數(shù)學(xué)建模上機指導(dǎo)書( 原稿)

1、數(shù)學(xué)建模上機指導(dǎo)書曾繁慧 編著遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院目 錄數(shù)學(xué)模型概論2MATLAB平臺簡介3實驗1 線性規(guī)劃模型5實驗2 非線性規(guī)劃模型7實驗3 一階常微分方程模型8實驗4 高階常微分方程模型9實驗5 時間序列模型10實驗6 多元線性回歸模型11數(shù)學(xué)模型概論應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的一項重要任務(wù)是從自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)以及現(xiàn)代化管理中提出問題和解決問題。這就要求我們學(xué)會如何將實際問題經(jīng)過分析、簡化，轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，然后用適當?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決。在這個過程中，如何將所考察的實際問題轉(zhuǎn)化為一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，即建立該實際問題的數(shù)學(xué)模型，是重要的一步。一、數(shù)學(xué)模型的概念和分類1、模型的概念模型是客觀

2、事物的一種簡化的表示和體現(xiàn)。模型可分為實物模型（形象）和抽象模型，抽象模型又可分為模擬模型和數(shù)學(xué)模型。2、數(shù)學(xué)模型的概念以解決某個現(xiàn)實問題為目的，經(jīng)過分析簡化，從中抽象、歸結(jié)出來的數(shù)學(xué)問題就是該問題的數(shù)學(xué)模型，這個過程稱為數(shù)學(xué)建模。3、數(shù)學(xué)模型的分類按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不同，可分為：初等模型、運籌學(xué)模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計模型、控制論模型等。按照數(shù)學(xué)模型應(yīng)用領(lǐng)域的不同，可分為：人口模型、交通模型、經(jīng)濟預(yù)測模型、金融模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型等等。按照人們對建模機理的了解程度的不同可分為：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。按照模型的表現(xiàn)特性可分為：確定性模型與隨機模

3、型、靜態(tài)模型與動態(tài)模型、離散模型與連續(xù)模型。二、數(shù)學(xué)建模的方法與步驟1、數(shù)學(xué)建模的方法機理分析法：根據(jù)人們對現(xiàn)實對象的了解和已有的知識、經(jīng)驗等，分析研究對象中各變量（因素）之間的因果關(guān)系，找出反映其內(nèi)部機理的規(guī)律的一類方法。測試分析法：當人們對研究對象的機理不清楚時，可以把研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，對系統(tǒng)的輸入輸出進行觀測，并以這些實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進行統(tǒng)計分析來建立模型，這樣的一類方法稱為測試分析法。綜合分析法：對于某些實際問題，人們常將上述兩種建模方法結(jié)合起來使用，例如用機理分析法確定模型結(jié)構(gòu)，再用測試分析法確定其中的參數(shù)，這類方法稱為綜合分析法。2、數(shù)學(xué)建模的一般步驟（1）建模準備：對實

4、際問題調(diào)查研究，收集與研究問題有關(guān)的信息、資料，查閱有關(guān)的文獻資料，明確問題的背景和特征，確定它可能屬于哪類模型等?？傊龊媒蕚涔ぷ?，明確所要研究解決的問題和建模要達到的主要目的。（2）分析與簡化：對所研究的問題和收集的信息資料進行分析，并根據(jù)建模的目的抓住主要的因素，忽略次要的因素，即對實際問題作一些必要的簡化，用精確的語言作出必要的簡化假設(shè)。這一步需經(jīng)過多次反復(fù)才能完成。（3）模型構(gòu)成：在前述工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)所作的假設(shè)，分析研究對象的因果關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言加以刻劃，就可得到所研究問題的數(shù)學(xué)描述，即構(gòu)成所研究問題的數(shù)學(xué)模型。（4）模型求解：選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解經(jīng)上述步驟得到的模型。一

5、般地，模型的解析解很難求得，常常應(yīng)用數(shù)值方法得到它的數(shù)值解。當現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法不能很好解決所歸結(jié)的數(shù)學(xué)問題時，就需要針對數(shù)學(xué)模型的特點，對現(xiàn)有的方法進行改進或提出新的方法以適應(yīng)需要。（5）模型的評價與改進：數(shù)學(xué)模型總是在不斷地分析、檢驗、評價中，不斷地進行改進和完善的。評價一個數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的標準是：模型是否便于求解；模型及其解能否反映現(xiàn)實問題，滿足解決實際問題的需要。（6）模型應(yīng)用：把經(jīng)過多次反復(fù)改進的模型及其解應(yīng)用于實際系統(tǒng)，看能否達到預(yù)期的目的。MATLAB平臺簡介MATLAB名字由MATrix和 LABoratory 兩詞的前三個字母組合而成。那是20世紀七十年代后期的事：時任美國新墨西哥

