第19講 參極函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 微分 微分形式不變性

1、XT2.1 8. 分段分段函數(shù)函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)arctan 1 -1+ 1 42xxyxx 分析：分析：(1) 1&1 xx(2) 1x 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義1 0( )(1)lim1xf xfx 1 0( )(1)lim1xf xfx -1 + 42x ( 1)arctan14f arctanx1 0arctanarctan1lim1xxx 12 12 (1)f ？ ( 1)?fXT2.1 8. 分段分段函數(shù)函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)arctan 1 -1+ 1 42xxyxx 分析：分析：(1) 1&1 xx(2) 1x 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義1 0( )(

2、1)lim1xf xfx 1 0( )(1)lim1xf xfx ( 1)arctan14f 21 -11 2xxyx 12 12 1 (1)2f 1 0( )( 1)lim1xf xfx 1 0-1+424lim 1xxx 1 0-1+22lim 1xxx ( 1)f 不不存存在在第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算2.1.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念2.1.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則2.1.3 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.4 反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.5 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念2.1.6 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確

3、定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)180-2372.1.5 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念二、求高階導(dǎo)數(shù)二、求高階導(dǎo)數(shù)).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè).),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) (3)(1)(2)求求 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).xeysin (5)sin2(cossin )xexx二、求高階導(dǎo)數(shù)二、求高階導(dǎo)數(shù)(1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1. 直接法直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)

4、數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).e (cossin ) e ( sincos )xxyxxxx 2esin2ecosxxyxx e(cossin ),xxx 2esin ,xx 2e(cossin ).xxx (2)求求 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).xeysin 解解:sin(sin )xyex sin(cos )xyexsinsincoscos( sin )xxexxex sin2(cossin )xexxsincosxexsinsin() cos(cos )xxexex(3)(5).),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()(

5、nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 1201(1)nnyna xna x 解解:2301(1)(1)(2)nnyn na xnna x 1na 22na 二、求高階導(dǎo)數(shù)二、求高階導(dǎo)數(shù)1. 直接法直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).P115 LT 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ( )1(1)!( 1)(1)nnnnyx ( )1()1nx 1!( 1)1nnnx ( )(ln )nx ( )1()nx 1(1)!(

6、 1)nnnx 1!( 1)nnnx P116 LT4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) )2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn2. n階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu ( )(3)()nu v( )(1)(2)()( )( )(1) 2!(1)(1)!nnnn kknn nuvnuvuvn nnkuvuvk ()( )0nkn kknkC uv 練習(xí)練習(xí).,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux (20

7、)y 20222xex)9520(22220 xxex2(19)220()()xex 2(18)220(201)()()2!xex 0 19220 22xex18220 19222!xe 2(20)2()xex常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式( )(4)()nx ( )(5)(ln )nx ( )(2)(sin)nkx ( )(3)(cos)nkx ( )(1)() (0)xnaa( )()xne ( )1()nx 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).3. 間接法間接法: lnnxaa xesin(

8、)2nkkxn cos()2nkkxn (1) (1)nnx 1(1)!( 1)nnnx 1!( 1)nnnx 練習(xí)練習(xí).,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解：解：211yx 66)1(1)1(160 xx(5)ynnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx111()211xx6615!5!2(1)(1)xx 223d4sind(cos2)yyxy 4隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)222dsinddcos2dyyyxyx d1d1cos0d2dyyyxx d2d2cosyxy 22ddyx 解：解： 將方程兩邊對(duì)將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得繼續(xù)方程兩邊對(duì)繼續(xù)

9、方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得1dsin2dyyx 1cos2y ddyx22d0dyx 2ddyx高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例1.直接法直接法2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3.間接法間接法4隱函數(shù)隱函數(shù)、2.1.5 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算2.1.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念2.1.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則2.1.3 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.4 反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.5 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念2.1.6 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所

10、確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)參數(shù)方程設(shè)參數(shù)方程( ),xt ( ),yt ( ,)t 2.1.6 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( ), ( ,),( ),( ),xttxtyt 若若嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)d( )d( )ytxt 1. 參數(shù)方程求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則d( )ddd ( )ddtyttxt dd.ddytxt( ), ( ),xtyt d( ).d( )ytxt 1( )x ddyx ( ).( )tt 1.( ) t 1( ) ( )tx 1. 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 )cos1()sin( ayax所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)y = y(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)).0(d

