初三圓的經(jīng)典例題

1、有關(guān)圓的經(jīng)典例題_1.在半徑為1的OO中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為 J3和J2,求/ BAC的度數(shù)。分析：根據(jù)題意，需要自己畫(huà)出圖形進(jìn)行解答，在畫(huà)圖時(shí)要注意AB與AC有不同的位置關(guān)系。解：由題意畫(huà)圖，分 AB、AC在圓心。的同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論,當(dāng)AB、AC在圓心O的異側(cè)時(shí)，如下圖所示,過(guò)。作ODXAB于D,過(guò)O作OELAC于E,屈,AC V2,AD , AE 2. OA 1,cos/ OAD, AE .2cos / OAE OA 2AD 3OA 2./OAD=30 , / OAE=45 ,故/ BAC=75當(dāng)AB、AC在圓心O同側(cè)時(shí)，如下圖所示,同理可知/ OAD=30 , / OAE=45

2、 ./ BAC=15點(diǎn)撥：本題易出現(xiàn)只畫(huà)出一種情況，而出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤。例2.如圖： ABC的頂點(diǎn)A、B在。O上，O O的半徑為R,。與AC交于D,如果點(diǎn)D既是AB的中點(diǎn)，又是AC邊的中點(diǎn),(1)求證： ABC是直角三角形;求AC2的值分析：(1)由D為AB的中點(diǎn)，聯(lián)想到垂徑定理的推論，連結(jié)OD交AB于F,則AF=FB , ODXAB ,可證 DF是 ABC的中位線(xiàn)；(2)延長(zhǎng) DO 交。于 E,連接 AE ,由于/ DAE=90 , DE LAB , ADF1 一 AD2.s/XDAE,可得 AD2 DF DE,而 DF BC, DE 2巳故可求2 BC解：(1)證明，作直徑 DE交AB于F,

3、交圓于E. D為 AB 的中點(diǎn)，ABIDE, AF FB9又 AD=DC . DF / BC, DF2BCAB BC ,. ABC是直角三角形。(2)解：連結(jié)AE DE是。O的直徑/ DAE=90 而 ABSE,ADFA EDAADDEDFADDE - DF1 -. DE 2R, DF - BC 22 拓 AD2 AD BC R,故R例3.如圖，在。O中,AB=2CD ,那么(A. AB 2CDB. AB 2CDC. AB 2CDD. AB與2CD的大小關(guān)系不確定分析：要比較AB與2CD的大小，可以用下面兩種思路進(jìn)行：(1)把AB的一半作出來(lái)，然后比較 -AB與CD的大小。2(2)把2CD作出

4、來(lái)，變成一段弧，然后比較2 CD與AB的大小。解：解法(一)，如圖，過(guò)圓心 O作半徑OFLAB,垂足為E,F則 AF FB 1AB 21 AE EB -AB21 . AB 2CD, AE CD -AB2AF FB ,AF FB在AFB 中，有 AF+FBAB2AF AB,AF 膽，. . AF CD, . 2 AF 2CD2 AB 2CD選 A o則 DE CD 1CE 2在 CDE 中，有 CD+DECE ，2CDCE,. AB=2CD, ABCEAB CE ,AB 2 CD，選A o1例4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為2的OO,已知AB BC -AD 1,4求CD的長(zhǎng)。分析：連結(jié)BD

5、,由AB=BC ,可得DB平分/ ADC ,延長(zhǎng)AB、DC交于E,易得 EBC s EDA，又可判定 AD是。O的直徑，得/ ABD=90 ,可證彳ABD叁 EBD ,得DE=AD , 利用 EBCA EDA ,可先求出 CE的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AB、DC交于E點(diǎn)，連結(jié)BD-1AB BC AD 14 . AB BC , AD 4,/ADB / EDB O O的半徑為2, AD是。O的直徑 ./ ABD= Z EBD=90。，又.: BD=BDABDA EBD , . AB=BE=1 , AD=DE=4 四邊形ABCD內(nèi)接于。O,/ EBC= / EDA , / ECB= / EAD . EBCs/X

6、 EDA,BCADCEAEBC - AE BC(AB BE) CEADAD-17CD DE CE 422例5.如圖，AB、AC分別是。O的直徑和弦,D為劣弧 AC上一點(diǎn)，DE LAB于H ,交。于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F, P為ED的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)。(1)當(dāng) PCF滿(mǎn)足什么條件時(shí)，PC與。相切，為什么？(2)當(dāng)點(diǎn)D在劣弧AC的什么位置時(shí)，才能使 AD2 DE DF,為什么？分析：由題意容易想到作輔助線(xiàn) OC,(1)要使PC與。相切，只要使/ PCO=90 ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使/ OCA+/ PCF=/FAH+ ZAFH就可以了。(2)要使AD2 DE DF,即使-AD- DF ,也就是使 DAFA DEAD

