2017年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷

1、2017年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.1. （5分）函數(shù)產(chǎn)25in（3xT）的最小正周期為 -2. （5 分）設集合 A=1, 3, B=a+2, 5, AAB=3, WJ AU B=.3. （5分）復數(shù)z=（1+2i） 2,其中i為虛數(shù)單位，則z的實部為.4. （5分）口袋中有若干紅球、黃球和藍球，從中摸出一只球.摸出紅球的概率 為0.48,摸出黃球的概率為0.35,則摸出藍球的概率為 .5. （5分）如圖是一個算法的流程圖，則輸出的 n的值為.6. （5分）右頭數(shù)x, y兩足則z=3x+2y的取大值為.7. （5分）抽樣統(tǒng)計甲、乙兩名學

2、生的 5次訓練成績（單位：分），結果如下：學生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏粚W生成績的方差為 .8. （5分）如圖，在正四棱柱 ABCA AiBiCiDi中，AB=3cm, AAi=1cm,則三棱錐Di- A1BD的體積為 cm3.*2 29. (5分)在平面直角坐標系xOy中，直線2x+y=0為雙曲線三3、=1 (a0, b a2 b20)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為 .10. (5分)九章算術中的 竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各 節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則

3、該竹 子最上面一節(jié)的容積為 升.11. (5分)在 ABC中，若前?而+2正?正=承?則耳辿的值為.sinC12. (5分)已知兩曲線 f (x) =2sinx, g (x) =acosx, xC (0,?)相交于點P.若兩曲線在點P處的切線互相垂直，則實數(shù) a的值為.13. (5分)已知函數(shù)f (x) =| x|+| x-4| ,則不等式f (x2+2) f (x)的解集用 區(qū)間表示為.14. (5分)在平面直角坐標系xOy中，已知B, C為圓x2+y2=4上兩點，點A (1, 1),且AB,AC,則線段BC的長的取值范圍為 .二、解答題：本大題共6小題，共計90分.15. (14分)如圖，

4、在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角 % 其終邊與單位圓交于點 A.以OA為始邊作銳角B,其終邊與單位圓交于點B,AB岑5(1)求cos B的值；(2)若點A的橫坐標為之，求點B的坐標.16. (14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC, BD 相交于點。，點E為PC的中點，OP=OC PA，PD.求證：(1)直線PA/平面BDE;(2)平面BDE1平面PCD17. (14分)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓號十4二1 (ab0)的離心率為返，焦點到相應準線的距離為1. 2(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點。作OP的垂線

5、交直線 廠近于點Q,求一二二yOP2 OQZ 18. (16分)如圖，某機械廠要將長6m,寬2m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪.已 知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFEfi直線EF翻折 到MNFE處(點C, D分別落在直線BC下方點M, N處，F(xiàn)N交邊BC于點P),再沿直線PE裁剪.(1)當/EFP=L時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；4(2)若使裁剪得到的四邊形 MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由.19. (16分)已知函數(shù) f (x) =ax2-x-lnx, aCR.(1)當時，求函數(shù)f (x)的最小值； Q(2)若-1a0,證明：函數(shù)f (x)有

6、且只有一個零點；(3)若函數(shù)f (x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.20. (16分)已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且外，5，ak ，(4 t IEk2- kn2k包成立， n a nn求a1的取值范圍.南通市2017屆高三第一次調研測試數(shù)學R (附加題)選做題本題包括四小題， 請選2題作答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.選彳4-1:幾何證明選講21. (10分)已知圓O的直徑AB=4, C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE=2CD 求AOCE的面積.選彳4-2:矩陣與變換22. (10分)已知向量1是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量.在平

7、面直角坐標系xOy中，點P (1,1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻 (3, 3), 求矩陣A.選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程23. 在極坐標系中，求直線e1-(pER)被曲線p=4sin質截得的弦長.選彳4-5:不等式選講24. 求函數(shù)尸3sdnx+2每荻石的最大值.必做題共2小題，滿分20分)25. (10分)如圖，在棱長為2的正方體ABCA A1B1C1D1中，P為棱GD1的中點, Q為棱BB上的點，且BQ3 BB (廿0).(1)若人為,求AP與AQ所成角的余弦值；(2)若直線AA與平面APQ所成的角為45,求實數(shù)人的化26. (10分)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線x2=2py(