11、daxy解解: :d( (1cos )d( (sin )yaxa sin1cos 0 2 a ).0(4sincos33 aayax處處的的切切線線方方程程在在 ,4when 4d dykx 切切線線斜斜率率33d( sin)d( cos)yaxa 223sincos3cos( sin ) tan a aoyx322,24xaa24ya tan4 22 ()44yaxa 切切線線方方程程: :2 0.2xya或或1 ddd/dddyxtxt ddddyxxddddddyttxx 22ddyx dcosdsinybtxat 解解cotbta 2cscsinbtaat 23sinbat )(, )

12、(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率P119LT3解解,秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升t500tanh 求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊對(duì)對(duì)t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多少多少員視線的仰角增加率是員視線的仰角增加率是觀察觀察米時(shí)米時(shí)當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為米處離地面鉛直上升米處離地面鉛直上升一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員),(th其高度為其高度為則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線),(t tdd 5001 th

13、dd ,/140dd秒秒米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h500, tan1,h 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)50022sec1tan相關(guān)變化率解法三步驟相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì)t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率0),( yxFtytxdddd和和之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式 代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率代入指定時(shí)刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)2.1.6 由參數(shù)方程方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、參數(shù)方程

14、求導(dǎo)法則、參數(shù)方程求導(dǎo)法則2、由極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)、由極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)2、極坐標(biāo)式求導(dǎo)、極坐標(biāo)式求導(dǎo)(1) 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系oMr xC(2) 曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程cossinxryr ( )rr 如如,:ra 圓圓ra 半射線半射線 ：極軸、極點(diǎn)：極軸、極點(diǎn)( , )0F x y (3) 極坐標(biāo)式求導(dǎo)極坐標(biāo)式求導(dǎo)設(shè)曲線設(shè)曲線: rr 化為直角坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)下參數(shù)式為下參數(shù)式為 cossinxryr 則則 sincosddcossinrryxrr tanddtanrryxrr xyO rr rtan 則則, tandtand1tanrryrxr 從而從而 tan

15、tantantan1tantanrr 為徑向沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到切線位置的夾角為徑向沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到切線位置的夾角.xyO rrr tanddtanrryxrr tantantan()1tantan P122 LT4 由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程 r =1所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy/dx cossinxryr cossinxy dcosdsinyx xy P111 LT3 求方程求方程 x2+y2 =1所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).42sin處處的的法法線線方方程程在在求求曲曲線線 ar解解 將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成 cos)( rx cos2sina

16、 sin)( ry sin2sina )( 為參數(shù)為參數(shù) 則曲線的切線斜率為則曲線的切線斜率為xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為又切點(diǎn)為隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法線方程為故法線方程為axay2222 即即0 yx, 1參數(shù)方程參數(shù)方程 這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,借助借助參數(shù)方程處理問題的方法參數(shù)方程處理問題的方法,在高等數(shù)學(xué)中將在高等數(shù)學(xué)中將多次遇到多次遇到.第一節(jié)第一

17、節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算2.1.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念2.1.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則2.1.3 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.4 反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.1.5 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念2.1.6 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0lim =0f (x) 點(diǎn)點(diǎn)x0y x 0 xxx 00()()yf xxf x 0( )()yf xf x f (x) 點(diǎn)點(diǎn)x0 連續(xù)連續(xù)xy)(lim00 xfxyx 點(diǎn)點(diǎn)x0 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)第二章第二章 微分學(xué)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算第二節(jié)第二節(jié) 微分微分0

18、( )()yf xf x 20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由2Ax 正正方方形形面面積積的的改改變變量量2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(

19、xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值 問題問題: : 一般一般函數(shù)函數(shù)y=f (x)是否也有是否也有 y=f (x+ x)-f (x)=A x+o( x)? ),(無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xA A是什么是什么? 如何求如何求?二、微分的定義二、微分的定義00: d d ()x xyf x 記記作作 或或, )(,)()()()().(0000的的微微分分相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)并并且且稱稱可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱成成立立如如果果設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyxAxxfyxoxAxfxxfyxfy . xA 二、微分的定