7、E AD解：(1)當(dāng) PC=PF,(或/ PCF=/PFC)時(shí)，PC 與。相切，下面對(duì)滿(mǎn)足條件PC=PF進(jìn)行證明，連結(jié) OC,則/ OCA= / FAH , PC=PF, .PCF=ZPFC=Z AFH , DEXAB 于 H, ./ OCA+ / PCF= / FAH+ / AFH=90 即 OCPC,PC 與。相切。(2)當(dāng)點(diǎn)D是劣弧AC的中點(diǎn)時(shí)，AD2 DE DF ,理由如下:DAF / DEADFAD連結(jié) AE, v AD CD , 又 :/ADF /EDA,AD . DAFsz DEA, DE即 AD 2=DE - DF點(diǎn)撥：本題是一道條件探索問(wèn)題，第(1)問(wèn)是要探求 PCF滿(mǎn)足什么

8、條件時(shí)，PC與。O相切，可以反過(guò)來(lái)，把 PC與。相切作為條件，探索 PCF的形狀，顯然有多個(gè)答案； 第(2)問(wèn)也可將AD2=DE DF作為條件，尋找兩個(gè)三角形相似，探索出點(diǎn)D的位置。1例6.如圖，四邊形ABCD是矩形(AB -BC),以BC為直徑作半圓O,過(guò)點(diǎn) 2D作半圓的切線(xiàn)交 AB于E,切點(diǎn)為F,若AE: BE=2 : 1,求tan/ADE的值。DC分析：要求tan/ADE,在RtAAED中，若能求出 AE、AD ,根據(jù)正切的定義就可以 得至ij。ED=EF+FD ,而EF=EB , FD=CD ,結(jié)合矩形的性質(zhì)，可以得到 ED和AE的關(guān)系, 進(jìn)一步可求出 AE : AD。解：二.四邊形

9、ABCD為矩形，BC AB , BC DC.AB、DC切。O于點(diǎn)B和點(diǎn)C, DE 切。O 于 F, DF=DC , EF=EB ,即 DE=DC+EB ,又AE: EB=2: 1 ,設(shè) BE=x,貝U AE=2x , DC=AB=3x ,DE=DC+EB=4x ,在 RtAAED 中, .AD 2j3xAE=2x , DE=4x ,貝 Utan/ADEAE 2x 3AD2 3x點(diǎn)撥：本題中，通過(guò)觀(guān)察圖形，兩條切線(xiàn)有公共點(diǎn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，得到相等線(xiàn)段。例7.已知。Oi與。O2相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn) O2在OOi,(1)如下圖，AD是。O2的直徑，連結(jié) DB并延長(zhǎng)交。Oi于C,求證 CO21AD

10、 ;(2)如下圖，如果 AD是。O2的一條弦，連結(jié) DB并延長(zhǎng)交。Oi于C,那么CO2所在 直線(xiàn)是否與 AD垂直？證明你的結(jié)論。分析：(1)要證CO21AD ,只需證/ CO2D=90 ,即需證/ D+/C=90 ,考慮到 AD 是。2的直徑，連結(jié)公共弦 AB ,則/ A=/C, / DBA=90 ,問(wèn)題就可以得證。(2)問(wèn)題是一道探索性的問(wèn)題，好像難以下手，不妨連結(jié) AC,直觀(guān)上看，AC等于 CD,到底AC與CD是否相等呢？考慮到 O2在O Oi上，連結(jié)AO2、DO2、BO2,可得/ 1 = Z2,且有 AO2CA DO2C,故 CA=CD ,可得結(jié)論 CO2ADo解：(1)證明，連結(jié) AB

11、 , AD為直徑，則/ ABD=90 / D+ / BAD=90 又. / BAD= /C, D+/C=90 ./ CO2D=90 ,CO21AD(2) CO2所在直線(xiàn)與 AD垂直，證明：連結(jié) O2A、O2B、O2D、AC在 AO2C與 DO2c 中. O2A O2B,AO2 BO2 , ./ 1 Z 2 / O2BD= / O2AC,又/ O2BD= / O2DB , / O2AC= / O2DB,.O2C=O2C, .AO2gDOzC,，CA=CD,.CAD為等腰三角形，CO2為頂角平分線(xiàn)，CO21AD o例8.如下圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,分別為A、B、C為圓心，以a為半徑的圓相

12、切于點(diǎn) 01、02、03,求O1O2、O2O3、0301sl成的圖形面 2積S。（圖中陰影部分）A,分析：陰影部分面積等于三角形面積減去3個(gè)扇形面積。3 2斛：SAABC_1a4 Q 3 -2一s 陰a4，3s扇 3X 6h2a2此題可變式為如下圖所示，O A、a 2.（2）OB、OC兩兩不相交，且它們的半徑都為a,求圖中三個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和。分析：因三個(gè)扇形的半徑相等，把三個(gè)扇形拼成一個(gè)扇形來(lái)求，因?yàn)? A+/B+/C=180 ,因而三個(gè)扇形拼起來(lái)正好是一個(gè)半圓，故所求圖形面積為原題可在上一題基礎(chǔ)上進(jìn)一步變形：O Al、OA2、。A3。An相外離，它們的半徑都 是1,順次連結(jié)n個(gè)圓

