,4).設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),因此,上式當(dāng)x=x1時(shí)取最小值,又因x1(-4,4),所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取最小值,從而x1=2x0,且|QP|2=8-.因?yàn)镻

52、QPQ,且P(x1,-y1),所以=(x1-x0,y1)(x1-x0,-y1)=0,即(x1-x0)2-=0.由橢圓方程及x1=2x0得-8=0,解得x1=,x0=.22() ca222b24b22241e221be216x28y20 x2116x1220 x20 xQPQP21y1421x21116x4 6312x2 63從而|QP|2=8-=.故這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為+y2=,+y2=.20 x16322 63x16322 63x163評析評析本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、函數(shù)的最值等知識,考查了運(yùn)算能力,分析問題和解決問題的能力,綜合性較強(qiáng).考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓

53、的幾何性質(zhì)1.(2013江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0),右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1,F到l的距離為d2.若d2=d1,則橢圓C的離心率為.22xa22yb6答案答案33解析解析由題意得d1=,d2=-c=,已知d2=d1,即=,解得e=.bca2ac2bc62bc6bca332.(2013福建理,14,4分)橢圓:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于.22xa22yb3答案答案-13解析解析由

54、已知得直線y=(x+c)過M、F1兩點(diǎn),所以直線MF1的斜率為,所以MF1F2=60,則MF2F1=30,F1MF2=90,如圖,故MF1=c,MF2=c,由點(diǎn)M在橢圓上知:MF1+MF2=c+c=2a,故e=-1.3333ca33.(2014江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F1、F2分別是橢圓+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連接F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且BF2=,求橢圓的方程;(2)若F1CAB,求橢圓離心率e的值.22xa22yb4 1,3 32解析解析設(shè)橢圓的焦距為2c,則

55、F1(-c,0),F2(c,0).(1)因?yàn)锽(0,b),所以BF2=a.又BF2=,故a=.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以+=1,解得b2=1.故所求橢圓的方程為+y2=1.(2)因?yàn)锽(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為+=1.解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又AC垂直于x軸,由橢圓的對稱性,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為.22bc224 1,3 32169a219b22xxcyb22221,1,xycbxyab2122221222,(),a cxacb cayac220,.xyb22222222(),a cb caacac22222222(),a cb acacac因?yàn)橹本€F1C的斜率為=

56、,直線AB的斜率為-,且F1CAB,所以=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.2222222()02()b acaca ccac 2223()3b aca ccbc2223()3b aca ccbc1555考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系1.(2018課標(biāo)全國理,20,12分)已知斜率為k的直線l與橢圓C:+=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m0).(1)證明:k-;(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且+=0.證明:|,|,|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.24x23y12FPFAFBFAFPFB解析解析本題考查橢圓的幾何性質(zhì)

57、、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列的概念及其運(yùn)算.(1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1.兩式相減,并由=k得+k=0.由題設(shè)知=1,=m,于是k=-.由題設(shè)得0m,故k-.(2)由題意得F(1,0).設(shè)P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2mb0)的離心率為,焦距為2.(1)求橢圓E的方程;(2)如圖,動直線l:y=k1x-交橢圓E于A,B兩點(diǎn),C是橢圓E上一點(diǎn),直線OC的斜率為k2,且k1k2=.M是線段OC延長線上一點(diǎn),且|MC| |A

58、B|=2 3,M的半徑為|MC|,OS,OT是M的兩條切線,切點(diǎn)分別為S,T.求SOT的最大值,并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.22xa22yb223224解析解析本題考查橢圓的方程,直線與橢圓、圓的位置關(guān)系,考查最值的求解方法和運(yùn)算求解能力.(1)由題意知e=,2c=2,所以a=,b=1,因此橢圓E的方程為+y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,由題意知0,且x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.由題意可知圓M的半徑r=|AB|=.ca22222x2211,23,2xyyk x21k31212 321kk 2

59、112(21)k 211 k222112111 812kkk232 2322112111 821kkk由題設(shè)知k1k2=,所以k2=,因此直線OC的方程為y=x.聯(lián)立得x2=,y2=,因此|OC|=.由題意可知sin=,而=,24124k124k2211,22,4xyyxk2121814kk2111 4k22xy21211 814kk2SOT|rrOC1|1OCr|OCr21212211211 81411 82 2312kkkkk3 2421221112141kkk令t=1+2,則t1,(0,1),因此=1,當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=2時(shí)等號成立,此時(shí)k1=,所以sin,因此,所以SOT的最大值為.綜

60、上所述:SOT的最大值為,取得最大值時(shí)直線l的斜率k1=.21k1t|OCr32221ttt 3221112tt322111924t1t12222SOT122SOT63322思路分析思路分析(1)由離心率和焦距,利用基本量運(yùn)算求解;(2)聯(lián)立直線l與橢圓方程,利用距離公式求出|AB|,聯(lián)立直線OC與橢圓方程求|OC|,進(jìn)而建立sin與k1之間的函數(shù)關(guān)系,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.2SOT疑難突破疑難突破把角的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,即由sin=f(k1)求解是解題的突破口.2SOT1|1OCr解后反思解后反思最值問題一般利用函數(shù)的思想方法求解,利用距離公式建立sin與k1之間的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