6、大學(xué)計算機科學(xué)系主任的Cleve Moler教授出于減輕學(xué)生編程負擔的動機，為學(xué)生設(shè)計了一組調(diào)用LINPACK和EISPACK庫程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN編寫的萌芽狀態(tài)的MATLAB。經(jīng)幾年的校際流傳，在Little的推動下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市場。從這時起，MATLAB的內(nèi)核采用C語言編寫，而且除原有的數(shù)值計算能力外，還新增了數(shù)據(jù)圖視功能。MATLAB以商品形式出現(xiàn)后，僅短短幾年，就以其良好的開放性和運行的可靠性，使原先控制領(lǐng)域里的封閉式軟件包（如英國的UMIST，

7、瑞典的LUND和SIMNON，德國的KEDDC）紛紛淘汰，而改以MATLAB為平臺加以重建。在時間進入20世紀九十年代的時候，MATLAB已經(jīng)成為國際控制界公認的標準計算軟件。到九十年代初期，在國際上30幾個數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中，MATLAB在數(shù)值計算方面獨占鰲頭，而Mathematica和Maple則分居符號計算軟件的前兩名。Mathcad因其提供計算、圖形、文字處理的統(tǒng)一環(huán)境而深受中學(xué)生歡迎。在歐美大學(xué)里，諸如應(yīng)用代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制、數(shù)字信號處理、模擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的教科書都把MATLAB作為內(nèi)容。MATLAB是攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的

8、基本工具。在國際學(xué)術(shù)界，MATLAB已經(jīng)被確認為準確、可靠的科學(xué)計算標準軟件。在許多國際一流學(xué)術(shù)刊物上，（尤其是信息科學(xué)刊物），都可以看到MATLAB的應(yīng)用。在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB被認作進行高效研究、開發(fā)的首選軟件工具。如美國National Instruments公司信號測量、分析軟件LabVIEW，Cadence公司信號和通信分析設(shè)計軟件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB為主要支撐。又如HP公司的VXI硬件，TM公司的DSP，Gage公司的各種硬卡、儀器等都接受MATLAB的支持。MATLAB的一些功能如下：MATLAB擁有世界一流水平的數(shù)值計算函

9、數(shù)庫。MATLAB自問世起，就抱定一個宗旨：其所有數(shù)值計算算法都必須是國際公認的、最先進的、可靠算法；其程序由世界一流專家編制，并經(jīng)高度優(yōu)化；而執(zhí)行算法的指令形式則必須簡單、易讀易用。MATLAB正是仰賴這些高質(zhì)量的數(shù)值計算函數(shù)贏得了聲譽。MATLAB數(shù)值計算函數(shù)庫的另一個特點是其內(nèi)容的基礎(chǔ)性和通用性。它正由于這一特點，而適應(yīng)了諸如自動控制、信號處理、動力工程、電力系統(tǒng)等應(yīng)用學(xué)科的需要，并進而開發(fā)出一系列應(yīng)用工具包。MATLAB的圖形可視能力在所有數(shù)學(xué)軟件中是首屈一指的。MATLAB的圖形系統(tǒng)有高層和低層兩個部分組成。高層指令友善、簡便；低層指令細膩、豐富、靈活。一般說來，不管二元函數(shù)多么復(fù)雜

10、，它的三維圖形，僅需10條左右指令，就能得到富于感染力的表現(xiàn)。數(shù)據(jù)和函數(shù)的圖形可視手段包括：線的勾畫、色圖使用、濃談處理、視角選擇、透視和裁剪。MATLAB有比較完備的圖形標識指令，它們可標注：圖名、軸名、解釋文字和繪畫圖例。MATLAB的圖形用戶界面(GUI)以其友好性和直觀易懂性在軟件編程上被廣泛使用。開發(fā)一個GUI程序的過程主要有：布局好圖形用戶界面對象和給這個圖形用戶界面編寫代碼。具體的開發(fā)步驟：GUI界面的設(shè)計和布局、GUI的編程、菜單的設(shè)計和布局以及菜單的編程。MATLAB的控制仿真功能SIMULINK。這是一個交互式操作的動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真、分析集成環(huán)境。它的出現(xiàn)使人們有可能考慮