8、 p0)上的點M (m,1)到焦點F的距離為2,(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點E是拋物線上異于原點的點，拋物線在點 E處的切線與x軸相交 于點P,直線PF與拋物線相交于A, B兩點，求 EAB面積的最小值.第5頁(共30頁)2017年江蘇省南通市高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.1. （5分）函數(shù)尸工一土）的最小正周期為33【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin （葉?。┑闹芷诘扔?竺，得出結論.【解答】解：函數(shù)尸2KM3工一土）的最小正周期為 里，33故答案為：3【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，利用了 y=Asin （肝?。┑?

9、周期等于22L,屬于基礎題.2. （5分）設集合 A=1, 3 , B=a+2, 5, AH B=3,則 AU B= 1, 3, 5【分析】由交集的定義，可得a+2=3,解得a,再由并集的定義，注意集合中元 素的互異性，即可得到所求.【解答】解：集合 A=1, 3, B=a+2, 5, AH B=3,可得a+2=3,解得a=1,即 B=3, 5,則 AU B=1, 3, 5.故答案為：1, 3, 5.【點評】本題考查集合的交集、并集運算，注意運用定義法，以及集合中元素的 互異性，屬于基礎題. （5分）復數(shù)z=（1+2i） 2,其中i為虛數(shù)單位，則z的實部為 -3 .【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式

10、的乘法運算化簡得答案.【解答】!： V z= （1+2i） 2=1+4i+ （2i） 2=- 3+4i,；z的實部為-3.故答案為：-3.【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題.4. （5分）口袋中有若干紅球、黃球和藍球，從中摸出一只球.摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,則摸出藍球的概率為0.17 .【分析】利用對立事件的概率公式，可得結論.【解答】解：二.摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,摸出藍球的概率為1 -0.48-0.35=0.17.故答案為0.17.【點評】本題考查對立事件的概率公式，熟練掌握概率的基本性質是求解本題

11、的 關鍵.5. （5分）如圖是一個算法的流程圖，則輸出的 n的俏為57T 1 ? 口 - 1（H）【分析】由已知的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)計算a值，并輸出滿 足a0【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求最大值.【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.由 z=3x+2y 得 y= x+z2 乙平移直線y= x+-z,2 2由圖象可知當直線y=- Wx+*lz經(jīng)過點A時，直線y=-0x+Lz的截距最大， 2 22 2此時z最大.由產(chǎn)+解得a1什3尸7代入目標函數(shù)z=3x+2y得z=3X 1+2 X 2=7.即目標函數(shù)z=3x+2y的最大值為7.

12、故答案為：7.-5【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用， 利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結 合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.7. （5分）抽樣統(tǒng)計甲、乙兩名學生的 5次訓練成績（單位：分），結果如下:學生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070第9頁（共30頁）則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位學生成績的方差為20 .【分析】根據(jù)題意，分別求出甲、乙的平均數(shù)與方差，比較可得S甲2$乙2,則乙的成績較為穩(wěn)定；即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，對于甲，其平均數(shù)7甲=65+8升70+85+75=75其方差S甲 52(65- 75) 2+ (80- 75) 2+

13、(70- 75) 2+ (85- 75) 2+ (75- 75) 2 =50;5對于乙，其平均數(shù)乙=*計70+75+:0+70=75其方差s乙2=L(80- 75) 2+ (70 55 75) 2+ (75- 75) 2+ (80- 75) 2+ (70 75) 2 =20;比較可得：S甲2$乙2,則乙的成績較為穩(wěn)定；故答案為：20.【點評】本題考查方差的計算，注意掌握方差的計算公式.8. (5分)如圖，在正四棱柱 ABCA AiBiGDi中，AB=3cm, AA二1cm,則三棱QiCj錐Di- Ai BD的體積為_,_cm3.4s【分析】三棱錐Di AiBD的體積血二丫十人1)-d.dAB,

