微分方程與差分方程知識網(wǎng)絡(luò)圖內(nèi)容與要求了解常

1、第六章微分方程與差分方程、知識網(wǎng)絡(luò)圖亠定義微分方程的根本概念方程的階解與通解，初始條件與特解'可別離變量方程-階微分方程一階齊次微分方程 一階線性微分方程-可降階的二階微分方稗才=fxf刀型二階微分方劉lx = f(y,力型二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程 仁階常系數(shù)非齊決線酬分方程差分及差分方程的定義差分方齊一階常系數(shù)線性差分方程£齊次方程yt+1 7耳=0的解陸 .非齊次方程yf+1 -yt = /W的解法二、內(nèi)容與要求i了解常微分方程及其階、解、通解、初始條件、特解等概念.2. 能正確判斷一階微分方程的類型，熟練掌握可別離變量方程、齊次方程和一階線性微分

2、方程的解法.3. 能用降階法解特殊類型的高階微分方程包括的解法4. 熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，掌握高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.5. 理解二階線性方程的通解結(jié)構(gòu)，掌握自由項(xiàng)形如J <近丨址；的二階常系數(shù)非齊次線微分性方程的解法.6. 會對一些簡單的經(jīng)濟(jì)、幾何等問題建立微分方程模型并求解.7. 了解差分與差分方程及其通解與特解等概念.8掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法.9.會用微分方程和差分方程求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題.重點(diǎn)微分方程與差分方程的概念；可別離變量微分方程、一階線性微分方程、二階常系數(shù)線性微分 方程的解法；一階常系數(shù)線性差分方程的解法.難點(diǎn)二階常系數(shù)非齊次

3、線性微分方程的求解；一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解；微分方程與 差分方程的應(yīng)用.三、概念、定理的理解與典型錯(cuò)誤分析1根本概念(1) 微分方程表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程，稱為微分方程.(2) 微分方程的階微分方程中未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.(3) 微分方程的解代入微分方程能使其成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.(4) 微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分 方程的階數(shù)相等，那么這樣的解稱為微分方程的通解通解有兩種：一種稱顯式通解，一種稱隱式通解.(5) 微分方程的特解微分方程的解如果是完全確定的(即不含有任何

4、參數(shù))，稱為微分方程的 特解.微分方程的特解的圖形是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線.(6) 微分方程的初值問題求滿足一定條件的微分方程的特解，這個(gè)問題稱為微分方程的初值問題，這個(gè)條件稱為微分方程的初始條件.(7) 階差分(8)階差分-丫 '為原數(shù)列的一階差分.1 .二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.(9) 差分方程含有自變量未知函數(shù)I或求知函數(shù)I的差分的方程稱為差分方程.(10) 差分方程的階差分方程中所含未知函數(shù)差分的實(shí)際最高階數(shù)或方程中未知函數(shù)的最大下標(biāo) 與最小下標(biāo)的差數(shù)稱為此差分方程的階.(11) 差分方程的解滿足差分方程的函數(shù)，稱為差分方程的解.(12) 差分方程的通解假設(shè)

5、解中所含相互獨(dú)立的任意常數(shù)個(gè)數(shù)與差分方程的階數(shù)相同， 那么這個(gè)解稱為此差分方程的通解.(13) 差分方程的特解確定了任意常數(shù)的解，稱為此差分方程的特解.(14) 差分方程的初始條件用來確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件.2、主要定理(1) 對二階常系數(shù)齊次線性微分方程我們有定理1假設(shè)是方程的兩個(gè)解，那么y - 1/1+C仍 也是方程的解，其中是任 意常數(shù).特別地，當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，那么 ?二C仍+C仍是方程的通解.(2) 對二階常系數(shù)非齊次線性微分方程我們有定理2假設(shè)是方程的一個(gè)特解，是其對應(yīng)的齊次方程的通解，那么=/ + / = / + ?1+2 是方程的通解，其中 C沁是任意常數(shù).定理3

6、設(shè)分別是非齊次線性微分方程:叮門=中二I和：匕的特解，那么 為+旳 是方程 才+用+卵恥)+朋) 的特解.3、微分方程和差分方程的類型及解法形如的方程.(1) 一階微分方程及其解法解法別離變量(即把含有(i )可別離變量的微分方程x的放在一邊，把含有 y的放在另一邊)，將方程變?yōu)樽?兩邊積分廠得.這是方程的隱式通解，假設(shè)化簡方便，那么化簡為的方程.血(ii )齊次微分方程形如 二. .u= -T 5!| _ = u + i 解法 作變量代換，令，代入方程得u+x-=/(u), BP- = -(jtKCR I代入，即得原方程這是一個(gè)變量u關(guān)于變量x的可別離變量的方程， 求岀U的通解，再用的通解.

7、(iii )一階齊次線性微分方程的方程.解法別離變量法.(iv ) 階非齊次線性微分方程dy形如的方程.解法常數(shù)變易法或公式法.常數(shù)變易法先解對應(yīng)齊次方程一，-"J 1''的通解，然后將通解中的常數(shù)C變易為待定函數(shù)通解公式法dx + c代入原方程求出待定函數(shù)(二，便得方程的通解.(v)貝努利方程形如:丁(n工0, 1 )的方程."廠"那么J(l Q廠卑解法作變量代換，令一代入方程得嚶+(j)甲 1(1")妙解.(2)高階微分方程及其解法(i )可降階的高階微分方程解法經(jīng)過n次積分，就可得方程的通解.這是一個(gè)變量z關(guān)于x的一階線性微分方程.