11、許多以前不得不做簡化假設(shè)的非線性因素、隨機因素，從而大大提高了人們對非線性、隨機動態(tài)系統(tǒng)的認知能力。MATLAB開發(fā)了與外部進行直接數(shù)據(jù)交換的組件，打通了MATLAB進行實時數(shù)據(jù)分析、處理和硬件開發(fā)的道路。MATLAB的符號計算工具箱。1993年MathWorks公司從加拿大滑鐵盧大學(xué)購得Maple的使用權(quán)，以Maple為“引擎”開發(fā)了Symbolic Math Toolbox 1.0。MathWorks公司此舉加快結(jié)束了國際上數(shù)值計算、符號計算孰優(yōu)孰劣的長期爭論，促成了兩種計算的互補發(fā)展新時代。MATLAB的Notebook功能。MathWorks公司瞄準應(yīng)用范圍最廣的Word ，運用DDE

12、和OLE，實現(xiàn)了MATLAB與Word的無縫連接，從而為專業(yè)科技工作者創(chuàng)造了融科學(xué)計算、圖形可視、文字處理于一體的高水準環(huán)境。影像處理也是MATLAB最主要的特色與功能之一。影像是指經(jīng)過攝影而獲得的像。影像處理的科學(xué)定義是：使用計算機將數(shù)字影像信息進行數(shù)字化，并進一步予以分析、加強、編碼、解譯、分割、辨識、復(fù)原、強化、縮放、著色等及與之相關(guān)的技術(shù)。事實上MATLAB幾乎可以設(shè)計與處理所有的影像處理方面的問題。它不但可以生成各種各樣的影像，而且處理起來具有更高的理論層次水平。比如對一幅影像它可以取出該影像的外緣，而舍棄其它部分不要，它還可以對該影像進行傅立葉分析與處理把影像處理在頻域內(nèi)進行。數(shù)字

13、信號的處理。MATLAB對數(shù)字信號進行基本處理，包括進行快速傅立葉變換、求信號的功率譜和濾波等，從被處理的信號中獲得我們想要的信息。MATLAB的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)功能。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這門學(xué)科是受了人腦這部高度智能、發(fā)達的“機器”的啟發(fā)，而逐漸發(fā)展起來的一門前沿技術(shù)科學(xué)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢在于它的學(xué)習性和自動調(diào)整性，所以非常適合于處理非線性的問題。它被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)上，例如語音識別、實時語言翻譯、目標的跟蹤和識別、工業(yè)方面的過程控制等等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無論是工業(yè)應(yīng)用還是科學(xué)研究都是一個有力的工具，有著巨大的潛力。它的應(yīng)用主要是偏重于特征的提取、過程的控制和狀態(tài)的預(yù)測。實驗1 線性規(guī)劃模型一、實驗名稱：線性規(guī)劃模型設(shè)

14、備的最優(yōu)配備問題。二、實驗?zāi)康模赫莆站€性規(guī)劃模型的建模方法，并能用數(shù)值算法或MATLAB庫函數(shù)求解。三、實驗題目：某商店擬制定某種商品712有的進貨、售貨計劃，已知商店倉庫最大容量為1500件，6月底已存貨300件，年底的庫存以不少于300件為宜，以后每月初進貨一次，假設(shè)各月份該商品買進、售出單價如下表。月789101112買進（元/件）282625272423.5售出（元/件）292726282525四、實驗要求：1、若每件每月的庫存費用為0.5元，問各月進貨、售貨各為多少件，才能使凈收益最多？建立數(shù)學(xué)模型。2、利用相應(yīng)的數(shù)值方法求解此問題的數(shù)學(xué)模型。3、談一談你對這類線性規(guī)劃問題的理解。4

15、、舉一個簡單的二維線性規(guī)劃問題，并針對此問題將你所了解的線性規(guī)劃的求解方法作出總結(jié)。五、實驗內(nèi)容：線性規(guī)劃在MATLAB的庫函數(shù)為：linprog。語法為：x = linprog(f,A,b) x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(.)例如：線性規(guī)劃目標函數(shù)的系數(shù)：f = -5; -4; -6約束方程的系數(shù)及右端項：A = 1 -1 1 3 2 4 3 2 0;b = 20; 42; 30;lb = zeros(3,1);調(diào)用線性規(guī)劃程序linprog求解，得： x

16、,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,b,lb); x= 0.000015.00003.0000實驗2 非線性規(guī)劃模型一、實驗名稱：非線性規(guī)劃模型。二、實驗?zāi)康模赫莆辗蔷€性規(guī)劃模型的建模方法，并能用數(shù)值算法或MATLAB庫函數(shù)求解。三、實驗題目：某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其需求量可用下式來估算：，其中為產(chǎn)品單價（元/），為廣告費（元），產(chǎn)品的生產(chǎn)成本（元）由下式確定：。四、實驗要求：1、問該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品、產(chǎn)品的單價、和廣告費應(yīng)為多少，方能使該廠獲得的利潤最多？建立數(shù)學(xué)模型。2、利用相應(yīng)的數(shù)值方法求解此問題的數(shù)學(xué)模型。3、談一談你對這類這類規(guī)劃問題的理解。

