《無(wú)理數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、教 學(xué) 設(shè) 計(jì)甘肅省積石山縣吹麻灘初級(jí)中學(xué)王德明一、教學(xué)內(nèi)容分析：通過(guò)引入無(wú)理數(shù)，將有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，是初中階段第二次數(shù)系的擴(kuò)張。本節(jié)課也是這第二次數(shù) 系擴(kuò)充的最關(guān)鍵的一步一一無(wú)理數(shù)的引入。這一節(jié)課主要讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感受到引入新數(shù)的必要性， 認(rèn)識(shí)到生活中大量存在這樣的新數(shù)。二、教學(xué)目標(biāo)：1 .技能目標(biāo)：知道存在非有理數(shù)的數(shù)或舉出一些例證，初步闡明非有理數(shù)的數(shù)與有理數(shù)之間的關(guān)系（能否表示為整數(shù)與分?jǐn)?shù)）。2 .能力目標(biāo)：能把對(duì)有理數(shù)的理解（如分類(lèi)、表示、運(yùn)算等）應(yīng)用到研究新的數(shù)的過(guò)程中；能通過(guò)觀 察、質(zhì)疑、實(shí)驗(yàn)、歸納和猜想得到存在非有理數(shù)的數(shù)，并能用分類(lèi)、歸納的方法的說(shuō)明。3 .情態(tài)價(jià)

2、值目標(biāo)： 進(jìn)一步養(yǎng)成求知意識(shí)。 三、教學(xué)重點(diǎn)：1 .教學(xué)目標(biāo)中的知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo)；2 .創(chuàng)設(shè)研究“滿足 a2 = 2的數(shù)a不是整數(shù)和分?jǐn)?shù)即不是有理數(shù)”的情境。 四、教學(xué)難點(diǎn)：1.用有理數(shù)的分類(lèi)驗(yàn)證的方法；2.說(shuō)明分?jǐn)?shù)。都不滿足o2 = 2。五、教學(xué)準(zhǔn)備：準(zhǔn)備兩個(gè)邊長(zhǎng)為i的正方形，雙面膠以及一把小剪刀。 六、教法、學(xué)法：教學(xué)方法師生互動(dòng)探究式教學(xué)，遵循以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、發(fā)展為主旨的原則，學(xué)生通過(guò)熟悉的現(xiàn)實(shí)生活 情景，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的有理數(shù)之外還存在非有理數(shù)，引發(fā)認(rèn)知沖突，提出需要學(xué)習(xí)新的知識(shí). 引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)討論，形成師生與生生互動(dòng)。學(xué)法指導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生自己操作并提出問(wèn)題，感受并驗(yàn)證非有理數(shù)的存在

3、性及其存在的普遍性。七、教學(xué)過(guò)程:教學(xué)內(nèi) 容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)一：通過(guò)動(dòng) 手，讓 學(xué)生感 受無(wú)理 數(shù)產(chǎn)生 的實(shí)際 背景1 .學(xué)生盡可能自己剪 拼（在有困難的情況 下也可以和同學(xué)合 作），完成拼圖。2 .請(qǐng)同學(xué)代表來(lái)展示 自己的作品，并用語(yǔ) 言盡可能表達(dá)清楚是 如何得到大正方形 的。學(xué)生的常有拼圖：（一）（二）讓學(xué)生將兩個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形，剪一剪， 拼一拼，設(shè)法得到一個(gè) 大正方形。教師補(bǔ)充要求：1 .所剪的塊數(shù)盡可能 少；2 .不允許有多余的部 分，所得正方形不允許 有空缺。教師給學(xué)生一定的時(shí)間 討論合作，在活動(dòng)中觀 察學(xué)生是否樂(lè)意與他人 合作交流，是否主動(dòng)探 究，并且給于及時(shí)的

4、肯 定和鼓勵(lì)。1 .容易操作：課前讓學(xué)生準(zhǔn)備兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形紙片， 長(zhǎng)度單位學(xué)生自定，符 合學(xué)生的生活實(shí)際，學(xué) 生都可以準(zhǔn)備。2 .趣味性強(qiáng)：讓學(xué)生剪一剪、拼一拼, 進(jìn)行密鋪，讓每位學(xué)生 都能動(dòng)起來(lái)感受數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的樂(lè)趣。3 .有效：兩個(gè)面積為1的正方形拼得的都是面積為 2的 正方形，由此可以產(chǎn)生 邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的問(wèn)題， 為本課的引入奠定了基 礎(chǔ)。邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線AC等于多少？假設(shè)是修，由大正方形面積引入“a2 -7, a為多少”預(yù)計(jì)時(shí)間：6分鐘教學(xué)內(nèi) 容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)二：讓學(xué)生感知無(wú)理數(shù)，并且合理推理它不是有理數(shù)第一環(huán) 節(jié)： 教師提 問(wèn)弓 導(dǎo)，探 討“研 究大正 方形