13、心得到的n邊形AlA2A3An,求n個(gè)扇形的面積之和。解題思路同上。到（n 2）解：2、填空題（10X 4=40分）1 .已知：一個(gè)圓的弦切角是50。，那么這個(gè)弦切角所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為O2 .圓內(nèi)接四邊形 ABCD中，如果/ A: /B: /C=2: 3: 4,那么/ D=度。3 .若。的半徑為3,圓外一點(diǎn)P到圓心0的距離為6,則點(diǎn)P到。的切線(xiàn)長(zhǎng)為4 .如圖所示CD是。0的直徑，AB是弦，CDXAB于M ,則可得出AM=MB , AC BC 等多個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你按現(xiàn)有的圖形再寫(xiě)出另外兩個(gè)結(jié)論： 。5 . O01與。02的半徑分別是3和4,圓心距為43,那么這兩圓的公切線(xiàn)的條數(shù)是6 .圓柱

14、的高是13cm,底面圓的直徑是 6cm,則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是7 .已知：如圖所示，有一圓弧形橋拱，拱的跨度 AB=16cm ,拱高CD=4cm ,那么拱形的半徑是8 .若PA是。的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，割線(xiàn) PBC交。O于B,若BC=20, PA= 10 J3 ,則PC的長(zhǎng)為。9 .如圖5, ABC內(nèi)接于。，點(diǎn)P是AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重 合）， ABC 55，則 POC的取值范圍是 .10 .如圖，量角器外沿上有 A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是 70。、40。，則11 .已知e O的半徑是3,圓心O到直線(xiàn)1的距巽第9,題觸線(xiàn)l與e O的位置關(guān)系是 .12 .如圖，已知點(diǎn) E是圓O上的點(diǎn)，B、

15、C分別是劣弧 AD的三等 分點(diǎn)， BOC 46o,則 AED的度數(shù)為.13 .如圖，RtzXABC 中 ACB 90, AC 4, BC 3 ABC繞AC所在的直線(xiàn)f旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)的側(cè)面積 .（取3.14 ,結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）0第14題圖14.如圖8,兩個(gè)同心圓的半徑分別為 陰影部分的面積為15 .如圖，AB是e O的直徑，AM為弦， MAB 30,過(guò)M點(diǎn)的e 0的切線(xiàn)交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N .若ON 12cm，則e O的半徑為 cm .16 .如圖，RtA A BC是由Rt ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得，且點(diǎn) A, B, C在同一條直線(xiàn)上，在 RtzXABC 中，若/C 90,

16、 BC 2 , AB過(guò)的扇形面積為4,則斜邊AB旋轉(zhuǎn)到AB所掃17 .如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓。的兩條切線(xiàn)PA, PB,切點(diǎn)分別是 A B,若PA 8cm,C是Ab上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C與A, B兩點(diǎn)不重合)，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線(xiàn)，分別交PA, PB 于點(diǎn)D, E ,則APED的周長(zhǎng)是.18、在平面內(nèi)，O 。的半徑為5cm,點(diǎn)P到圓心。的距離為3cm,則點(diǎn)P與。的位置關(guān)系是.19 .如圖8,在RtzXABC中，C 90, AC 3 .將其繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，則分別以BA, BC為半徑的圓形成一圓環(huán).則該圓環(huán)的面積為 .B20 .如圖9,點(diǎn)A, B是e O上兩點(diǎn)，AB 10,點(diǎn)P是e O上白動(dòng)點(diǎn)(P

17、與A, B不重 合)連結(jié)AP, PB,過(guò)點(diǎn)O分另J作OE AP于點(diǎn)E,OF PB于點(diǎn)F ,則EF .(只畫(huà)示意圖，不寫(xiě)、解答題:1 .已知：如圖所示，O O1和。O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作。O1的切線(xiàn)交。O2于D, 連結(jié)DA并延長(zhǎng)與O O1相交于C點(diǎn)，連結(jié)BC。過(guò)A點(diǎn)作AE / BC與。O2相交于E點(diǎn)，與 BD相交于F點(diǎn)。(1)求證：EF BC=DE AC ;(2)若 AD=3 , AC=1 , AF 3,求 EF 的長(zhǎng)。2 .某單位搞綠化，要在一塊圖形的空地上種四種顏色的花，為了便于管理和美觀(guān)，相同 顏色的花集中種植，且每種顏色的花所占的面積相同，現(xiàn)征集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案成 軸對(duì)稱(chēng)圖形或中心對(duì)稱(chēng)圖形。請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的圓中畫(huà)出三種設(shè)計(jì)方案。 作法)。3 .已知： ABC是。O的內(nèi)接三角形，BT為。O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，P為直線(xiàn)AB上一 點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn) BT于點(diǎn)巳交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F。(1)如圖所示，當(dāng)點(diǎn) P在線(xiàn)段AB上時(shí)，求證：PA PB=PE PF;(2)當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證 明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；1(3)若 AB 4MC連結(jié) DE DE=T15.導(dǎo)致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看