17、4、將你所了解的非線性規(guī)劃的求解方法作出總結(jié)。五、實驗內(nèi)容：1、一元無約束優(yōu)化問題在MATLAB的庫函數(shù)為：fminsearch。語法為：x = fminsearch(fun,x0)例如，對于函數(shù) f(x) = sin(x) + 3 。function f = myfun(x)f = sin(x) + 3;用MATLAB的庫函數(shù)求解： x = fminsearch(myfun,2)或者求解： f = (x)sin(x)+3;x = fminsearch(f,2);2、多元無約束優(yōu)化問題在MATLAB的庫函數(shù)為：fminunc。語法為：x = fminunc(fun,x0)例如，對于函數(shù)：fun

18、ction f = myfun(x)f = 3*x(1)2 + 2*x(1)*x(2) + x(2)2; % Cost function用MATLAB的庫函數(shù)求解： x0 = 1,1;x,fval = fminunc(myfun,x0)求解得：x = 1.0e-008 * -0.7512 0.2479fval = 1.3818e-016實驗3 一階常微分方程模型一、實驗名稱：一階常微分方程模型人口模型與預(yù)測。二、實驗?zāi)康模赫莆粘Ｎ⒎址匠棠Ｐ偷慕７椒?，并能用?shù)值算法或MATLAB庫函數(shù)求解。三、實驗題目：下表列出了中國1982-1998年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，取1982年為起始年（），萬人，萬人。年

19、198219831984198519861987198819891990人口（萬人）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（萬人）115823117171118517119850121121122389123626124810四、實驗要求：1、建立中國人口的指數(shù)增長模型，并用該模型進行預(yù)測，與實際人中數(shù)據(jù)進行比較。2、建立中國人口的Logistic模型，并用該模型進行預(yù)測，與實際人中數(shù)據(jù)進行比較。3、在圖1中標出中國人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測

20、曲線。4、在圖2中畫出兩種預(yù)測模型的誤差比較圖，并分別標出其誤差（可以是平方誤差）。五、實驗內(nèi)容：常微分方程一階初值問題的MATLAB庫函數(shù)為：ode45等。語法為：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)實驗4 高階常微分方程模型一、實驗名稱：高階常微分方程模型餓狼追兔問題。二、實驗?zāi)康模赫莆崭唠A常微分方程模型的建模方法，并能用解析解法或數(shù)值算法求解，會利用MATLAB描述解曲線的運動軌跡。三、實驗題目：現(xiàn)有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米處，假設(shè)兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。四、

21、實驗要求：1、建立狼的運動軌跡微分模型。2、畫出兔子與狼的運動軌跡圖形。3、用解析方法求解，問兔子能否安全回到巢穴？4、用數(shù)值方法求解，問兔子能否安全回到巢穴？五、實驗內(nèi)容：常微分方程高階初值問題的MATLAB庫函數(shù)為：ode45等。語法為：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)例如函數(shù)： function dy = rigid(t,y)dy = zeros(3,1); % a column vectordy(1) = y(2) * y(3);dy(2) = -y(1) * y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);設(shè)置選項：options = odes

22、et('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4 1e-4 1e-5);求解得：t,Y = ode45(rigid,0 12,0 1 1,options);畫出解函數(shù)曲線圖形：plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')實驗5 時間序列模型一、實驗名稱：時間序列模型。二、實驗?zāi)康模赫莆找辉x散數(shù)據(jù)的時間序列模型的建模方法及模型誤差的分析與比較。三、實驗題目：某一商場112月份的銷售額（單位：萬元）時間序列數(shù)據(jù)如下表所示。月份123456789101112實際銷售額495355595051525251525359四、實驗要求：1、取，用簡單一次平均法預(yù)測下年一月份（第13月）的銷售額。2、取，用加權(quán)一次移動平均法（?。╊A(yù)測下年一月份（第13月）的銷售額。3、選擇合適的MATLAB庫函數(shù)作預(yù)測。4、對上面幾種預(yù)測方法作誤差的分析與比較。五、實驗內(nèi)容：1、多項式擬合的MATLAB庫函數(shù)為：polyfit語法為：p,S = polyfit(x,y,n)p,S,mu = polyfit(x,y,n)例如：x = (0: 0.1: 5)'y = erf(x);f = polyval(p,x);plot(x,y,