20、義二、微分的定義函數(shù)的函數(shù)的微分：微分：d.yy 微微分分叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量的的線線性性主主部部( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )( ),dd ( ),yf xxyf x 函函數(shù)數(shù)在在任任意意點(diǎn)點(diǎn) 的的微微分分 稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的微微分分 記記作作或或)()()(00 xoxAxfxxfy 0d()xxyox 0d.xxyAx d.yA x即即由定義知由定義知: :(1)d;yx 是是自自變變量量的的改改變變量量的的線線性性函函數(shù)數(shù)(2)dyy (3),Ax 是是與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù) 但但與與(4),d().xyy 當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)線線性性主主部部d.yA x A是什么是什么?如何求

21、如何求?;)(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxo ( );f xx和和 有有關(guān)關(guān)d()yyox 三、可微的條件三、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)可微的充要條件是可微的充要條件是在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證：證：(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00

22、xfxyx ),0(0 x ),()(0 xoxxf 00( ),().f xxfxA 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微且且).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo)00000000( ) ,D,()()()( ),( ),d=d ()x xyf xxxxyf xxf xAxoxyf xxAxyf xxxyf xAx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微 并并且且稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量的的微微分分記記作作二、微分的定義二、微分的定義 0.fxx .fxx, dyAx函函數(shù)數(shù)的的微微分分yxP132 LT3解解.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxy3d

23、()yxx .32xx 20.02dxxy .24. 0 d( ).yfxx02. 0223 xxxx,d ,d.xxxxx 通通常常把把自自變變量量 的的增增量量叫叫做做自自變變量量的的微微分分記記作作即即d( )d .yfxx d( ).dyfxx dd.yx即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分與與自自變變量量的的微微分分之之商商等等于于該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫 微微商商第二節(jié)第二節(jié) 微分微分)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x , d.yy 當(dāng)當(dāng)是是曲曲線線的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量時(shí)時(shí)就就是是切切線線縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的增增量量xx 0 P .,MNMPMx可

24、近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) d( )dyfxx : : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1. 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式d( ) d()d(sin ) d(cos )d(tan ) d(cot)d(sec ) d(csc )Cxxxxxxx 2 0 cos d secd sectan d x xx xxx x12 d sin d cscd csccot dxxx xx xxx x 21dxx 1d2xx 1d()xd()xd() d()d(log) d(ln )d(arcsin ) d(ar

25、ccos )d(arctan ) d(arccot)xxaaexxxxxx22 ln d 1 d ln1 d 11 d 1xaa xxxaxxxx 22 d1 d1 d11 1xexxxxxx dxdln sectanxx sec dx x dln csccotxx csc dx x 1. 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式1解：解：2ln(),d .xyxey設(shè)設(shè)求求 y2212dd .xxxeyxxe ,2xex 212xxe d()ddd()duvuvCuC ud()dduvv uu v2ddd( )uv uu vvv 21dd( )vvv 例例2解解:1 3cos ,d .x

26、yexy 設(shè)設(shè)求求1 3dcosd()xyxe )(31xe1 31 3dcos( 3)d( sin )dxxyxexexx 1 3(3cossin )d .xexxx 1 3d(cos )xex d()dduvv uu v.sin)(cosxx ,331xe 第二節(jié)第二節(jié) 微分微分的微分形式總是的微分形式總是是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx (1),d( )d ;xyfxx 若若 是是自自變變量量時(shí)時(shí)則則可微函數(shù)可微函數(shù)的的即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若),( ,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dy d( )d ,

27、xtt d( )d .yfxx 結(jié)論結(jié)論：微分形式的不變性微分形式的不變性( ) ( )dfxtt 2解解sin,d .axyebxy 設(shè)設(shè)求求dsind()cosd()axaxyebxaxebxbx sin()dcosdaxaxbx eaxebx bx ( cossin)d .axebbxabxx 1解解sin(21),d .yxy設(shè)設(shè)求求. 12,sin xuuydcos dyu ucos(21)d(21)xxcos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx ddsind(sin)axaxyebxebx1 3cos ,d .xyexy 設(shè)設(shè)求求3解解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)

28、在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.d()cosd ;t t d(sin)cosd ,tt t 1cosdd(sin)t tt 1d(sin)cosd .tCt t 1d(sin);t 1d2xx 1d()xd()x21d( )dxx 2d(sin)()d().xx 2d(sin)d()xx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxx3 在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.22 cosd1d2xxxxx一、一、 問題的提出問題的提出第二節(jié)第二節(jié) 微分微分二、二、 微分的定義微分的定義五、微分的求法五、微分的求法1. 微分公式微分公式2. 微分四則