14、由此1111 w11能求出結果.【解答】解：二.在正四棱柱ABCD- AiBiCiDi中，AB=3cm, AA=icm,三棱錐Di-AiBD的體積:： 二 =vz 1 1 廣1111. W11=.，=yX3X IX 3=1 (cm3).故答案為：得.【點評】本題考查三棱錐的體積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空 間思維能力的培養(yǎng).2 29. （5分）在平面直角坐標系xOy中，直線2x+y=0為雙曲線三三=1 （a0, b a2 b20）的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為 二.【分析】利用雙曲線的漸近線方程得到 a, b關系，然后求解雙曲線的離心率即 可.22【解答】解：直線2x+y=0

15、為雙曲線三U=1 （a0, b0）的一條漸近線，a2 b2可得 b=2a,即 c - a2=4a2,可得=.n. a故答案為：二【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力.10. （5分）九章算術中的 竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各 節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹 子最上面一節(jié)的容積為 量升.一絲一【分析】設最上面一節(jié)的容積為ai,利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式列 出方程組，能求出結果.【解答】解：設最上面一節(jié)的容積為ai,由題設知d=34al(9%d) -(6a1+y-d)=4解得巧嗡.故答案為：, 22【點評】本題考查等

16、差數(shù)列的首項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意 等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的靈活運用.11. （5分）在 ABC中，若前?標+2位?屈=而?則空吟的值為 sinC【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的數(shù)量積，結合余弦定理和正弦定理，即可求出國迫的值.sinC【解答】解：在 ABC中，設三條邊分別為a、b, c,三角分別為A、B、C,得 ac?cosBn2bc?cosA=ba?cosC由余弦定理得：(a2+c2 - b2) + (b2+c2 - a2) = (b2+a2 - c2),222化簡得 =2,由正弦定理得空生=1=&. sinC c故答案為：丁.【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積

17、以及余弦定理和正弦定理的應用問題，是綜合性題目.12. (5分)已知兩曲線 f(x)=2sinx,g(x)=acosx,xC (0,)相交于點P.若兩曲線在點P處的切線互相垂直，則實數(shù) a的值為竽.【分析】聯(lián)立兩曲線方程，可得tanx主血 =1, a0,設交點P (m, n),分別 cosx 2求出f (x), g (x)的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,再由同角基本關系式，化弦為切，解方程即可得到a的值.【解答】 解：由 f (x) =g (x),即 2sinx=acosx即有 tanx=Kn=2 a0,COSK 2設交點P (m, n),f (x) =2sinx

18、的導數(shù)為 f(x) =2cosx,g (x) =acosx的導數(shù)為 g (x) =- asinx,由兩曲線在點P處的切線互相垂直，第11頁（共30頁）可得 2cosm? ( asinm) =- 1,且 tanm=, 2則:一 1- 1 =1.si nin+co s in分子分母同除以cos2m,即有-1 -：1 =1,即為a2=i+- 4 解得a=-.1+ta rTm3故答案為：巫.3【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,同時考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.13. (5分)已知函數(shù)f (x) =| x|+| x-4| ,則

19、不等式f (x2+2) f (x)的解集用區(qū)間表示為班, +8)_【分析】 令 g (x) =f (x2+2) - f (x) =x2+2+| x2- 2| - | x| - | x - 4| ,通過討論 x 的范圍，求出各個區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可.【解答】 解：令 g (x) =f (x2+2) - f (x) =x2+2+| x2 - 2| - | x| - | x- 4| ,x4 時，g (x) =2。2x+40,解得：x4;血&x0,解得：x&或 x一故&x 4;00x0,不合題意；-&x0,不合題意；x0,解得：x1 或 x 2,故 xb0) a b的離心率為率，焦點到相應

20、準線的距離為1.(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點。作OP的垂線交直線 三日于點Q,求，二一OP2 0Q?然后求解橢圓的方程.【分析】(1)由已知條件可得 工q區(qū)，卦d , a 2 c(2)由題意知OP的斜率存在.當OP的斜率為0時，求解結果；當OP的斜率2不為0時，設直線OP方程為y=kx.聯(lián)立方程組，推出op2二%ii.OQ2=2k2+2.然 2k41后求解即可.【解答】解：(1)由題意得，工里,二-51,分 a 2 c解得a=V, c=1, b=1.2 廣所以橢圓的方程為5-+yJl.4分(2)由題意知OP的斜率存在.當OP的斜率為0時，足&, 0所以二1.十分OP2

