畢業(yè)論文多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用

1、 . 多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用摘要 多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘數(shù)法、標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式符號(hào)法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法等方法在解多元函數(shù)條件極值問題上的運(yùn)用，以與探討多元函數(shù)條件極值在證明不等式、物理學(xué)、生產(chǎn)銷售等問題上的應(yīng)用.關(guān)鍵詞極值；條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；梯度法；應(yīng)用AbstractThe multivariate function conditional extreme value is an important part of the differential calculus. This article ma

2、ninly analicys substitution method，Lagrange multiplier method, Substitution of standard quantum method,Inequality method, Quadratic equation discriminent method,Gradient method and Mathematicalcombination methodin solving the multivariate function conditional extreme value. And discuss the applicati

3、onsof multiple function conditional extreme value inproving inequality ,physics and production sales.key wordsExtremum,Conditional extreme value,Lagrange multiplier method,Gradient method, Application1.引言多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，它不僅在理論上有重要的應(yīng)用，而且在其它學(xué)科與有關(guān)實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，于是如何判定與求解多元函數(shù)條件極值就成為許多學(xué)者研究的問題，雖然以前也

4、有不少學(xué)者研究過，但多數(shù)還只是理論上的研究，實(shí)際利用方面的研究較少.如文1討論了方向?qū)?shù)法在求解多元函數(shù)條件極值上應(yīng)用，文2討論了柯西不等式在求解一些特殊的多元函數(shù)條件極值問題時(shí)的應(yīng)用.本文首先對(duì)多元函數(shù)條件極值的解題方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，通過具體實(shí)例對(duì)各種解法進(jìn)行分析類比，從中可以看到不同的條件極值問題可以有不同的解題方法，其中最常用的是拉格朗日乘數(shù)法，但對(duì)有些問題若能用一些特殊解法可以更簡單.面對(duì)不同的極值問題如何采用最佳的解決方法是快速解題的關(guān)鍵.文章最后討論了如何通過條件極值解決不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷售等實(shí)際應(yīng)用問題.2.簡單介紹多元函數(shù)極值與條件極值的有關(guān)概念2.1函數(shù)的極值定義

5、2.1.1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域有定義,如果對(duì)該鄰域任一異于的點(diǎn)都有(或)，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值(或極小值).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).2.2函數(shù)的條件極值定義2.2.1函數(shù)在個(gè)約束條件下的極值稱為條件極值.3. 多元函數(shù)普通極值存在的條件定理3.1（必要條件）若元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則有備注：使偏導(dǎo)數(shù)都為的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理3.2（充分條件）設(shè)元函數(shù)在附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且為的駐點(diǎn).那么當(dāng)二次型正定時(shí)，為極小值；當(dāng)負(fù)定時(shí)，為極大值；當(dāng)不定時(shí)，不是極值.記，并記，它稱為的階矩陣.對(duì)于二次型正負(fù)定的判斷有如下定理：定理3.3

6、若，則二次型是正定的，此時(shí)為極小值；若，則二次型是負(fù)定的，此時(shí)為極大值.特殊地，當(dāng)時(shí)，有如下推論：推論3.1若二元函數(shù)某領(lǐng)域具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 令 則 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，沒有極值.當(dāng)時(shí)，不能確定，需另行討論.4介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法4.1代入消元法通過一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡單的條件極值問題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無條件極值來解決.例4.1.1求函數(shù)在條件下的極值.解 由解得，將上式代入函數(shù)，得 解方程組 得駐點(diǎn) ，在點(diǎn)處，所以不是極值點(diǎn)從而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處無極值；在點(diǎn)處，又，所以

7、為極小值點(diǎn)因而，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值極小值為.4.2拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若與有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo)，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.定理4.2.1（充分條件） 設(shè)點(diǎn)與個(gè)常數(shù)滿足方程組 ，則當(dāng)方陣 為正定（負(fù)定）矩陣時(shí)，為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn)，因此為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲?例4.2.1求橢球在第一卦限的

8、切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.解 此橢球在點(diǎn)處的切平面為化簡,得 此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積 由題意可知，體積存在最小值，要使最小，則需最大；即求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最大值，其中，拉格朗日函數(shù)為由 解得;說明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.4.3 標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)