5、邊 長(zhǎng)a是 什么師問(wèn)：現(xiàn)在得到大正方形， 你想對(duì)這個(gè)大正方形提一 些什么問(wèn)題嗎？生（可能從形狀、大小、位置 等方面提問(wèn)）：關(guān)于大正方形 的面積、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、對(duì)角線 等問(wèn)題。讓學(xué)生提問(wèn) 是為了培養(yǎng) 學(xué)生主動(dòng)提 問(wèn)的意識(shí)。師問(wèn)：有些元素比較容易確 定（如面積，對(duì)角線等）， 那么它的邊長(zhǎng)a為多少？（可以由易到難分析以上各元素，但最終邊長(zhǎng)是基本 量）學(xué)生直觀感知， 并且說(shuō)出自己 的看法。讓學(xué)生直觀 感知并且各 抒己見(jiàn)。數(shù)”的師問(wèn)：我們以前學(xué)了哪些數(shù)，你還記得它們是怎樣分類(lèi)的嗎？方法在學(xué)生回顧有理數(shù)的分類(lèi)后，整理一個(gè)分類(lèi)結(jié)構(gòu)圖（用附頁(yè)進(jìn)一步解釋?zhuān)焼?wèn)：大正方形邊a是不是有理生：以前所學(xué)的數(shù)都是有回顧有理

6、數(shù)數(shù)，你怎樣來(lái)說(shuō)明？理數(shù)，有理數(shù)分為“整數(shù)及其分類(lèi)，和分?jǐn)?shù)”，整數(shù)和分?jǐn)?shù)還為后面探究可以再分類(lèi)，如整數(shù)分為做知識(shí)鋪“正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0”墊。師問(wèn)：大正方形邊a是不是有理生：有理數(shù)分為整數(shù)和分r依據(jù)數(shù)的分?jǐn)?shù)，你怎樣來(lái)說(shuō)明？數(shù)，可以分別討論它是否類(lèi)探討研究為整數(shù)和分?jǐn)?shù)？方案，在此滲透分類(lèi)討論思想。預(yù)計(jì)時(shí)間：6分鐘師問(wèn)：a是整數(shù)嗎？附帶說(shuō)明：還可以從圖形的由a2=2,而 12=1, 22=4,學(xué)生自然的數(shù)量特征證明a不是整數(shù)。12<a2<22 ,得 l<a<2, a 不是整反應(yīng)是從數(shù)教師按下圖進(jìn)行構(gòu)造分析，數(shù)3的角度來(lái)說(shuō)證明如下：（這是從數(shù)的角度進(jìn)行說(shuō)明）明，然而這證明：在三

7、角形 ABC中個(gè)數(shù)所產(chǎn)生AG1, BG1, AB=a,由三角的背景啟發(fā)形的三邊關(guān)系得 AG BG< a我們也可以第二環(huán)<AC-BC 所以 0<a<2,且用形的“度節(jié)：討awl。所以a不是整數(shù)。量性質(zhì)”來(lái)論a是說(shuō)明，這能否是整讓學(xué)生初步數(shù)附帶說(shuō)明：還可以從圖形的數(shù)量特征證明a不是整數(shù)。感受形與數(shù) 的聯(lián)系性。 同時(shí)用證明 初步培養(yǎng)學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)說(shuō)理 的習(xí)慣。教師按下圖進(jìn)行構(gòu)造分析，證明如下證明：在三角形 ABC中AC=1, BC=1, AB=a,由三角形的三 邊關(guān)系得 AGBCk a<AGBG 所以0<a<2,且a/1。所以 a不是整數(shù)。預(yù)計(jì)時(shí)間：4分鐘教學(xué)內(nèi)

8、 容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué)評(píng)價(jià)師問(wèn)：a不是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)部分學(xué)生可能回答“是”。這是本節(jié)課第三環(huán)節(jié)：?jiǎn)幔康碾y點(diǎn)，對(duì)于師問(wèn)：你能找出a是分母為可能有困惑（反映了學(xué)生是部分學(xué)生難討ia a 是否是 分?jǐn)?shù)多少的分?jǐn)?shù)？否有把分?jǐn)?shù)用分母從小到大 分類(lèi)的程序性思考）。度較大，我讓 學(xué)生由“具體師引導(dǎo)：我們可以從分母最 小的分?jǐn)?shù)開(kāi)始找？是否注意到這里的分?jǐn)?shù)只需 要考慮正的分?jǐn)?shù)！到抽象”，由 “特殊到一a是分母為2的分?jǐn)?shù)嗎?a是分母為3的分?jǐn)?shù)嗎?計(jì)算：_'結(jié)論：a不是分母為2的分?jǐn)?shù)。a是分母為4的分?jǐn)?shù) 嗎？想一想：為什么省了一些計(jì) 算？在過(guò)程中思考簡(jiǎn)約的做法是 好的習(xí)慣！本問(wèn)題的簡(jiǎn)約是 基于對(duì)數(shù)的運(yùn)算的認(rèn)