8、求出通解，再用-代入即得原微分方程的通型(不顯含)解法設(shè)M止心工； ，'.，代入方程得 C ' “ ，這是一個(gè)p關(guān)于x的一階微分方程，求出通解，再積分就可得原方程的通解.型(不顯含)解法設(shè)"八，'，代入方程得V，這是一個(gè)p關(guān)于y的一階微分方程,求岀通解，再別離變量，積分就可得原方程的通解.(ii )二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程(其中p ,q為常數(shù))解法第一步：寫岀特征方程'1 ；第二步：計(jì)算特征根一；第三步：根據(jù) 一 .!的不同情況，按下表寫出方程的通解.特征根Z方程的通解兩個(gè)不同的實(shí)根卩工勺尹之譚+巾尹1兩個(gè)相同的實(shí)根r-r-ry - (c1

9、-c2x)en!一對共純復(fù)根q ,勺二O士工0y = eaif(tji cos + sin 岳)(iii )二階常系數(shù)非齊次線性微分方程形如-.py'-r:,二的方程(p ,q為常數(shù))解法 先求出對應(yīng)齊次微分方程- 的通解 J ;，再求出原方程的一個(gè)特解，那么原方程的通解為y(© = y(E +y "(Q.下面以表格形式列岀的兩種不同類型時(shí)，特解的形式然后代入方程用待定系數(shù)法求岀特解./w的形式條件特解丿匕)的形式A不是特征方程根嚴(yán)=2尹兄杲特征片程單根宀訛如靈是特征方程重根宀畑(如f (x)=嚴(yán) pi (兀)cos 伽 +p a (jr) sin dtrA 土i

10、Q不是 特征芳程根+應(yīng)賊(x) sin伽 (聊二 max(Zf)込土id)是 特征方程根+ Rm (x) sin 處3 (3) 階常系數(shù)線性差分方程的解法(i )一階常系數(shù)齊次線性差分方程 形如的方程解法 寫岀特征方程八一，得特征根，二匸，那么差分方程的通解為'二 其中為任意常數(shù).(ii ) 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程形如 片+1 一叭=/W 的方程解法先求岀對應(yīng)齊次差分方程的通解'，再求出原方程的一個(gè)特解人，那么原方程的通解為；'幾)"E© 帖0)其中 P北 是的：次多項(xiàng)式，那么方程 片+i叭=/W 的特解形式為*甘QJD*跡是特征棍?，&quo

11、t;護(hù)a 堤特征檢4、典型錯(cuò)誤分析(1)注意方程有漏解的情形在求解方程過程中，有時(shí)會岀現(xiàn)漏解，特別是有分式運(yùn)算時(shí)，要注意分母為零的情形.例如求VI】的通解.解別離變量得.兩邊積分，得通解J1-于=arcsin x + C此外一 也是方程的解，這不能由 一'確定，此解易被漏掉.(2)作變量替換后，注意代回原來變量j - 4y = ;?尹耳例如求一t的通解.1H 二一解 這是伯努利方程，1，令，竺=1+空- 一二，代入原方程得dz 2xz 二一.V.上1 .由一階線性方程求解公式，得通解J紐r%寸樹.小 Ji 1JJ2匕丿I此題到此并未解答完畢，最后應(yīng)代回原變量 ?:，得(3)求通解時(shí)，注

12、意任意常數(shù)在求一階微分方程通解時(shí)，其任意常數(shù)是必須有的，且岀現(xiàn)在適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算位置上，不能隨意添加或 刪去，否那么會岀錯(cuò).= 2dx例如求方程；的通解.兩邊積分2dx得通解訓(xùn)二2x或y = +C . 上述訕二2x是解，但不是通解；而I - "'隨意加任意常數(shù)，不是方程的通解.丄 dy=2dx 1& 廣此題正確的解法是，由丿得血A -山十5，得通解(4) 對二階線性微分方程通解的理解錯(cuò)誤例如 給出二階線性微分方程的兩個(gè)解_!，那么該方程的通解為尸C仍+C仍解 上述結(jié)論是錯(cuò)誤的，因?yàn)閍. 沒有明確所給方程是“齊次還是非齊次；，那么該方程的通解為b. 沒有明確所給的兩個(gè)解是“線

13、性相關(guān)還是“線性無關(guān).如果把問題改為給岀二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解' i '(其中一 1為任意常數(shù))成立.(5) 對二階線性非齊次微分方程疊加原理(定理 1)的理解錯(cuò)誤例如容易驗(yàn)證 71 = -1)3 和 >2=(x+l)a 都是微分方程丨 和的解，那么兩個(gè)解的疊加(其中為任意常數(shù))都滿足上述兩個(gè)方程.解 上述結(jié)論是錯(cuò)誤的，可以驗(yàn)證 y = G(-l)2+C 總+1F只滿足前一個(gè)方程而不能滿足后一個(gè)方程，其原因在于：上述兩個(gè)微分方程在本質(zhì)上有差異，前一個(gè)方程是線性齊次微分方程，后一個(gè)方程是非線性微分方程我們知道解的疊加原理(定理1 )只適用于線性齊次方程，而非線性方程不具有此性質(zhì)，因此兩個(gè)解的疊加只滿足第一個(gè)方程，而不滿足第二個(gè)方程.例如 設(shè)；二 為一連續(xù)函數(shù)，且滿足方程 J (")，求門解 這是一個(gè)含有變上限的積分方程，可改寫為/(z) = sm i- xjQ兩邊對求導(dǎo)，得/f(x)