9、量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例4.3.1設(shè),求的最小值.解 取 為標(biāo)準(zhǔn)量, 令 ,則 (為任意實(shí)數(shù)),從而有 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)成立，所以的最小值為.4.4 不等式法4.4.1利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式為，這里，且等號(hào)成立的充分條件是.例4.4.1.1 已知，求的極小值.解 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，總有 ,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn)而“配、湊”成柯西不等

10、式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值.例4.4.2.1已知，求的最值.解 首先將 變形為；再設(shè) ，于是，根據(jù)柯西不等式與已知條件，有即： 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立；即當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，所以，.4.5 二次方程判別式符號(hào)法例4.5.1若,試求的極值.解 因?yàn)?,代入 得即 (1)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解, 必須即 解關(guān)于的二次不等式,得:顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求 (2)或 (3)的極值.由(2)得 (4)這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須,即 解此關(guān)于的二次不等式,得 .所以 ,.把 代入(4),得再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得

11、,當(dāng),時(shí),函數(shù)達(dá)到極小值-3.也可以從(3)作類似討論得出的極大值3和極小值-3.4.6 梯度法用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時(shí)組限制下的極值，方程組的解,就是所求極值問題的可能極值點(diǎn).其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，表示條件函數(shù)的梯度向量例4.6.1 從斜邊之長為的一切直角三角形中,求最大周長的直角三角形.解:設(shè)兩條直角邊為,本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的極值問題.根據(jù)梯度法,列出方程組 進(jìn)一步求解得 容易解出根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)兩條直角邊都為時(shí),直角三角形的周長最大.4.7 數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定

12、目標(biāo)的條件極值.例4.7.1 設(shè)，求的最值. 解法一 數(shù)形結(jié)合法解 設(shè)則， 即表示坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的平方的2倍顯然最大值為長軸的長38，最小值為解法二 消元法解 設(shè) ，則 故當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最小值.當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若注意到 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立即 故 ，此時(shí)（2）若，設(shè)，則問題變?yōu)榍蟮淖钪涤捎?，所以因此即最大值?8（3）若，做變換，則問題轉(zhuǎn)化為（1）（4）若，則問題轉(zhuǎn)化為（2）解法四 拉格朗日乘數(shù)法解 設(shè) 令 則 若 ，則，此時(shí) ；若 ，則，或此時(shí)從該題可以看出，用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過程都比較繁瑣，但通過數(shù)形結(jié)

13、合法和消元法法都可以簡捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問題時(shí)，我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最合適的解題方法，從而提高解題效率.5. 多元函數(shù)條件極值在理論和實(shí)際中的應(yīng)用舉例多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷售、證券投資分析、多元統(tǒng)計(jì)分析學(xué)里判別分析和主成分分析等問題上都有廣泛的應(yīng)用.由于本人其余學(xué)科知識(shí)和時(shí)間上的限制，不能很好地展開條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計(jì)分析上的應(yīng)用問題，具體容可以參考文獻(xiàn)8和文獻(xiàn)9，下面只討論條件極值在不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷售上的應(yīng)用.5.1 不等式證明例5.1.1證明不等式：.證 令，則只需證明函數(shù)在區(qū)域上存在最小值，對(duì)于，令，得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由一

14、元函數(shù)取極值的第一充分判斷法，為最小值點(diǎn)，即在曲線上取得最小值，最小值.故在上，即.5.2 物理學(xué)中光的折射定律證明例5.2.1設(shè)定點(diǎn)和位于以平面分開的不同光介質(zhì)中，從點(diǎn)射出的光線折射后到達(dá) 點(diǎn)，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為，求需時(shí)最短的傳播方式.解 設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，（如圖），光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為，光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為且，即問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在條件 下的最小值.作拉格朗日函數(shù)令 由此解得，即光線的入射角與折射角應(yīng)滿足：（光的折射定律）時(shí)光線傳播時(shí)間最短.5.3 生產(chǎn)銷售在生產(chǎn)和銷售商品的過程中，銷售價(jià)格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤增加，但同時(shí)也使消費(fèi)者的購買欲望

15、下降，造成銷售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價(jià)是相互影響的.廠家要選擇合理的銷售價(jià)格才能獲得最大利潤.5.3.1 用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案例5.3.1.1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品需要原料A和B，它們的單價(jià)分別為10元、15元，用單位原料A和單位原料B可生產(chǎn)單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn)112單位的該產(chǎn)品，問需要多少原料A和B？分析由題意可知，成本函數(shù).該問題是求成本函數(shù)在條件下的條件極值問題，利用拉格朗日常數(shù)法計(jì)算.解 令解方程組 這是實(shí)際應(yīng)用問題，所以當(dāng)原料A和B的用量分別為4單位，2單位時(shí)，成本最低.5.3.2利用條