9、識(shí)（直 接從它不是整數(shù)來(lái)排除是不 夠的！）計(jì)算：©”衿哈結(jié)論：a不是分母為4的分?jǐn)?shù)。aE分母為5或者6的分 數(shù)嗎？計(jì)算（心算和筆算）或者猜測(cè)。結(jié)論：a不是分母為5和6的 分?jǐn)?shù)。a是分母為多少的分發(fā)現(xiàn)、歸納：任何最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)數(shù)？的平方還是一個(gè)分?jǐn)?shù)，|因此，a不是（任何分母的）分?jǐn)?shù)。結(jié)論：a不是分母為3的分?jǐn)?shù)般”，通過(guò)大 量式子的感 知，從而達(dá)到 難點(diǎn)的突破， 在此也讓學(xué) 生體會(huì)數(shù)學(xué) 中“特殊到一 般”這種認(rèn)識(shí) 問(wèn)題、研究問(wèn) 題的方法。1. a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，說(shuō)明 a不是有理數(shù)，我們需要引入新數(shù),新數(shù)叫什么名字，有什么特點(diǎn)？我們后面會(huì)逐步學(xué)習(xí)。2.本節(jié)內(nèi)容采用的是對(duì)有理數(shù)分類(lèi)的方式，

10、說(shuō)明新數(shù)既不是有理數(shù)的整數(shù) 類(lèi)，也不是有理數(shù)的分?jǐn)?shù)類(lèi)。預(yù)計(jì)時(shí)間：15分鐘教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)三： 了解數(shù) 學(xué)史，體 會(huì)數(shù)學(xué) 文化讓學(xué)生閱讀材料，并說(shuō)出自己的 感受：公兀前500年，古希臘的畢 達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“宇宙間的一 切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之 比，即都可用后理數(shù)來(lái)描述。這學(xué)派成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊 長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)不 能有理數(shù)來(lái)表示，這就動(dòng)搖了畢 達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，引起了信 徒們的恐慌。師問(wèn)：通過(guò)閱讀上面的數(shù)學(xué)故事， 你有什么感受？生：通過(guò)閱讀，我了解 無(wú)理數(shù)并非“無(wú)理”， 它和有理數(shù)一樣，都是 客觀存在的量的反映。源于數(shù)學(xué)課 后閱讀材 料，讓學(xué)生 了解數(shù)學(xué) 史

11、，同時(shí)也 可以培養(yǎng)學(xué) 生敢于質(zhì) 疑，勇于挑 戰(zhàn)的精神。活動(dòng)四： 反饋測(cè) 評(píng)，再現(xiàn) 研究，鞏 固新認(rèn) 知一、學(xué)生觀察圖 2-1后回答卜面問(wèn)題：(1)如圖：以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？(2)設(shè)該正方形的邊長(zhǎng)為 b, b滿足什么條件？生：(1)面積為5y=5 2、4 , 3?=9, 2<b<3, b不是整數(shù)， 任何最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的平方仍 然是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，所以 b 不是分?jǐn)?shù)。綜合b不是 有理數(shù)。1 .它是我們 前圜活動(dòng)的 運(yùn)用和鞏 固。讓學(xué)生 再次經(jīng)歷無(wú) 理數(shù)的感知 和推理過(guò) 程。2 .它也是前 面活動(dòng)的拓 展，讓學(xué)生 意識(shí)到這種 不是有理數(shù) 的新數(shù)還存 在其他事物 中，初步感 受

12、到無(wú)理數(shù) 存在的普遍 性。2L1 |(3)bb是有理數(shù)嗎？預(yù)計(jì)時(shí)間：4分鐘預(yù)計(jì)時(shí)間：3分鐘書(shū)設(shè)計(jì)活動(dòng)五： 回顧與 總結(jié)：1.讓學(xué)生自己從知識(shí)上總 結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)到了什么 知識(shí)？生：學(xué)到了生活中存 在著不是有理數(shù)的新 數(shù)，并且它大量存在。知識(shí)是關(guān)鍵，但是我 們不光要讓學(xué)生學(xué) 到知識(shí)，還以知識(shí)為 載體讓學(xué)生學(xué)到一 種數(shù)學(xué)研究方法和 一種數(shù)學(xué)討論問(wèn)題 的方式，這樣才能真 正做到“以學(xué)生的發(fā) 展為本”的教學(xué)理O2 .師生共同從方法上總結(jié)：本節(jié)課除了知識(shí)上，方法上我們也來(lái)回顧和總結(jié)一下。教師提問(wèn)：在討論大正方形 的邊長(zhǎng)是否為有理數(shù)時(shí)，我 們是怎樣討論的？生：是分為整數(shù)和分 數(shù)兩種情況來(lái)討論 的?？偨Y(jié)：“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)說(shuō)理方法。教師提問(wèn)：仕研允大正方形 的邊長(zhǎng)是否為分?jǐn)?shù)時(shí)，我們 怎樣研究的。生：是從最簡(jiǎn)單，最 特殊的分母為2的分 數(shù)，再到分母為任意 數(shù)的分?jǐn)?shù)?？偨Y(jié)：“特殊到一般”的研究方法。預(yù)計(jì)時(shí)間：2分鐘有理數(shù)1.學(xué)生拼圖部分展示：教師計(jì)算：2. a是不是整數(shù)