21、 OQZ當OP的斜率不為0時，設直線OP方程為y=kx.V 2_2T+V n 得（2k2+1） x2=2,解得 /二1,所以/二T-, 產(chǎn)以2k%2k%2所以0p2=2k +2 .子分2k2+l因為OP,OQ,所以直線OQ的方程為尸乂.kfy=V2由， 1得用Mk,所以OQ2=2k2+2.僅分y=一 2-o-綜上，可知工一:1. 14分.OP2 0Q2【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，直線與橢圓的位置關系的綜合應用, 考查轉化思想以及計算能力.18. （16分）如圖，某機械廠要將長6m,寬2m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪.已 知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFEfi

22、直線EF翻折 到MNFE處（點C, D分別落在直線BC下方點M, N處，F(xiàn)N交邊BC于點P）, 再沿直線PE裁剪.（1）當/EFP三時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；4（2）若使裁剪得到的四邊形 MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由.第19頁（共30頁）【分析】（1）當/EFP=時，由條件得/ EFPW EFD=/ FEP亍.可得FN BC,四邊形MNPE為矩形.即可得出.（2）解法一：設/EFD= 8由條件，知/EFPM EFD4 FEPW.可得委聽眸3點后皿r四邊形MNPE 面積為$的（皿+廟）陋=|（3-/）+（37）X2=64r需甲，化 簡利用基本不等式的性質即可得出

23、.解法二：設 BE=tm , 3Vt 6 ,則 ME=6 - t .可得 PE=PF,即t-BP -2-2BP啖號NP=3-T+差孑,四邊形MNPE面積為sg(賄ME)MN=(3-t+照號) + (6-t) X2=6-1(t-3)+-,禾用基本不等式的性質即可得出.【解答】解：（1）當/EFP=L時，由條件得/ EFPW EFDW FEP三. 44所以/ FPE三.所以FNI BC, 2四邊形MNPE為矩形.分所以四邊形MNPE的面積S=PN?MN=2m2.5分（2）解法設NEFD= e Sa2L),由條件，知/ EFP之 EFD玄 FEP=e.2sin2 9Q00由37o 得，oe)然2 =

24、 22 sin2tanb22= 1 2/(必/日 +cq- 9 )( o 心 3)12分tan6 sin2 8 tan 2sin6 costan046-2、八an 8 =6-2 近 V tanU當且僅當1aBe二即謝。二F，e二二時取二：仰分 tan3此時，（*）成立.答：當NEFEh時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大, V最大值為6-2m2. 化分解法二：設 BE=tm, 3Vt3-(LBP)：3-tHj(U4分由3to 2(37 /u3-t+2O-t) 0r3t6得,t2-12t+310k_2所以四邊形 MNPE 面積為 S=(MP+ME)Mn4(3t+探%) +(6T) 乂2 =

25、比尹呼儂 = K L3當且僅當象L3)二七，即仁3+他 華時取“三” 乙X oY J o此時，(*)成立.14分答：當點E距B點m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大,最大值為6-2V3m2.化分.【點評】本題考查了函數(shù)的性質、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質、三 角函數(shù)的單調性應與求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.19. (16分)已知函數(shù) f (x) =ax2-x-lnx, aCR.(1)當舊時，求函數(shù)f (x)的最小值； -j(2)若-1aq 當 a0 XX時，函數(shù)f (x)在(0, +oo)上最多有一個零點，當-10a00時，f (1) =a- 11 2_ j.0,

26、推出結果.e c2(3)由(2)知，當a00時，函數(shù)f (x)在(0, +oo)上最多有一個零點.說明a0,由f (x) =aq xlnx,得尸(工)二叁心匚L, (x。)，說明函數(shù)f x(x)在(0, X0)上單調遞減；在(X0, +00)上單調遞增.要使得函數(shù)f(X)在(0, +OO)上有兩個零點，只需要axXo-lnXoO.通過 函數(shù)h (x) =2lnx+x- 1在(0, +00)上是增函數(shù)，推出 0a 1 .驗證當0a 0).分令 f (x) =0,彳# x=2,當 xC (0, 2)時，f (x) 0, 所以函數(shù)f (x)在(0, 2)上單調遞減，在(2, +8)上單調遞增.所以當

