數(shù)學(xué)模擬測試（含答案）

1、數(shù)學(xué)模擬測試 一、填空1.已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是 2.已知直線平面，直線平面，給出下列命題,其中正確的是 . 3.等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，成等差數(shù)列， 4.已知向量若則的值為 5. 如圖，半徑為2的半圓有一內(nèi)接梯形，它的下底是O的直徑，上底的端點在圓周上若雙曲線以為焦點，且過兩點，則當(dāng)梯形的周長最大時，雙曲線的實軸長為 22分別過點作的垂線，垂足分別為，連結(jié),設(shè)則,等腰梯形的周長,令則，所以 ，所以當(dāng)即時，,此時，,因為為雙曲線的焦點，點在雙曲線上，所以實軸長.6.若在區(qū)間和內(nèi)各取一個數(shù)，分別記為和，則

2、方程表示離心率小于的雙曲線的概率為 （線規(guī)解題）7.中，角成等差數(shù)列是成立的 條件.充分不必要條件 8.設(shè)的展開式的各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)和為，若，則展開式中的系數(shù)為 9. 曲線在點處的切線方程為 . 10.如圖，在直角梯形中，是線段上一動點，是線段上一動點，則的取值范圍是 （建系解題） 11.已知直線交拋物線于兩點.若該拋物線上存在點，使得，則的取值范圍為_. 12在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，滿足，, 則的取值范圍是 .,，為鈍角，.13.在數(shù)列中，為數(shù)列的前項和且，則 當(dāng)時，即，所以，所以，所以.14.若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 . 由得或，即或.又，所以

3、或.因為不等式對恒成立，所以或.(1)令，則.令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以，所以.(2) 令，則，因為，所以，所以，所以在上是增函數(shù).易知當(dāng)時，故在上無最小值，所以在上不能恒成立.綜上所述，即實數(shù)的取值范圍是.二、解答題15.已知向量向量記（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若，求函數(shù)的值域. 16.已知各項均不為零的數(shù)列，其前項和滿足.在等差數(shù)列中，且是與的等比中項.(1)求和， 當(dāng)時，；當(dāng)時，.(2) 記，求的前n項和. 當(dāng)時，； 當(dāng)時，17.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為其范圍為，分別有五個級別：暢通;基本暢通;輕度

4、擁堵;中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶略谕砀叻鍟r段()，從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示(1)在這20個路段中，輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？(2)從這20個路段中隨機(jī)抽出3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望17.解：(1)由直方圖得：輕度擁堵的路段個數(shù)是，中度擁堵的路段個數(shù)是(2)的可能取值為 ， ，的分布列為0123 . 18.如圖所示，四邊形為直角梯形，為等邊三角形，且平面平面，為中點ABECDP（1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）在內(nèi)是否存在一點，使平面，如果存在，求的長；如果不存在

5、，說明理由 解：（1）證明如下：取的中點，連結(jié)，因為是正三角形，所以.因為四邊形是直角梯形，所以四邊形是平行四邊形，.又，所以.又因為,所以平面，所以.（2)因為平面平面，所以平面，所以.如圖所示，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系. ABECDPyxzO則，所以 ,， 設(shè)平面的一個法向量為，則 ，令，則,所以.同理可求得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.（3）設(shè)，因為，所以，,.依題意得即解得 ，.符合點在內(nèi)的條件.所以存在點，使平面，此時.19.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，圓的直徑為的長軸.如圖，是橢圓短軸的一個端點，動直線過點且與圓交于兩點，垂直于交橢圓于點.（1）求橢圓的方程；（2）求 面積的最大值，并求此時直線的方程.19.解：（1）由已知得到,所以,即.又橢圓經(jīng)過點,所以,解得,所以橢圓的方程是.（2）因為直線且兩直線都過點,當(dāng)斜率存在且不為0時,設(shè)直線,直線,即,所以圓心到直線的距離為,所以,由得,所以,所以.令,則,.當(dāng),即時,等號成立,故面積的最大值為,此時直線的方程為.當(dāng)?shù)男甭蕿?,即時, ;當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r,不符合題意;綜上, 面積的最大值為,此時直線的方程為.20.已知函數(shù)（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）若不等式對任意的都成立，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的最大值40.解：（1）證明如下：，