16、件極值得出利潤最大化方案例5.3.2.1為銷售產(chǎn)品作兩種方式廣告宣傳，當(dāng)宣傳費(fèi)分別為時(shí)，銷售量是，若銷售產(chǎn)品所得利潤是銷量的減去廣告費(fèi)，現(xiàn)要使用廣告費(fèi)25萬元，應(yīng)如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤最大，最大利潤是多少？解 依題意，利潤函數(shù)為且 設(shè) 令 得 依題設(shè)，存在最大利潤，又駐點(diǎn)唯一，因此兩廣告分別投入15萬元和10萬元利潤最大.例5.3.2.2 一家電視機(jī)廠在對(duì)某種型號(hào)電視機(jī)的銷售價(jià)格決策時(shí)面對(duì)如下數(shù)據(jù)：（1）根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)?shù)貙?duì)該種電視機(jī)的年需求量為100萬臺(tái)；（2）去年該廠共售出10萬臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元；（3）僅生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)的成本為4000元；但在批量生產(chǎn)后，生產(chǎn)1萬臺(tái)時(shí)成本降低為每臺(tái)

17、3000元.問：在生產(chǎn)方式不變的情況下，每年的最優(yōu)銷售價(jià)格是多少？數(shù)學(xué)模型建立如下：設(shè)這種電視機(jī)的總銷售量為，每臺(tái)生產(chǎn)成本為，銷售價(jià)格為，那么廠家的利潤為 根據(jù)市場預(yù)測，銷售量與銷售價(jià)格之間有下面的關(guān)系：這里為市場的最大需求量，是價(jià)格系數(shù)（這個(gè)公式也反映出，售價(jià)越高，銷售量越少）.同時(shí)，生產(chǎn)部門對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的成本有如下測算：這里是只生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，是規(guī)模系數(shù)（這也反映出，產(chǎn)量越大即銷售量越大，成本越低）.于是，問題化為求利潤函數(shù) 在約束條件 下的極值問題.作Lagrange函數(shù) 就得到最優(yōu)化條件由方程組中第二和第四式得到，即將第四式代入第五式得到 再由第一式知 .將所得的這三個(gè)式子代入

18、方程組中第三式，得到由此解得最優(yōu)價(jià)格為 只要確定了規(guī)模系數(shù)與價(jià)格系數(shù)，問題就迎刃而解了.現(xiàn)在利用這個(gè)模型解決本段開始提出的問題.此時(shí)，.由于去年該廠共售出10萬臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元，因此得到；又由于生產(chǎn)1萬臺(tái)時(shí)成本就降低為每臺(tái)3000元，因此得到.將這些數(shù)據(jù)代入的表達(dá)式，就得到今年的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)為（元/臺(tái)）.6. 結(jié)束語本文通過對(duì)多元函數(shù)條件極值的各種解法與應(yīng)用的介紹，我們知道對(duì)于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，除了拉格朗日乘數(shù)法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學(xué)的方法，掌握好初等數(shù)學(xué)的方法求解多元函數(shù)條件極值有時(shí)候會(huì)更簡單，但其使用的過程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性,需要根據(jù)具體情況具體分析.拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.只有訓(xùn)練掌握各種解法，才能在解極值問題時(shí)選擇最佳方法快速解題.當(dāng)然，不足之處在所難免，如沒有對(duì)本文討論圍以外的條件極值的解法與應(yīng)用問題進(jìn)行展開，在論文完稿之際，我特別要感徐老師的細(xì)心指導(dǎo)，在我今后的學(xué)習(xí)、工作和生活方面，都要把老師的這種嚴(yán)格、一絲不茍的精神貫徹始終，從而不辜負(fù)徐老師對(duì)我的悉數(shù)關(guān)懷和耐心指導(dǎo)！參考文獻(xiàn)：1 唐軍強(qiáng).用方向倒數(shù)法求解多元函數(shù)極值J.科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2008，（15）：246-2472 汪元倫.兩類多元函數(shù)條件極值的簡捷求法J.師學(xué)院學(xué)報(bào)