27、x=2時，f (x)有最小值f,二3-1口2 .4分2(2)由 f (x) =ax2-x- lnx,得仁 二2k1,二2ax rT x0 . KX所以當 a00 時，F(xiàn) G)二 2a JrT函數(shù)f (x)在(0, +00)上單調遞減，所以當a00時，函數(shù)f (x)在(0, +OO)上最多有一個零點.4分因為當一10a00 時，f (1) =a10,e e2所以當-1&a00時，函數(shù)f (x)在(0, +00)上有零點.綜上，當-1&a0 0時，函數(shù)f (x)有且只有一個零點.由分(3)由(2)知，當a00時，函數(shù)f (x)在(0, +刃 上最多有一個零點.因為函數(shù)f (x)有兩個零點，所以a0

28、.9分由 f (x) =a/- x- lnx, 得F (k)(x0), 令 g (x) =2a/-x- 1.因為 g (0) =- 10,所以函數(shù)g (x)在(0, +oo)上只有一個零點，設為x.當 x (0, x0)時，g (x) 0, f (x) 0,f (x) 0.所以函數(shù)f (x)在(0,刈)上單調遞減；在(x0, +00)上單調遞增.要使得函數(shù)f (x)在(0, +OO)上有兩個零點，只需要函數(shù)f (x)的極小值f (xo) 0,即己謚rQ-lnxo0,又因為函數(shù)h (x) =21nx+x- 1在(0, +00)上是增函數(shù)，且 h (1) =0,所以xO 1,得0-1 1.xo又由

29、2日君-工0-1二。，得2a=(工)+工二(上+ 2，0M M 功 24所以 0a1. 1初以下驗證當0a1時，函數(shù)f (x)有兩個零點.當0a0,所以u a因為 f上Mo,且 f (x。)0 (因為 lnx&x 1),且 f (小)0.a a2 a a a a所以函數(shù)f (x)在(*, Z)上有一個零點.u a所以當0a0). x x令 t (x) =0,彳# x=1.當 xC (0, 1)時，t (x) 0.所以函數(shù)t (x)在(0, 1)上單調遞減，在(1, +00)上單調遞增.所以當x=1時，t (x)有最小值t (1) =0.所以 t (x) =x- 1 - 1nx0,得 1nxx-

30、 1 成立.【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值，構造 法以及分類討論思想的應用，考查計算能力.第21頁(共30頁)20. (16分)已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且為，氣，at ，(ki12匕k2- kn2k包成立， in求ai的取值范圍.【分析】(1)由已知得：ai, a3, a8成等比數(shù)列，從而4d2=3aid,由此能求出? d的化(2)設數(shù)列kn為等比數(shù)列，則k/=kkq，推導出之二1,從而鈍=k,d,進d 1 Jdk . nEa而k二kH“T-由此得到當之二1時，數(shù)列kn為等比數(shù)列2 k hl(3)由數(shù)列kn為等比數(shù)列，a1=d, k =k1qnl(qD

31、 得到n 1n+kq+ k T0-巴丁二I門:成立,再證明對于任意的正實數(shù) 0穌1), ai 2kiqn-1 2 2k 總存在正整數(shù)由，使得 2 .q：n, 餐要證,即證lnn1 n1lnq+ln &由此能求出a1的取值范圍.qn，【解答】解：(1)由已知可得：白, 33, a8成等比數(shù)列，所以 匕1斗2d) 2=叼(5+7l) .ak 二4 qT =k 1 dqkuk a】qki, an=ai+ (n 1) d=nai . c l因為對于任意nC N ,不等式& +a 2k包成立. ILlli所以不等式n冉+kia、ki2kqg,即%青9,弋2k工包成立.10分2 2kl 、.，一, 一q卜

32、面證明：對于任意的正實數(shù) e （0 e 1）,總存在正整數(shù)ni,使得n。時，原式得證. u21 nq一 - 要證- ,即證 lnni nilnq+ln eq、因為 Inx(工則,mi=21nn/門2 ,1 1解不等式n1 2 0,可得.:1+Vf-41nqin 121nq,所以（山耍逅二）2.121nq.16分所以所以ai2,即得ai的取值范圍是2, +）. a1 2【點評】本題考查等差數(shù)列的首項與公差的比值的求法， 考查滿足等比數(shù)列的等 差數(shù)列的首項與公差的比值的確定， 考查數(shù)列的首項的取值范圍的求法， 綜合性 強，難度大，對數(shù)學思維要求較高.南通市2017屆高三第一次調研測試數(shù)學R （附加

33、題）選做題本題包括四小題， 請選2題作答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.選彳4-1:幾何證明選講21. （10分）已知圓O的直徑AB=4, C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE=2CD 求AOCE的面積.【分析】由相交弦定理，得CD, DE中點H,則OH,DE,利用勾股定理求出OH, 即可求出 OCE的面積.【解答】解：設CD=x,則CE=2x因為 CA=1, CB=3,由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE所以1X3=x?2x=2,所以,一一.2分取DE中點H,則OHDE.因為 QH2=0E-EH2=4-（y x） 2=-,所以oh爭.分又因為比

34、二2貯退，所以 OCE的面積:S*DH,CE=乂灰XpLT陰.【點評】本題考查的是相交弦定理，垂徑定理與勾股定理，考查學生分析解決問 題的能力，屬于中檔題.選彳4-2:矩陣與變換22. (10分)已知向量1是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量.在平面直角坐標系xOy中，點P (1,1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻 (3, 3),求矩陣A.【分析】設探,根據(jù)矩陣變換，列方程組，即可求得a、b、c和d的值,第27頁（共30頁）求得A.【解答】解:設A=因為向量是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量,所以=(-1)1-1-1.所以、因為點P (1,1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻 (3, 3)

35、,所以.10分.所以、解得 a=1, b=2, c=2, d=1,所以 a二【點評】本題考查矩陣的變換，考查方程思想，體現(xiàn)轉化思想，屬于中檔題.選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程23. 在極坐標系中，求直線e4(pER)被曲線P =4sin質截得的弦長.【分析】極坐標方程化為直角坐標方程，聯(lián)立，求出 A, B的坐標，即可求直線 b4(PR)被曲線P=4sin所截得的弦長.【解答】解：以極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.直線e-(p R)的直角坐標方程為y=xD,弓分曲線p =4sin曲直角坐標方程為x2+y2 - 4y=02).4分由得產(chǎn)或尸之8分尸0 (y=2所以 A (0,

36、 0), B (2, 2),所以直線6號(區(qū))被曲線p=4sin所截得的弦長AB幺也.1陰.【點評】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查方程思想，比較基礎.選彳4-5:不等式選講24. 求函數(shù)y=3sdmt+A/2+2cos2工的最大值.【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，利用柯西不等式求解函數(shù)的最值即 可.【解答】解：y=3sinic+22+2cos2x=3sinx+4?7cos2x 2由柯西不等式得了2二（3式“升4幾百）2（3,42）（式口勺+8）=25，8分所1以ymax=5,止匕時sinx二色.5所以函數(shù)y=3sinx+2M2+2cos2K的最大值為5.T。分.【點評】本題考

37、查是的最值，柯西不等式在最值中的應用，考查轉化思想以及計 算能力.必做題共2小題，滿分20分）25. （10分）如圖，在棱長為2的正方體ABCA AiBiCiDi中，P為棱GDi的中點, Q為棱BBi上的點，且BQ3 BB （ R 0）.（D若X A求AP與AQ所成角的余弦值；（2）若直線AAi與平面APQ所成的角為45,求實數(shù)人的化【分析】（i）以靛，筋， 函為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標 系A-xyz.求出京二（1, 2, 2）,同二0, 1）,利用數(shù)量積求解AP與AQ所成角的余弦值.（2）為二（0, 0, 2）,而二口，2）求出平面APQ的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【解答】解：以誨，而為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系A- xyz.2,2），麗二0, 1)，AP-AQ a X 2+2 x Q+2X1 W